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高中数学选修1-1导数及其应用阶段测试


(时间:120 分钟;满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.一质点的运动方程是 s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为( ) A.6+3Δt B.6-3Δt C.-6+3Δt D.-6-3Δt Δs 解析:选 D.直接计算 . Δt 2.下列各式正确的是( ) A.(sinα)′=cosα(α 为常数) B.(cosx)′=sinx 1 - - C.(sinx)′=cosx D.(x 5)′=- x 6 5 解析:选 C.由导数的运算法则易得,注意 A 选项中的 α 为常数,所以(sinα)′=0. 3.设 f(x)=xlnx+x,若 f′(x0)=3,则 x0=( ) A.e2 B.e ln2 C. D.ln2 e 解析:选 B.∵f(x)=xlnx+x,∴f′(x)=lnx+2. 又∵f′(x0)=3,∴x0=e. 4.下列四个函数,在 x=0 处取得极值的函数是( ) ①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|;④y=2x. A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 解析:选 B.函数 y=x2+1 在 x=0 处的导数为 0,并且导数在 x=0 两侧的符号相反;函 数 y=|x|在 x=0 处显然取到极小值. f?1-Δx?-f?1? 5.已知函数 f(x)可导,则 lim 等于( ) →0 Δx -Δx A.f′(1) B.不存在 1 C. f′(1) D.以上都不对 3 f?1-Δx?-f?1? 解析:选 A. lim Δx→0 -Δx f?1-Δx?-f?1? = lim =f′(1). Δx→0 1-Δx-1

6.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)( ) A.在(-∞,0)上为减函数 B.在 x=0 处取极小值 C.在(4,+∞)上为减函数 D.在 x=2 处取极大值 解析:选 C.在(-∞,0)上,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,0)上为增函数,A 错;在 x=0 处,导数由正变负,f(x)由增变减,故在 x=0 处取极大值,B 错;在(4,+∞)上,f′(x)<0, f(x)为减函数,C 对;在 x=2 处取极小值,D 错. 7.若甲的运动方程为 s1(t)=et-1,乙的运动方程为 s2(t)=et,则当甲、乙的瞬时速度

相等时,t 的值等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 A.需先求甲、乙的瞬时速度,即先求 s1(t)、s2(t)的导数,s1′(t)=et,s2′(t) =e,即 et=e,∴t=1. 8.函数 f(x)=x2-2lnx 的单调递减区间是( ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞,-1],(0,1) D.[-1,0),(0,1] 2 2?x+1??x-1? 解析:选 A.f′(x)=2x- = , x x 由 f′(x)≤0 结合 x>0 得 0<x≤1. 9.已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 切于点(1,3),则 b 的值为( ) A.3 B.-3 C.5 D.-5 解析:选 A.点(1,3)在直线 y=kx+1 上, ∴k=2. ∴2=f′(1)=3×12+a?a=-1, ∴f(x)=x3-x+b. ∵点(1,3)在曲线上, ∴b=3. 1 10.已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是( ) 3 A.b<-1 或 b>2 B.b≤-2 或 b≥2 C.-1<b<2 D.-1≤b≤2 解析:选 D.y′=x2+2bx+(b+2).由于函数在 R 上单调递增,∴x2+2bx+(b+2)≥0 在 R 上恒成立, 即 Δ=(2b)2-4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2. 11.已知函数 f(x)=x2+2xf′(1),则 f(-1)与 f(1)的大小关系是( ) A.f(-1)=f(1) B.f(-1)<f(1) C.f(-1)>f(1) D.无法确定 解析:选 C.f′(x)=2x+2f′(1), ∴f′(1)=2+2f′(1). ∴f′(1)=-2. ∴f(x)=x2-4x. ∴f(1)=-3,f(-1)=5. 故 f(-1)>f(1). 12.把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周 长与高的比为( ) A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π 解析:选 C.设圆柱高为 x,底面半径为 r, 6-x 6-x?2 则 r= ,圆柱体积 V=π? x 2π ? 2π ? · 1 = (x3-12x2+36x)(0<x<6), 4π 3 V′= (x-2)(x-6),当 x=2 时,V 最大. 4π 二、填空题(本大题共 4 小题,把答案填在题中的横线上) 2-3x2 13.函数 y= 在 x=1 处的导数为________. 1+2x

-6x2-6x-4 16 解析:y′= ,∴y′|x=1=- . 2 9 ?1+2x? 16 答案:- 9 14.函数 f(x)=x3-x 的单调增区间为________. 解析:f′(x)=3x2-1>0, 3 3 ∴x> 或 x<- . 3 3 3 3 答案:(-∞,- ),( ,+∞) 3 3 1 39 15.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有如下关系:y= x3- x2-40x(x>0),为使耗 3 2 电量最小,则速度应定为________. 解析:由 y′=x2-39x-40=0, 得 x=-1(舍去)或 x=40. 当 0<x<40 时,y′<0;当 x>40 时,y′>0, 所以当 x=40 时,y 有最小值. 答案:40 16.函数 y=5-36x+3x2+4x3 在区间[-2,+∞)上的最大值是________,最小值是 ________. 3 3 解析:y′=-36+6x+12x2,令 y′=0,得 x1=-2,x2= .当 x> 时,函数为增函数, 2 2 3 3 3 3 所以无最大值;当-2≤x≤ 时,函数为减函数,f( )=-28 ,故最小值为-28 . 2 2 4 4 3 答案:不存在 -28 4 三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 1 17.已知 f(x)= x3-4x+4,x∈[-3,6). 3 (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)的极值与最值. 解:(1)f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2), 令 f′(x)=0 得 x=-2 或 x=2, 列表: x (2,6) (-3,-2) (-2,2) f′(x) + - + f(x) ↗ ↘ ↗ 由上表知:f(x)在(-3,-2),(2,6)上递增,在(-2,2)上递减. (2)由(1)知:f(x)的极大值是: 28 f(-2)= , 3 4 f(x)的极小值是:f(2)=- ; 3 4 f(-3)=7>- =f(2), 3 28 f(-2)= <f(6)=52, 3 4 ∴f(x)min=f(2)=- ,f(x)无最大值. 3 18.设函数 f(x)=lnx-px+1,求函数 f(x)的极值点. 解:∵f(x)=lnx-px+1, 则 f(x)的定义域为(0,+∞),

1-px 1 f′(x)= -p= . x x 当 p≤0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上无极值点; 1 当 p>0 时,令 f′(x)=0,则 x= ∈(0,+∞). p f′(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表: 1 1 x (0, ) p p 0 f′(x) + f(x) ↗ 极大值

1 ( ,+∞) p - ↘ 1 从上表可以看出:当 p>0 时,f(x)有唯一的极大值点 x= . p 4 19.已知函数 f(x)=ax2- ax+b,f(1)=2,f′(1)=1. 3 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在(1,2)处的切线方程. 4 解:(1)f′(x)=2ax- a. 3 4 f′?1?=2a- a=1, 3 由已知得 4 f?1?=a- a+b=2. 3

? ? ?
3

?a=2, 解得? 5 ?b=2.
3 5 ∴f(x)= x2-2x+ . 2 2 (2)函数 f(x)在(1,2)处的切线方程为 y-2=x-1, 即 x-y+1=0. 3 3 20.已知函数 f(x)=x3+ax2+ x+ a,且 f′(-1)=0. 2 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)在[-1,0]上的最值. 3 解:(1)f′(x)=3x2+2ax+ , 2 3 由 f′(-1)=0,得 3-2a+ =0, 2 9 则 a= . 4 9 3 27 (2)∵f(x)=x3+ x2+ x+ , 4 2 8 9 3 1 ∴f′(x)=3x2+ x+ =3(x+ )(x+1). 2 2 2 1 由 f′(x)=0 得 x=- 或 x=-1. 2 25 1 49 27 而 f(-1)= ,f(- )= ,f(0)= , 8 2 16 8 27 ∴f(x)在[-1,0]上的最大值为 M= , 8 49 最小值 m= . 16

21.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年 投入广告费 t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5),现该公司准备共投入 300 万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费 x(百万元),可增加 1 的销售额约为- x3+x2+3x(百万元).为使该公司由此获得的收益最大,求 x 的值. 3 解:设用于技术改造的资金为 x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元),又 1 设由此获得的收益是 g(x),则有 g(x)=(- x3+x2+3x)+[-(3-x)2+5(3-x)]-3(0≤x≤3), 3 1 3 即 g(x)=- x +4x+3(0≤x≤3), 3 ∴g′(x)=-x2+4, 令 g′(x)=0 得 x=-2(舍去)或 x=2, 又当 0≤x≤2 时,g′(x)>0;当 2<x≤3 时,g′(x)<0, ∴g(x)在[0,2)上是增函数,在(2,3]上是减函数, ∴当 x=2 时,g(x)取最大值,即将 2 百万元用于技术改造,该公司收益最大. 22.奇函数 f(x)=ax3+bx2+cx 的图象过点 A(- 2, 2),B(2 2,10 2). (1)求 f(x)的表达式; (2)求 f(x)的单调区间; (3)若方程 f(x)+m=0 有三个不同的实根,求 m 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=ax3+bx2+cx 为奇函数, ∴f(-x)=-f(x)(x∈R),∴b=0,∴f(x)=ax3+cx. ∵图象过点 A(- 2, 2),B(2 2,10 2),

?-2 2a- 2c= 2, ∴? ?16 2a+2 2c=10 2,
? ? ?-2a-c=1, ?a=1, 即? ∴? ? ? ?8a+c=5, ?c=-3, 3 ∴f(x)=x -3x. (2)∵f(x)=x3-3x, ∴f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), ∴当-1<x<1 时,f′(x)<0; 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0, ∴f(x)的递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间是(-1,1). (3)∵f(-1)=2,f(1)=-2,为使方程 f(x)+m=0,即 f(x)=-m 有三个不等实根,则-2 <-m<2,即-2<m<2,∴m 的取值范围是(-2,2).


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