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【高三总复习】2013高中数学技能特训:3-4 两角和与差的三角函数(人教B版) 含解析


3-4 两角和与差的三角函数 基础巩固强化 1.(文)(2012· 豫南九校联考)函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为 π,则 a 的值是( A.-1 C.2 [答案] D 2π π [解析] y=cos2ax-sin2ax=cos2ax,T=2|a|=|a|=π,∴a=± 1. ( 理)(2013· 北大附中河南分校高三年级第四次月考 ) 定义行列式运 算?
? sin2x ? a1 a2 ? ?=a1a4-a2a3.将函数 f(x)=? ? a3 a4 ? ? cos2x

) B.1 D.± 1

3? π ?的图象向左平移 个 6 1 ? )

单位,以下是所得函数图象的一个对称中心的是( π A.(4,0) π C.(3,0) [答案] B [解析] π B.(2,0) π D.(12,0)

根据行列式的定义可知 f(x)=sin2x- 3cos2x=2sin(2x-

π π π π π ) ,向左平移 个单位得到 g ( x ) = 2sin[2( x + ) - ] = 2sin2 x ,所以 g ( 3 6 6 3 2) π π =2sin(2×2)=2sinπ=0,所以(2,0)是函数的一个对称中心,选 B. 2.(2012· 平顶山、许昌新乡二调)设△ABC 的三个内角 A、B、C, 向量 m=( 3sinA,sinB),n=(cosB, 3cosA),若 m· n=1+cos(A+B), 则 C=( π A.6 ) π B.3

2π C. 3 [答案] C

5π D. 6

[解析] m· n= 3sinAcosB+ 3sinBcosA= 3sin(A+B)= 3sinC, cos(A+B)=-cosC,∵m· n=1+cos(A+B),∴ 3sinC=1-cosC,∴ π 1 sin(C+6)=2, 2π ∵0<C<π,∴C= 3 . 3.(文)(2012· 深圳市一调)已知直线 l:xtanα-y-3tanβ=0 的斜率 为 2,在 y 轴上的截距为 1,则 tan(α+β)=( 7 A.-3 5 C.7 [答案] D 1 [解析] 由条件得 tanα=2,tanβ=-3, tanα+tanβ = 1 =1. 1-tanα· tanβ 1-2×?-3? 1 2+?-3? 7 B.3 D.1 )

∴tan(α+β)=

(理)(2011· 北京东城区期末)在△ABC 中,C=120° ,tanA+tanB= 2 3 3 ,则 tanAtanB 的值为( 1 A.4 [答案] B [解析] ∵C=120° ,∴A+B=60° , 1 B.3 ) 1 C.2 5 D.3

∴tan(A+B)=

tanA+tanB = 3, 1-tanAtanB

2 3 1 ∵tanA+tanB= 3 ,∴tanAtanB=3. asin2+bcos2 π 4.已知实数 a、b 均不为零, =tanβ,且 β-2=6, acos2-bsin2 b 则a=( A. 3 C.- 3 [答案] B 3 tan2+ 3 asin2+bcos2 atan2+b π tanβ=tan(2+6)= = = , acos2-bsin2 a-btan2 3 1- 3 tan2 ) 3 B. 3 3 D.- 3

[解析]

3 b 3 所以 a=1,b= 3 ,故a= 3 . 5.(文)在△ABC 中,如果 sinA= 3sinC,B=30° ,那么角 A 等于 ( ) A.30° C.60° [答案] D [解析] ∵△ABC 中,B=30° ,∴C=150° -A, 3 3 ∴sinA= 3sin(150° -A)= 2 cosA+2sinA, ∴tanA=- 3,∴A=120° . 5 10 (理)已知 sinα= 5 ,sin(α-β)=- 10 ,α、β 均为锐角,则 β 等于 B.45° D.120°

(

) 5π A.12 π C.4 [答案] C π π [解析] ∵α、β 均为锐角,∴-2<α-β<2, 3 10 ∴cos(α-β)= 1-sin2?α-β?= 10 , 5 ∵sinα= 5 ,∴cosα= ∴sinβ=sin[α-(α-β)] 2 =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= 2 . π π ∵0<β<2,∴β=4,故选 C. 6.(文)函数 f(x)=(3sinx-4cosx)· cosx 的最大值为( A.5 1 C.2 [答案] C [解析] f(x)=(3sinx-4cosx)cosx 3 =3sinxcosx-4cos2x=2sin2x-2cos2x-2 5 4 =2sin(2x-θ)-2,其中 tanθ=3, 5 1 所以 f(x)的最大值是2-2=2.故选 C. 9 B.2 5 D.2 ) 1-?
? 5?2 2 5 ?= 5 . ? 5?

π B.3 π D.6

π? ? (理)已知 a=(sinα,1-4cos2α),b=(1,3sinα-2),α∈?0,2?,若 a
? ?

π? ? ∥b,则 tan?α-4?=(
? ?

) 1 B.-7 2 D.-7

1 A.7 2 C.7 [答案] B

[解析] ∵a∥b,∴1-4cos2α=sinα(3sinα-2), ∴5sin2α+2sinα-3=0, π? ? 3 3 ∴sinα=5或 sinα=-1,∵α∈?0,2?,∴sinα=5,
? ?

π? tanα-1 ? 3 1 ∴tanα=4,∴tan?α-4?= =-7. ? ? 1+tanα 7.(文)要使 sinα- 3cosα= ________. 7 [答案] [-1,3] π π [解析] ∵sinα- 3cosα=2(sinαcos3-sin3cosα) π =2sin(α-3)∈[-2,2], 4m-6 ∴-2≤ ≤2. 4-m 由 由 4m-6 ≥-2 得,-1≤m<4; 4-m 4m-6 7 7 ≤2 得,m≤3或 m>4,∴-1≤m≤3. 4-m 4m-6 有意义,则 m 的取值范围是 4-m

π (理)函数 f(x)=asinx-bcosx 的图象的一条对称轴是直线 x=4,则 直线 ax-by+c=0 的倾斜角的大小为________. [答案] 3π ) 4 (或 135°

[解析] f(x)的图象的对称轴过其最高点或最低点, a-b π ∴f(4)=± a2+b2,∴ =± a2+b2,解得 a+b=0.∴直线 ax- 2 a by+c=0 的斜率 k=b=-1, 3π ∴直线 ax-by+c=0 的倾斜角为 135° (或 4 ). π π 8.已知 α、β∈(0,2),且 tanα· tanβ<1,比较 α+β 与2的大小,用 “<”连接起来为________. π [答案] α+β<2 π? ? [解析] ∵tanα· tanβ<1,α、β∈?0,2?,
? ?

sinα· sinβ ∴cosα· sinβ<cosα· cosβ, cosβ<1,∴sinα· ∴cos(α+β)>0, π ∵α+β∈(0,π),∴α+β<2. 9.已知 tanα、tanβ 是关于 x 的一元二次方程 x2+4x-5=0 的两实 sin?α+β? 根,则 =________. cos?α-β? [答案] 1 [解析] ∵tanα、tanβ 为方程 x2+4x-5=0 的两根,

? ?tanα+tanβ=-4, ∴? ?tanα· tanβ=-5, ?

∴ =

sin?α+β? sinαcosβ+cosαsinβ tanα+tanβ = = cos?α-β? cosαcosβ+sinαsinβ 1+tanαtanβ -4 =1. 1+?-5?

10.(文)(2012· 吉林延吉市质检)已知函数 f(x)=-2 3sin2x+sin2x + 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图 象.

[ 解析 ] π +3),

(1)f(x)= 3(1 - 2sin2x)+ sin2x= sin2x+ 3cos2x= 2sin(2x

2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π,最小值为-2. (2)列表:

x f (x )

0 3

π 12 2

π 3 0

7π 12 -2

5π 6 0

π 3

故画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象如图.

1 (理)(2012· 江西赣州市期末)已知函数 f(x)= 3sinxcosx-cos2x-2, x∈R. (1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期; (2)已知△ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 c=3,f(C) =0,若向量 m=(1,sinA)与 n=(2,sinB)共线,求 a、b 的值. [ 解析 ] 1 3 1 (1)f(x) = 3sinxcosx - cos2x - 2 = 2 sin2x - 2 cos2x - 1 =

π sin(2x-6)-1, ∴f(x)的最小值是-2,最小正周期为 π. π π (2)∵f(C)=sin(2C-6)-1=0,即 sin(2C-6)=1, π π 11π ∵0<C<π,-6<2C-6< 6 ,

π π π ∴2C-6=2,∴C=3. ∵m 与 n 共线,∴sinB-2sinA=0. a b 由正弦定理sinA=sinB,得 b=2a,① π ∵c=3,由余弦定理得,9=a2+b2-2abcos3,②
? ?a= 3, 解方程组①②得,? ?b=2 3. ?

能力拓展提升 3π 11.(文)已知 sinβ=5(2<β<π),且 sin(α+β)=cosα,则 tan(α+β)= ( ) A.1 C.-2 [答案] C 3 π 4 [解析] ∵sinβ=5,2<β<π,∴cosβ=-5, ∴sin(α+β)=cosα=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ 4 3 =-5cos(α+β)+5sin(α+β), 2 4 ∴5sin(α+β)=-5cos(α+β),∴tan(α+β)=-2. 2 2 (理)已知 sinx-siny=-3, cosx-cosy=3, 且 x、 y 为锐角, 则 tan(x -y)=( ) 2 14 B.- 5 B.2 8 D.25

2 14 A. 5

2 14 C.± 5 [答案] B

5 14 D.± 28

5 [解析] 两式平方相加得:cos(x-y)=9, π ∵x、y 为锐角,sinx-siny<0,∴x<y,∴-2<x-y<0, 2 14 ∴sin(x-y)=- 1-cos2?x-y?=- 9 , ∴tan(x-y)= sin?x-y? 2 14 =- 5 . cos?x-y?

4 π 12. (2012· 东北三校联考)已知 sinθ+cosθ=3(0<θ<4), 则 sinθ-cosθ 的值为( 2 A. 3 1 C.3 [答案] B 4 7 [解析] 由 sinθ+cosθ=3两边平方得,sin2θ=9, 2 ∴(sinθ-cosθ)2=1-sin2θ=9, π 2 ∵0<θ<4,∴sinθ<cosθ,∴sinθ-cosθ=- 3 . 4 π 2α 13. (2012· 东城模拟)若 sin(π-α)=5, α∈(0, ) , 则 sin2 α - cos 2 2的 值等于________. 4 [答案] 25 ) 2 B.- 3 1 D.-3

4 4 [解析] ∵sin(π-α)=5,∴sinα=5, π 3 又∵α∈(0,2),∴cosα=5, 1+cosα α ∴sin2α-cos22=2sinαcosα- 2 3 1+5 4 3 4 =2×5×5- 2 =25. π 14.(文)(2012· 山西高考联合模拟)设 f(x)=asin(π-2x)+bsin(2+ π 2x),其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤|f(6)|对一切 x∈R 恒成立,则 11π ①f( 12 )=0 ②f(x)的周期为 2π ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数 ④存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图像不相交 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) [答案] ①③ [解析] π f(x) = asin(π - 2x) + bsin( 2 + 2x) = asin2x + bcos2x =

b a2+b2sin(2x+φ),其中,tanφ=a, π ∵f(x)≤|f(6)|对一切 x∈R 恒成立, π π π ∴|f(6)|= a2+b2,∴2×6+φ=kπ+2, π ∴φ=kπ+6, 又 f(x)的周期 T=π,故①③正确,②④错误.

3 12 π π (理)已知 sin(2α-β)=5,sinβ=-13,且 α∈(2,π),β∈(-2,0), 则 sinα=________. [答案] 3 130 130

π [解析] ∵2<α<π,∴π<2α<2π. π π 5π 又-2<β<0,∴0<-β<2,π<2α-β< 2 , 3 而 sin(2α-β)=5>0, 5π 4 ∴2π<2α-β< 2 ,cos(2α-β)=5. π 12 5 又-2<β<0 且 sinβ=-13,∴cosβ=13, ∴cos2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ 4 5 3 12 56 =5×13-5×(-13)=65. 9 又 cos2α=1-2sin2α,∴sin2α=130. π 3 130 又 α∈(2,π),∴sinα= 130 . 5 10 15.(文)已知 A、B 均为钝角且 sinA= 5 ,sinB= 10 ,求 A+B 的值. 5 10 [解析] ∵A、B 均为钝角且 sinA= 5 ,sinB= 10 , ∴cosA=- 1-sin2A=- 2 2 5 =- 5 , 5

cosB=- 1-sin2B=-

3 3 10 =- 10 , 10

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB 2 5 3 10 5 10 2 =- 5 ×(- 10 )- 5 × 10 = 2 , π π 又∵2<A<π,2<B<π, 7π ∴π<A+B<2π,∴A+B= 4 . π (理)(2011· 成都二诊)已知函数 f(x)=2sinxcos(x+6)-cos2x+m. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π π (2)当 x∈[-4,4]时,函数 f(x)的最小值为-3,求实数 m 的值. π [解析] (1)∵f(x)=2sinxcos(x+6)-cos2x+m 3 1 =2sinx( 2 cosx-2sinx)-cos2x+m = 3sinxcosx-sin2x-cos2x+m 1-cos2x 3 = 2 sin2x- -cos2x+m 2 3 1 1 = 2 sin2x-2cos2x-2+m π 1 =sin(2x-6)-2+m. 2π ∴f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π π π (2)∵-4≤x≤4,∴-2≤2x≤2, 2π π π π 3 ∴- 3 ≤2x-6≤3,∴-1≤sin(2x-6)≤ 2 .

1 ∴ f(x)的最小值为-1-2+m. 1 3 由已知,有-1-2+m=-3,∴m=-2. π? π? ? ? 16.(文)已知函数 f(x)=sin?2x+6?+sin?2x-6?-2cos2x.
? ? ? ?

(1)求函数 f(x)的值域及最小正周期; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 3 1 3 1 [解析] (1)f(x)= 2 sin2x+2cos2x+ 2 sin2x-2cos2x-(cos2x+1) =2?
? 3 ? π? ? 1 ?-1=2sin?2x- ?-1. sin2 x - cos2 x 6? 2 ? ?2 ? ? ?

π? ? 由-1≤sin?2x-6?≤1 得, π? ? -3≤2sin?2x-6?-1≤1.
? ?

可知函数 f(x)的值域为[-3,1]. 且函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π (2)由 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z)解得, π π kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z). π π 所以 y=f(x)的单调增区间为[kπ-6,kπ+3](k∈Z). (理)已知△ABC 中,|AC|=1,∠ABC=120° ,∠BAC=θ,记 f(θ) →· →, =AB BC (1)求 f(θ)关于 θ 的表达式; (2)求 f(θ)的值域. [解析] (1)由正弦定理有:

|BC| 1 |AB| = = , sinθ sin120° sin?60° -θ? sin?60° -θ? sinθ ∴|BC|=sin120° ,|AB|= sin120° →· → =|AB → |· → |cos(180° ∴f(θ)=AB BC |BC -∠ABC) 2 =3sinθ· sin(60° -θ) 2 3 1 =3( 2 cosθ-2sinθ)sinθ 1 π 1 π =3sin(2θ+6)-6 (0<θ<3) π π π 5π (2)∵0<θ<3,∴6<2θ+6< 6 , 1 π ∴2<sin(2θ+6)≤1, 1 1 ∴0<f(θ)≤6,即 f(θ)的值域为(0,6].

1.(2012· 安徽“江南十校”联考)在△ABC 中,角 A、B、C 所对 tanA 2c 的边分别为 a、 b、 c, 已知 a=2 3, c=2 2, 1+tanB= b , 则 C=( A.30° C.45° 或 135° [答案] B tanA 2c sinAcosB 2sinC [解析] 由正弦定理得, 1+tanB= b ?1+cosAsinB= sinB ?sin(A 1 +B)=2sinCcosA?cosA=2, ∵A∈(0,π),∴A=60° . B.45° D.60° )

2 3 2 2 2 由正弦定理得sinA=sinC,∴sinC= 2 , 又 c<a,∴C<60° ,∴C=45° ,故选 B. 2.(2012· 孝感统考)已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示, 则 f(x)的表达式为( )

3 π A.f(x)=2sin(2x+4) 3 5π B.f(x)=2sin(2x+ 4 ) 4 2π C.f(x)=2sin(3x+ 9 ) 4 25 D.f(x)=2sin(3x+18π) [答案] B 3 5π π 4π [解析] 由函数的部分图象可知4T= 6 -(-6)=π,则 T= 3 ,结 2π 3 合选项知 ω>0,故 ω= T =2,排除选项 C、D;又因为函数图象过点 5π ( 6 ,2),代入验证可知只有选项 B 满足条件. 3.(2012· 唐山统考)若 β=α+30° ,则 sin2α+cos2β+sinαcosβ 等于 ( )

1 A.4 C.cos2β [答案] B

3 B.4 D.sin2α

[解析] 将 β=α+30° 代入 sin2α+cos2β+sinαcosβ,整理得 sin2α+cos2(α+30° )+sinαcos(α+30° ) =sin2α+(cosαcos30° -sinαsin30° )2+sinα(cosαcos30° -sinαsin30° ) 3 1 3 1 =sin2α+( 2 cosα-2sinα)( 2 cosα-2sinα+sinα) 3 1 3 1 =sin2α+( 2 cosα-2sinα)( 2 cosα+2sinα) 3 1 =sin2α+( 2 cosα)2-(2sinα)2 3 1 =sin2α+4cos2α-4sin2α 3 3 =4(sin2α+cos2α)=4. 3 π 1 π 4.若 tan(x+y)=5,tan(y-3)=3,则 tan(x+3)的值是________. 2 [答案] 9 π π [解析] tan(x+3)=tan[(x+y)-(y-3)] 3 1 5-3 2 = = = π 3 1 9. 1+tan?x+y?· tan?y-3? 1+5×3 π? ?3π ? ? 3 5.(2011· 广州调研)已知 α、β∈? 4 ,π?,sin(α+β)=-5,sin?β-4?
? ? ? ?

π tan?x+y?-tan?y-3?

π? ? 12 =13,则 cos?α+4?=________.
? ?

56 [答案] -65 [解析]
?3π ? 3π π π 3π 因为 α、β∈? 4 ,π?,所以 2 <α+β<2π,2<β-4< 4 ,由 ? ?

4 π 5 π 题易知 cos(α+β)=5,cos(β-4)=-13,则 cos(α+4)=cos[(α+β)-(β π 4 5 3 12 56 -4)]=5×(-13)+(-5)×13=-65. 6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a -c)cosB=bcosC. (1)求角 B 的大小; → -BC → |=2,求△ABC 的面积的最大值. (2)若|BA [解析] (1)在△ABC 中,∵(2a-c)cosB=bcosC, 根据正弦定理有(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(C+B),即 2sinAcosB=sinA. 1 ∵sinA>0,∴cosB=2, π 又∵B∈(0,π),∴B=3. → -BC → |=2,∴|CA → |=2,即 b=2. (2)∵|BA 根据余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,有 4=a2+c2-ac. ∵a2+c2≥2ac(当且仅当 a=c 时取“=”号), ∴4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac, 1 3 即 ac≤4,∴△ABC 的面积 S=2acsinB= 4 ac≤ 3, 即当 a=b=c=2 时,△ABC 的面积的最大值为 3. x x 7.已知函数 f(x)=sin2+2cos24.

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若(2a-c)cosB =bcosC,求 f(A)的取值范围. x ? x ? [解析] (1)∵f(x)=sin2+?2cos24-1?+1
? ? ? x π? x x =sin2+cos2+1= 2sin?2+4?+1, ? ?

∴f(x)的最小正周期为 T=4π. (2)由(2a-c)cosB=bcosC 得, (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C)=sinA, 1 π 2π ∵sinA≠0,∴ocsB=2,∴B=3,∴A+C= 3 ,
?A π? 2π 又∵f(A)= 2sin? 2 +4?+1,∴0<A< 3 , ? ?

π A π 7π ∴4< 2 +4<12,
?A π? π 7π 2 又∵sin4<sin12,∴ 2 <sin? 2 +4?≤1, ? ?

∴2<f(A)≤ 2+1. 8.(2012· 绥化市一模)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的 对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0. (1)求角 B 的值; π (2)已知函数 f(x)=2cos(2x-B),将 f(x)的图象向左平移12个单位长 度后得到函数 g(x)的图象,求 g(x)的单调增区间. [ 解析 ] (1) 由正弦定理得 (2sinA + sinC)cosB + sinBcosC = 0 ,即

2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0,

得 2sinAcosB+sin(B+C)=0, 因为 A+B+C=π, 所以 sin(B+C)=sinA, 得 2sinAcosB+sinA=0, 1 因为 sinA≠0,所以 cosB=-2, 2π 又 B 为三角形的内角,所以 B= 3 . 2π 2π (2)∵B= 3 ,∴f(x)=2cos(2x- 3 ), π 2π ∴g(x)=2cos[2(x+12)- 3 ] π =2cos(2x-2)=2sin2x, π π 由 2kπ-2≤2x≤2kπ+2 (k∈Z)得,

π π kπ-4≤x≤kπ+4 (k∈Z), π π 故 f(x)的单调增区间为[kπ-4,kπ+4](k∈Z). 3 5 π π 9.(2011· 晋中一模)已知 sinα+cosα= 5 ,α∈(0,4),sin(β-4) 3 π π =5,β∈(4,2). (1)求 sin2α 和 tan2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值. 9 [解析] (1)由题意得(sinα+cosα)2=5, 9 4 即 1+sin2α=5,∴sin2α=5. π 3 又 2α∈(0,2),∴cos2α= 1-sin22α=5, sin2α 4 ∴tan2α=cos2α=3.

π π π π (2)∵β∈(4,2),β-4∈(0,4), π 4 ∴cos(β-4)=5, π π π 24 于是 sin2(β-4)=2sin(β-4)cos(β-4)=25. π 24 又 sin2(β-4)=-cos2β,∴cos2β=-25. π 7 又 2β∈(2,π),∴sin2β=25. 又 cos2α= 1+cos2α 4 =5, 2

2 5 5 π ∴cosα= 5 ,sinα= 5 (α∈(0,4)). ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β 2 5 24 5 7 11 5 = 5 ×(-25)- 5 ×25=- 25 .


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