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2011届高考数学第一轮复习测试题38


·高 三 数 学 ·单 元 测 试 卷 ( 十 六 ) 第十六单元 数形结合思想
(时量:120 分钟 150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 A=(1,+∞),集合 B=(-∞,2)。则 ? U(A∩B)= A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,1)∪[2,+∞) C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1]∪(2,+∞) 2.如图,直线 Ax+By+C=0(AB≠0)的右下方有一点(m,n),则 Am+Bn+C 的值 A.与 A 同号,与 B 同号 y B.与 A 同号,与 B 异号 C.与 A 异号,与 B 同号 O x D.与 A 异号,与 B 异号 ( m , x 3. 设方程 2 +x+2=0 和方程 log2x+x+2=0 的根分别为 p 和 q, 函数 f(x)=(x+p)(x +q)+2,则 n) A.f(2)=f(0)<f(3) B.f(0)<f(2)<f(3) C . f(3)<f(0) = f(2) D.f(0)<f(3)<f(2)

? ?x-2≤0, 4.已知点 P(x,y)在不等式?y-1≤0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值范 ?x+2y-2≥0 ?
围是 A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2] 5.若定义在区间(―1,0)内的函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1)满足f ( x) ? 0, 则a 的取值范围是 A. (0, )

1 2

B. (0, ]

1 2

C. ( ,?? )

1 2

D. (0,??)

6.如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处, 河流的没岸 PQ (曲 线) 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km. 现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公 路的费用分别是 a 万元/km、2a 万元/km,那么 修建这两条公路的总费用最低是 A.(2 7-2)a 万元 B.5a 万元 C.(2 7+1) a 万元 D.(2 3+3) a 万元
1

D A
1

C B
1 1

7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 在 A1D 上且 A1E= 2ED,点 F 在 AC 上且 CF=2FA,则 EF 与 BD1 的位置关系是 A.相交不垂直 B.相交垂直 C.平行 D.异面 8.在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为

A

ED F

C

B

π π 5π A.( , )∪(π , ) 4 2 4 π 5π C.( , ) 4 4

π B.( ,π ) 4 π 5π 3π D.( ,π )∪( , ) 4 4 2

9.椭圆上一点 A 看两焦点的视角为直角,设 AF1 的延长线交椭圆于 B,又|AB|=|AF2|, 则椭圆的离心率 e= A.-2+2 2 B. 6- 3 C. 2-1 D . 3- 2

10.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 A.y= 3x - 3 x 3 答题卡 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0 的解是 12.设 x,y 满足约束条件: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B.y=- 3x C.y= 3 x 3 D.y=

? x ? 0, ? ? x ? y, ?2 x ? y ? 1, ?
则 z=3x+2y 的最大值是 13.据新华社 2002 年 3 月 12 日电,1985 年到 2000 年间,我国农村人均居住面积如图所示,其中, 从 年到 年的五年间增长最快。 14. 有两个相同的直三棱柱,高为

2 ,底面三角形的三边长分 a

别为 3a、4a、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱 柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围是 . 15.给出下列图象

y O ① x

y x

y O ③ x

y O ④ x

O ②

其中可能为函数 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)的图象的是_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ① 16.(本题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? sin(

? 7? ? ? x) ? cos( x ? ) 的图象向右平移 个单位得到函数 g ( x) 的图象. 8 8 8

⑴求函数 g ( x) 的表达式; ⑵证明当 x ? (

3? 5? , ) 时,经过函数 g ( x) 图象上任意两点的直线的斜率恒大于零. 4 4

17.(本小题满分 12 分) 如图所示,已知四面体 O ? ABC 中, M 为 BC 的中点, N 为 AC 的中点, Q 为 OB 的中点, P 为 OA 的中点,若 AB ? OC ,试用向量方法证明: PM ? QN . O
P Q A N C M

B

18. (本小题满分 14 分)为了能更好地了解鲸的生活习性,某动物研究所在受伤的鲸身上 安装了电子监测装置,从海岸放归点 A 处(如图所示)把它放归大海,并沿海岸线由 西到东不停地对鲸进行了 40 分钟的跟踪观测,每隔 10 分钟踩点测得数据如下表(设 鲸沿海面游动) 。 然后又在观测站 B 处对鲸进行生活习性的详细观测。 已知 AB=15km, 观测站 B 的观测半径为 5km.

观 测 时 刻 t ( 分跟 踪 观 测 点 到 放 归 点 距 离鲸 位 于 跟 踪 观 测 点 正 北 方 向 的 距 离 钟) a(km) b(km) 10 20 30 40 1 2 3 4 1 2 3 2

(I)根据表中数据:(1)计算鲸沿海岸线方向运动的速度,(2)写出 a、b 满足的关 系式,并画出鲸的运动路线简图; (II)若鲸继续以(I)-(2)中的运行路线运动,则鲸经过多少分钟(从放归时计时), 可进入前方观测站 B 的观测范围。( 41≈6.4)

19.(本小题满分 14 分)如图所示,已知圆 C : ( x ? 1)2 ? y2 ? 8 ,定点 A(1, 0) , M 为圆 上一动点,点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的轨 迹为 曲线 E . (I)求曲线 E 的方程; (II)若过定点 F (0, 2) 的直线交曲线 E 于不同的两点 G 、 H (点 G 在点 F 、 H 之间),

???? ?

??? ? ??? ? ???? ?

??? ? ???? 且满足 FG ? ? FH ,求 ? 的取值范围.

y

M

P N x CO A

20. (本小题满分 14 分)已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例 函数 y=f2(x)的图象与直线 y=x 的两个交点间距离为 8,f(x)= f1(x)+ f2(x). (1) 求函数 f(x)的表达式; (2) 证明:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)= f(a)有三个不同的实数解.

21.(本小题满分 14 分)

已知 a ? 1 ,数列 {an } 的通项公式是 an ?

1 a n ?2

,前 n 项和记作

Sn ( n ? 1,2,…),规定 S0 ? 0 .函数 f ( x) 在 S0 处和每个区间 (Si , Si ?1 ) ( i ? 0,1,
2,…)上有定义,且 f ( S0 ) ? 0 , f (Si ) ? ai ( i ? 1,2,…).当 x ? (Si , Si ?1 ) 时, f ( x) 的图像完全落在连结点 Pi ( S i , f ( Si ) )与点 Pi ?1 ( Si ?1 , f ( Si ?1 ) )的线段上. (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)设 f ( x) 的图像与坐标轴及直线 l : x ? Sn ( n ? 1,2,…)围成的图形面积为 An , 求 An 及 lim An ;
n??

(Ⅲ)若存在正整数 n ,使得 An ? a2 ,求 a 的取值范围.

数形结合思想参考答案 一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 C 9 B 10 C

二、填空题 11.5 12.(-2,0)∪(2,5] 13.1995,2000_ 14.0<a< ③ 三、解答题 16. 解 : ( I

15 3

15.①



?(

7? ? ? ? 1 ? ? x) ? ( x ? ) ? ? ? f ( x) ? sin( x ? )cos( x ? ) ? sin(2x ? ) ……3 分 8 8 8 8 2 4 1 ? ? 1 ? g ( x) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin 2x …6 分 2 8 4 2 3? 5? ) ( II )证明一:依题意,只需证明函数 g(x) 当 x ? ( 4 , 4 时是增函数 ?sin2x 在
2k? ?

?
2

? 2x ? 2k? ?

?

? ? 2 即 k? ? 4 ? x ? k? ? 4 (k ? Z ) 的每一个区间上是增函数……9 分
4

5? 3? 5? 当 k ? 1 时, g(x) ? sin2x 在 ( 3? , ) 是增函数……10 分,则当 x ?( , ) 时,经过函数 g(x)图 4

4

4

像上任意两点的直线的斜率恒大于零…12 分 证 明 二 : 设 函 数 g(x) 图 像 上 任 意 两 点
x1 ? x2,K AB ? sin 2 x1 ? sin 2 x 2 2cos( x ?1x )sin( ) 2 x ? x 1 ? x1 ? x2 x1 ? x2
2

A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),x1,x2 ? (

3? 5? , ) 4 4

不妨设

x1,x2 ? (

3? 5? 3? 5? ? , ),x1 ? x2 ? ( , ),x1 ? x2 ?(? , 0) …11 4 4 2 2 2

分 cos(x ? x ) ? 0, sin(x ? x ) ? 0,x ? x
1 2 1 2 1

2

? 0,KAB ? 0

5? 则当 x ?(3? , ) 时,经过函数 g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零. 4 4

17. 证明 ∵M 是 BC 的中点,连结 OM, ∴ OM = 1 ( OB + OC ).同理由 N 是 AC 的中点,
2

???? ?

??? ?

????

得 ON = 1 ( OA + OC ).
2

????

??? ?

????

∵ PM = PO + OM = 1 ( AO + OB + OC )= 1 ( OB - OA + OC )= 1 ( AB + OC ) ,QN = QO + ON = 1
2 2 2

???? ?

??? ?

???? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

????

????

????

2

( BO + OA + OC ) = 1 ( OA - OB + OC )= 1 ( BA + OC )= 1 ( OC - AB ).∴ PM · QN = 1 ( OC + AB ) · 1 ( OC
2 2 2 2 2

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

????

??? ?

???? ?

????

????

??? ?

????

- AB )= 1 ( OC - AB ).
2

??? ?

????? ?

?????
2

2

∵| AB |=| OC |,∴ PM · QN =0,即 PM ? QN .

??? ?

????

???? ?

????

18.解:(I)由表中数据知(1)鲸沿海岸线方向运行的速度为 (2) a 、 b 满足的关系式为 b ? .鲸的运动路线图为

1 10

(km/分钟)。

a

?
A y

?

(II)以点 A 为坐标原点,海岸线 AB 为 x 轴,建立直角坐标 系,如图,设鲸所在的位置为点 P(x,y),由(I)知 y ?
x

.

B

又 B ( 15 , 0 ),依题意知,观测站 B 的观测区域为
( x ? 15) 2 ? y 2 ? 25( y ? 0)

,又 y ?

x

,∴ ( x ? 15)

2

? x ? 25

,即 x

2

? 29x ? 200 ? 0

.

B

x

∴ 11.3 ? x ?17.7 .故鲸从 A 点进入前方观测站 B 所用的时间为 11.3 ? 113 分钟.
1 10

A

答:鲸大约经过 113 分钟进入 B 站的观测范围. 19. 解 : ( I ) ? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0.
?| CN | ? | NM |? 2 2,?| CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. ???? ? ??? ? ??? ? ???? ?



NP



AM

的垂直平分线,∴|

NA

|=|

NM

|. 又

∴动点

N

的 轨 迹 是 以 点 C(? 1, 0 A ),

为 (1, 0 ) 焦 点 的 椭 圆 . 且 椭 圆 长 轴 长 为 2a ? 2 2 ,焦 距

2c ? 2 . ? a ? 2, c ? 1, b 2 ? 1.

∴曲线 E 的方程为 x

2

2

? y 2 ? 1.

( II ) 当 直 线 GH 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 GH 方 程 为
1 ( ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 3 ? 0. 2 3 由? ? 0得k 2 ? . 2

y ? k x?2 ,代入椭圆方程

x2 ? 2y ?1,得 2


G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ?
???? ???? ? ?4k 3 2 又 ? FG ? ? FH ? ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x2 , y2 ? 2) ? x1 ? ? x2 ? x1 ? x2 ? (1 ? ? ) x2 , x1 x2 ? ? x2 . , x1 x2 ? 1 1 2 2 ?k ?k 2 2

(


4?? ? 1

(

x1 ? x2 2 xx 2 ) ? x2 ? 1 2 1? ? ? 16 1 .解得 ? ? ? 3 3 3



?4k 2 3 ) 1 1 2 ?k ? k2 16 (1 ? ? )2 2 ? 2 , 整理得 ? 2 1 (1 ? ? ) ? ? 3( 2 ? 1) 2k



k2 ?

3 2



4?

16 16 ? 3 ?3 3 2k 2



?

? 2?

1 又?0 ? ? ? 1,? ? ? ? 1 3







线

GH



















???? 1 ???? ? 1 x ? 0, FG ? FH , ? ? . ?1 ? ? ? 1,即所求?的取值范围是[1 ,1) 3 3 3 3

20.解:(1)由已知,设 f1(x)=ax2,由 f1(1)=1,得 a=1, ∴f1(x)= x2. 设 f2(x)=

k (k>0),它的图象与直线 y=x 的交点分别为 x

A( k , k )B(- k ,- k )

8 8 .故 f(x)=x2+ .………………………………6 分 x x 8 8 (2) 【证法一】f(x)=f(a),得 x2+ =a2+ , x a 8 8 即 =-x2+a2+ . x a 8 在同一坐标系内作出 f2(x)= 和 x 8 f3(x)= -x2+a2+ a
由 AB =8,得 k=8,. ∴f2(x)= 的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x) 与的图象是以(0, a2+

8 )为顶点,开口向下的抛物线. a

因此, f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即 f(x)=f(a)有一个负数解. 又∵f2(2)=4, f3(2)= -4+a2+

8 a 8 当 a>3 时,. f3(2)-f2(2)= a2+ -8>0, a

∴当 a>3 时,在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在 f2(x)图象的上方. ∴f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解. ………………………………14 分 【证法二】由 f(x)=f(a),得 x2+ 即(x-a)(x+a- 方程 x+a-

8 8 =a2+ , x a

8 )=0,得方程的一个解 x1=a. ax

8 =0 化为 ax2+a2x-8=0, ax

由 a>3,△ =a4+32a>0,得 x2=

? a 2 ? a 4 ? 32a ? a 2 ? a 4 ? 32a , x3= , 2a 2a

∵x2<0, x3>0, ∴x1≠ x2,且 x2≠ x3. 若 x1= x3,即 a=

? a 2 ? a 4 ? 32a ,则 3a2= a 4 ? 32a , a4=4a, 2a

得 a=0 或 a= 3 4 ,这与 a>3 矛盾, ∴x1≠ x3. 故原方程 f(x)=f(a)有三个实数解.………………………………14 分
? ,由于所有的 21. 解:(1)f(x)的定义域是 {S0} ? (S0,S1] ? (S1,S2 ] ??? (Sn?1,Sn ] ??

an 都是正数,故 Sn 是单调递增的.

∵ n?? (Ⅱ)∵ ∴

lim S n ?

a1 a a2 ? ? 1? q 1? 1 a ?1 ∴ a
f ( Si ?1 ) ? f ( S1 ) a ? ai ? i ?1 ?1? a ai ?1 Si ?1 ? Si

f ( x) 的定义域是 [0,

a2 ] a ?1

y

P ?1

P ?
2

k P1Pi ?1 ?

( i ? 1,2,…)与 i 无关.
O
1
1

P ?3

? ? ? S1 S2 S3 x
2

所有的 P , P , P …共线,该直线过点 P (a, a) ,斜率为 1 ? a ∴ A ? 1 a .
1 2 3

2

当 n ≥2 时, A 是一个三角形与一个梯形面积之和(如上图所示).梯形面积是
n

1 [ f (S1 ) ? f (Sn )](Sn ? S1 ) 2

1 a(1 ? n ) 1 1 a ? a] ? (a ? n?2 )[ 1 2 a 1? a

?

a 2 n?2 ? 1 2a 2 n ? 4 ( a ? 1)

. 于 是

An ?

a2 a n?2 ? 12 ? 2 2a 2 n ?4 ( a ? 1)



lim An ?
n??

a2 a2 a3 ? ? 2 2(a ? 1) 2(a ? 1)
? 1 ? a ? ?1 即 a

(Ⅲ)解法一:结合图像,易见 k
a

P 1P 2

≥2 时, a ≥ lim A
2
n??

n

? An ,而 k P1P2 ? 1 ? a ? ?1 ,即

<2 时, lim A
n??

n

1 1 ? a2 ? a2 ? a2 2 2

故当 1< a <2 时,存在正整数 n ,使得 A

n

? a2

解 法 二 : 假 设 存 在 正 整 数
1 a2 a 2 n?2 ? 1 a 2 n ? 2 (a ? 2 ? 2 n ?2 ) ? 2 n?4 ? a2 ? 0 ? a ?0 2 2a ( a ? 1) 2a2n?4 (a ? 1)
?

n , 使 得

An ? a 2

, 则 应 有

a2 1 (a ? 2 ? 2 n?2 ) ? 0 2(a ? 1) a
? a2

∵ 成立.

a ?1 ∴

a2 1 1 ? 0 ? a ? 2 ? 2n?2 ? 0 ? a ? 2n?2 ? 2 2( a ? 1) a a

∴1< a <2 时, 存在正整数 n , 使得 A

n


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