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黑龙江省鸡西市高中数学2.1.1指数与指数幂的运算(一)教案新人教版必修1讲义.


2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
一、内容及其解析 (一)内容:章导言,引出指数幂概念的推广,根式. (二)解析:本节课是关于根式的一节概念课,是高中新课改人教 A 版教材第二章的第 一节课.第一章主要介绍了函数的概念,本章计划用 14 个课时重点介绍几类具体的基本初 等函数,以此进一步理解函数概念,认识函数的思想.其中,指数函数计划用 5 课时,具体 分配如下:根式(含章导言)1 课时,分数指数幂无理指数幂 1 课时,指数函数及其性质 3 课时. 1.章导言在本节课起到了一个承上启下的作用,特别对学习基本初等函数具有引导作 用. 2.本章首先要介绍的是指数函数,即 f(x)=a (a>0 且 a≠1) ,这里的 a 是一个指数幂, 其中 x∈R.这就涉及到实数指数幂的概念,而在此之前同学只学过整数指数幂,所以需要 在学习指数函数前将同学已有指数幂的概念进行推广, 由整数指数幂推广到有理指数幂, 再 进一步推广到实数指数幂.由于先有根式才有有理指数幂(分数指数幂) ,根式就成了有理 指数幂的基础,而方根又是根式概念的核心,所以本节课主要就是针对有理指数幂,从 n 次方根逐步认识根式,为进一步认识有理指数幂奠定基础. 3.由于本模块、本章和本节都是围绕函数这一核心,从不同角度展开研究,所以无论 是指数和指数幂的运算, 还是根式, 都是为函数教学服务的, 都不是我们研究的重点. 这样, 本节课的重点就应该放在为后续内容的铺垫上, 即将整数指数幂推广到有理指数幂和引入指 数函数,而关键在于根式的概念,包括 n 次方根定义、表示和性质. 二、目标及其解析 (一)教学目标 1.初步了解指数幂和指数函数; 2.通过类比平方根、立方根,认识 n 次方根,进而初步理解根式的概念. (二)解析 1. 《课程标准》没有明确提出本节课的具体教学内容和要求,但根据它对本模块、本章
x x

1

和本节的内容要求,结合教科书当前和今后内容的实际,基于对相关内容的分析,提出了上 述教学目标的内容并给出了相应的要求定位. 2.初步了解指数幂和指数函数,主要是指结合具体事例,从它们的表示形式上对它们 有所了解,并不给出它们的定义,更不涉及其运算或图象、性质. 3.由于本节课的教学内容不仅涉及根式的定义,还涉及其表示和性质,后续内容还涉 及其运算, 所以对根式概念的定位应该是理解层次. 而本小节教科书之后将不再专门介绍根 式,所以本节课务求初步理解根式概念,而在下节课的根式运算中逐步达到真正的理解. 4.在与平方根、立方根比较的过程中,可以进一步学习类比的思想方法,提高同学的 思维水平.并在推广与化归的过程中,形成根式的知识链. 三、问题诊断分析 同学在理解根式概念的过程中可能会遇到困难, 具体表现在对 n 次方根定义的理解, 特 别是 n 次方根的存在性,以及性质的认识.因为从平方根和立方根到 n 次方根,是一个特殊 到一般的变化过程,要求同学具有一定的归纳概括能力和抽象能力.要克服这一困难,关键 是引导同学建立 n 次方根与平方根和立方根的联系, 通过类比平方根和立方根, 让同学在已 有的认知基础上,从具体例子出发,不断地观察、比较、模仿、判断,从而形成概念,同时 将新知识同化到已有的认知结构中,从而克服可能遇到的困难. 四、教学过程设计 (一)教学基本流程 本章学 习引导 概念的 引入 概念的 形成 概念的 明确 概念的 表示 概念的巩 固和应用

(二)教学情景 1.本章学习引导 问题 1:给出化石图片,归纳出函数关系式。 设计意图:引导同学对本章内容有一个概括性的认识,并大致清楚学习的目标和方法. 问题 2:对于 an,当 n 是正整数时的意义我们已经知道;当 n 是有理数时,它的意义又 是什么呢? 设计意图:引导同学建立与根式的联系.
2

2.概念的引入 问题 3:我们知道,如果 x2=a,那么 x 叫做 a 的平方根(2 次方根) ;如果 x3=a,那么 x 叫做 a 的立方根(3 次方根) .请问: (1)你由此想到,还有哪些方根? (2)你能否根据上述定义,给你所说的这些方根进行定义? 设计意图: 通过回顾平方根和立方根, 让同学在已有认知基础上, 与同类概念进行比较, 通过类比得到对新概念的认识方法上的启发,并为领会新概念找到一个固着点,从而引出 n 次方根的定义.以此促进概括,明确 n 次方根概念的内涵,进而准确把握此概念. 师生活动: 为了帮助同学进行类比, 可以将平方根和立方根的定义上下对齐写在黑板上, 然后让同学将类比出的定义写在它们的下面. 3.概念的形成 问题 4:根据平方根和立方根的定义,我们可以举例,例如,由于(±2)2=4,所以±2 就是 4 的平方根;由于 23=8,所以 2 就是 8 的立方根.类似地,请根据你所给出的其他方根 的定义,举出相应的例子. 设计意图:当n较大或就是n时,同学举例困难了,于是引入n次方根的表示. 师生活动:可引导同学类比平方根和立方根的表示,给出 n 次方根的表示: (1)我们知道,4 的平方根是±2,可以表示为± 4 =±2;8 的立方根是 2,可以表 示为 3 8 =2;-8 的立方根是-2,可以表示为 3 ? 8 =-2.那么类似地,16 的 4 次方根怎样表 示?32 的 5 次方根怎样表示?-32 的 5 次方根怎样表示?a 的 n 次方根又怎样表示? (2)从上述例子中我们是否能看出什么规律?也就是:

n 是奇数时,正数 a 的 n 次方根有几个?是正数,负数,还是零?怎样表示?负数 a 的 n 次方根有几个?是正数,负数,还是零?怎样表示? n 是偶数时,正数 a 的 n 次方根有几个?是正数,负数,还是零?怎样表示?
(3)负数有没有偶次方根? (4)0 的 n 次方根是多少?可以怎样表示? 4.概念的明确
3

问题 5:请把前面学习的内容归纳一下,什么叫 n 次方根?如何表示? 设计意图:让同学明确n次方根的概念. 师生活动:为了让同学进一步明确 n 次方根的概念,可提出下列问题:
n (1)当 n 为奇数时,( n a ) = n ;当 n 为偶数时,( n a ) =

.举例说明. .举例说明.

(2)当 n 为奇数时, a = 5.概念的表示

n

n

;当 n 为偶数时, a =

n

n

前面用来表示 a 的 n 次方根的式子 n a ,我们把它叫做根式,读作 n 次根号下 a(其中 ,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当根指数为 n 时,又把 n a 叫 a 一般读作根号 a) 做 n 次根式. 6.概念的巩固和应用 例 1:求下列各式的值: (1)3 ( ?8) ;
3

(2) 4 (3 ? π ) ;

4

(3) ( - 10) . (4) (a ? b) ( a ? b)

2

2

设计意图:通过应用概念解决问题,推进同学对概念本质的理解. 师生活动:为了进一步推动同学对概念理解的深化,提出下列变式题组 下列各式中,不正确的序号是
4

16 ? ?2

5 (2)(5 - 3) ? -3 5 5 (3) ( - 3) ? -3 10 5 (4) ( - 3) ? -3 4 4 (5) ( - 3) ?3

2,求下列各式的值
5 (1 ) - 32

(2) (?3) 4 (3)? ( 2 ? 3 ) 2 ( 4) 5 ? 2 6
例 2:填空:

?

1 2

4

(1)在 6 ( ?2) , a , ? a , 4 ( ?3)
2

2n 5

4 3

4

2 n ?1

这四个式子中,无意义的是(



(2)若 9a ? 6a ? 1 ? 3a ? 1 ,则 a 的取值范围是(

) )

(3)已知 a,b,c 为三角形的三边,则 ( a ? b ? c ) 2 ? b ? a ? c ? ( 7.小结 我们今天主要学习了与根式有关的哪些内容? 8.当堂检测:略 选做:求值: 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2

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