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江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题含答案

江西省南昌市 2018 届高三第一次模拟考试数学(文)试题含答案
第一次模拟测试卷 文科数学 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x ? N y ? A. ? ??, 4

?

4 ? x , B ? ?x x ? 2n ? 1, n ? Z ? ,则 A
B. ?1,3? C. ?1,3,5?

?

B ?(

) D. 1,3

?
ix

? ?
?
i

2.欧拉公式 e ? cos x ? i sin x ( i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三 角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知, e 3 表示的复数位于复 平面中的( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

3.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,则( A. f ? 0? ? f ? log3 2? ? f ? ? log2 3? C. f ? ? log2 3? ? f ? log3 2? ? f ? 0?

B. f ? log3 2? ? f ? 0? ? f ? ? log2 3? D. f ? ? log2 3? ? f ? 0? ? f ? log3 2? ) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知 a ? 0 , b ? R ,那么 a ? b ? 0 是 a ? b 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

?x ? y ? 3 ? 0 ? 5.设不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域为 M ,若直线 y ? kx 经过区域 M 内的点,则实数 k 的取值范围为( ?3x ? y ? 5 ? 0 ?
A. ?

)

?1 ? , 2? ?2 ? ? ?

B. ? , ? 2 3

?1 4? ? ?

C. ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

D. ? , 2 ? 3 )

?4 ?

? ?

6.已知函数 f ? x ? ? 2sin ? ? x ?

??

? ?? ? 0 ? 的部分图象如图所示,则 ? 的值可以为( 6?

A.1

B.2 )

C.3

D.4

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 n 等于(

A.1 8.设函数 f ? x ? ? ? 1

B.2

C.3

D.4 )

x?a ? ?2 , x ? 1 ,若 f ?1? 是 f ? x ? 的最小值,则实数 a 的取值范围为( ? ? x ? 1, x ? 1

A. ?1, 2?

?

B. ?1, 0

?

?

C. 1, 2

? ?

D. 1, ?? ? )

?

9.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示,图中网格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为(

A. 6 ?

3 3 4

B.

15 2

C. 6 ? 3

D.8

10.函数 f ? x ?

?e ?

x

? e? x ? sin x e2

? ?? ? x ? ? ? 的图象大致为(

)

A 11.已知 F1 , F2 为双曲线 C :

B

C

D

x2 y 2 ? ? 1? b ? 0? 的左右焦点,点 A 为双曲线 C 右支上一点, AF1 交左支于点 B ,△ AF2 B 是等 2 b2 ? 腰直角三角形, ∠AF2 B ? ,则双曲线 C 的离心率为( ) 2
A.4 12.已知台风中心位于城市 B. 2 3 C.2 D. 3

A 东偏北 ? ( ? 为锐角)度的 200 公里处,以 v 公里/小时沿正西方向快速移动, 2.5 小时后到达距城 3 市 A 西偏北 ? ( ? 为锐角)度的 200 公里处,若 cos ? ? cos ? ,则 v ? ( ) 4
A. 60 B.80 C.100 D.125 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.设函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 内可导,其导函数为 f ' ? x ? ,且 f ? ln x ? ? x ? ln x ,则 f ' ?1? ? ____________. 14.已知平面向量 a ? ?1, m? , b ? ? 4, m ? ,若 2a ? b ? a ? b ? 0 ,则实数 m ? ____________. 15.在圆 x ? y ? 4 上任取一点,则该点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 d ? 0,1 的概率为____________.
2 2

?

??

?

? ?

16.已知函数 f ? x ? ? x ? sin x ,若 ? ? 0, ? , ? ? ? ?
3

?

?

? ? ?? , ? ,且 ? 4 4?

?? ? ?? ? f ? ? ? ? ? f ? 2 ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? ________. 2 2 ? ? ? ?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 S4 ? 2a4 ? 1 , S3 ? 2a3 ? 1 . 2

(1)求 ?an ? 的通项公式;

(2)记 bn ? log

2

? 16 ? ? ? ,求 b1 ? b2 ? … ? bn 的最大值. ? Sn ? 1 ?

18.某校为了推动数学教学方法的改革,学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班各 40 人,甲班按 原有模式教学,乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整,绘制成 如下茎叶图,规定不低于 85 分(百分制)为优秀,甲班同学成绩的中位数为 74.

(1) 求 x 的值和乙班同学成绩的众数; (2) 完成表格,若有 90% 以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话,那么学校将扩大教学改革面,请问学校是否 要扩大改革面?说明理由.

19. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 底面 ABCD ,ABCD 为直角梯形,AC 与 BD 相交于点 O ,AD ∥ BC ,AD ? AB ,

AB ? BC ? AP ? 3 ,三棱锥 P ? ACD 的体积为 9.

(1)求 AD 的值; (2)过 O 点的平面 ? 平行于平面 PAB , ? 与棱 BC , AD , PD , PC 分别相交于点 E , F , G, H ,求截面 EFGH 的周长.

3 x2 y 2 x2 ,抛物线 E : y ? 的焦点为 F , P 是 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的下顶点为 A ,右顶点为 B ,离心率 e ? 2 2 a b 8 抛物线 E 上一点,抛物线 E 在点 P 处的切线为 l ,且 l ∥ AB .
20.已知椭圆 C : (1)求直线 l 的方程; (2)若 l 与椭圆 C 相交于 M , N 两点,且 S△ FMN ?
x

5 31 ,求 C 的方程. 4

21.已知函数 f ? x ? ? e ? a ln x ? e ? a ? R ? ,其中 e 为自然对数的底数. (1)若 f ? x ? 在 x ? 1 处取到极小值,求 a 的值及函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若当 x ? 1, ?? ? 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 3

?

22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? 立极坐标系. (1)求 C 的极坐标方程; (2)若直线 l1 , l2 的极坐标方程分别为 ? ? 的面积. 23.已知

? x ? 2cos ? ( ? 为参数),以坐标原点为极点, x 轴非负半轴为极轴建 ? y ? 2sin ? ? 2

?
6

? ? ? R ? ,? =

2? 设直线 l1 , l2 与曲线 C 的交点为 O ,M ,N , 求 △OMN ? ? ? R? , 3

f ? x ? ? 2x ? 3a2 .

(1)当 a ? 0 时,求不等式 f ? x ? ? x ? 2 ? 3 的解集; (2)对于任意实数 x ,不等式 2 x ? 1 ? f ? x ? ? 2a 成立,求实数 a 的取值范围.

4

NCS20180607 项目第一次模拟测试卷 文科数学参考答案及评分标准 一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 C 9 B 10 A 11 D 12 C

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. e + 1 14. ?

5

15.

1 3

16.

2 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤. 17.【解析】(Ⅰ)设

{an }的公比为 q ,由 S4 - S3 = a4 得, 2a4 - 2a3 = a4 ,
2.
所以 a1 =

所以

a4 = 2, a3

所以 q =

又因为 S3 所以 an

= 2a3 - 1 所以 a1 + 2a1 + 4a1 = 8a1 - 1,

1.

= 2n- 1 .

1- 2 n 16 = 2n - 1 ,所以 bn = log 2 ( (Ⅱ)由(Ⅰ)知, Sn = ) = 2log 2 24- n = 8 - 2n , 1- 2 Sn + 1 bn ? bn?1 ? ?2 ,所以 {bn } 是首项为 6 ,公差为 ?2 的等差数列, 所以 b1 ? 6, b2 ? 4, b3 ? 2, b4 ? 0, 当 n ? 5 时 bn ? 0 ,

? bn 的最大值为 12 . 18. 【解析】(Ⅰ)由甲班同学成绩的中位数为 74 , 所以 7 x ? 75 ? 2 ? 74 ,得 x ? 3 由茎叶图知,乙班同学成绩的众数为 78,83
所以当 n
2

? 3 或 n ? 4 时, b1 ? b2 ?

甲班 乙班 合计 优秀人数 不优秀人数 合计 6 34 40 13 27 40 19 61 80

80 ? (6 ? 27 ? 13 ? 34) 2 ? 3.382 ? 2.706 (表格 2 分, K 2 计算 4 分) (Ⅱ)依题意知 K ? 40 ? 40 ? 19 ? 61
有 90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”,学校可以扩大教学改革面. 19. 【解析】(Ⅰ)四棱锥 P -

ABCD 中, PA ^

底面

ABCD ,

ABCD 为直角梯形, AD // BC, AD ^ AB , AB = BC = AP = 3 ,
1 AB ×AD 3 AD 醋 AP = = 9 ,解得 AD = 6 . 3 2 2 (Ⅱ)【法一】因为 a // 平面 PAB ,平面 a 平面 ABCD = EF , O ? EF , 平面 PAB 平面 ABCD = AB , P EF // AB 根据面面平行的性质定理,所以 ,
所以 VPACD

=

G F
H

同理 EH

// BP, FG // AP ,

因为 BC //

AD, AD = 2BC ,
N B A

M

D

BC CO 1 = = , AD OA 2 又因为 D COE ∽ D AOF , AF = BE ,所以 BE = 2 EC , 同理 2 AF = FD , 2 PG = GD , 1 2 EF = AB = 3, EH = PB = 2, FG = AP = 2 3 3
所以 D BOC ∽ D DOA ,且 5

O

E

C

如图:作 HN // BC, HN

PB = N , GM // AD, GM

PA = M

,所以 HN // GM , HN

= GM



故四边形 GMNH 为矩形,即 GH 在 D PMN 中,所以 MN

= MN



(求 GH 长 2 分,其余三边各 1 分)

= 8 + 1- 2创 2 2 cos 45° =

5

所以截面 EFGH 的周长为 3 + 【法二】因为 a

2+ 5 + 2 = 5+ 5 + 2 .

P G N

// 平面 PAB ,平面 a 平面 ABCD = EF O ? EF ,平面 PAB 平面 ABCD = AB , // AB ,同理 EH // BP, FG // AP
AD, AD = 6, BC = 3

所以 EF

因为 BC ∥

A

F H O

D

所以 D BOC ∽ D DOA ,且 所以

BC CO 1 = = , AD AO 2

B

E

C

EO 1 1 ? , CE = CB = 1, BE = AF = 2 OF 2 3 CH EH CO 1 = = = ,连接 HO ,则有 HO ∥ PA , 同理 PC PB CA 3 1 2 所以 HO ? EO , HO ? 1,所以 EH ? PB ? 2 ,同理, FG ? PA ? 2 , 3 3
过点 H 作 HN ∥ EF 交 FG 于 N ,则 GH 所以截面 EFGH 的周长为 3 +

? HN 2 ? GN 2 ? 5 ,

2+ 5 + 2 = 5+ 5 + 2 .
b2 3 ? , a2 4
1 2
得 所以

20. 【解析】(Ⅰ)因为 e

2

? 1?

b 1 ? , a 2

所以 k AB

?

1 2

又因为 l ∥

AB ,

所以 l 的斜率为

设 P(t ,

t2 x2 ) ,过点 P 与 E 相切的直线 l ,由 y ? 8 8
1 ), 2
所以直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ?

y' ?

x t 1 |x ?t ? ? 4 4 2

,解得 t

?2

所以 P (2,

0

? x2 y2 ? ?1 ? ? 4b 2 b 2 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 ? ?y ? x ?1 ? ? 2
得 2x
2

? 2 x ? 1 ? 4b2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1, x1 x2 ?

1 ? 4b2 2



且D

= 4 - 8(1- 4b2 ) > 0 ,即 b 2 >

1 , 8

6

所以 |

x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8b 2 ? 1 ,
: x ? 2 y ? 1 ? 0 中,令 x ? 0 得 y ? ?

【法一】 l

1 2

,l 交

y 轴于 D ,

又抛物线焦点 F (0, 2) ,所以 |

FD |? 2 ?

1 5 ? 2 2

所以 S?FMN

?

1 1 5 5 31 2 ,解得 b ? 4 , | FD | ? | x1 ? x2 |? ? 8b2 ? 1 ? 2 2 2 4

所以椭圆 C 的方程

x2 y2 ? ? 1. 16 4

【法二】 | MN

|? 1 ?

1 5 | x1 ? x2 |? 8b2 ? 1 4 2
| 0 - 4 - 1| = 5 5

l : x ? 2 y ? 1 ? 0 ,抛物线焦点 F (0, 2) ,则 d F ? l =

所以 S?FMN

?

1 1 5 5 31 2 ,解得 b ? 4 , | MN | ?d F ?l ? ? 8b2 ? 1 ? 5 ? 2 2 2 4

所以椭圆 C 的方程

x2 y2 ? ? 1. 16 4
( x) = e x f ( x) = ex - a ln x - e(a ? R) ,得 f ? a x

21. 【解析】(Ⅰ)由

因为

( x) = e x f? (1) = 0 ,所以 a = e ,所以 f ?

e xe x - e = x x

令 g ( x) = 当x>

xex - e ,则 g ? ( x) = ex (1+ x) ,

0 时, g ? ( x) > 0 ,故 g ( x) 在 x ? (0, ? ) 单调递增,且 g (1) = 0,

所以当 x ? 即当 x ? 所以函数

(0,1)时, g ( x)

0 , x ? (1, ? )时, g ( x)

0.

(0,1) 时, f '( x) < 0 ,当 x ? (1, ? ) 时, f '( x) > 0 . f ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, + ? ) 上递增.

(Ⅱ)【法一】由 (1)当 a ?

( x) = e x f ( x) = e x - a ln x - e ,得 f ?

a x

0 时, f ? ( x) = e x -

a > 0 , f ( x) 在 x ? [1, ? ) 上递增 x

f ( x)min = f (1) = 0 (合题意)

7

a = 0 ,当 x ? [1, ? ) 时, y = e x ? e x a a ? e, f ? ( x) = e x - ? 0 . ①当 a ? (0, e] 时,因为 x ? [1, ? ) ,所以 y = x x
(2)当 a >

0 时, f ? ( x) = e x -

f ( x) 在 x ? [1, ? ) 上递增, f ( x)min = f (1) = 0 (合题意)
②当 a ?

( x) = e x (e, ? ) 时,存在 x0 ? [1, ? ) 时,满足 f ?

a = 0 x

f ( x) 在 x0 ? [1, x0 ) 上递减, ( x0 + ? ) 上递增,故 f ( x0 ) < f (1) = 0 .
不满足 x ?

[1, ? ) 时, f ( x) ? 0 恒成立 ? , e] .

综上所述, a 的取值范围是 (【法二】由 由 而

f ( x) = e x - a ln x - e ,发现 f (1) = ex - a ln x - e = 0

f ( x) = ex - a ln x - e ? 0 在 [1, + ? ) 恒成立,知其成立的必要条件是 f ?(1) ? 0
f ?( x) ? e x ? a , f ?(1) ? e ? a ? 0 ,即 a ? e x a f ?( x) ? e x ? ? 0 恒成立,此时 f ( x) 在 [1, + ? ) 上单调递增, x
0 (合题意).

①当 a

? 0 时,

f ( x) ? f (1)
②当 0 ? 而在 x 所以

a ? e 时,在 x ? 1 时,有 0 ?

? 1 时, e x ? e ,知

1 a ? 1 ,知 ?e ? ? a ? ? ? 0 , x x a f ?( x) ? e x ? ? 0 , x
0 (合题意)

f ( x) 在 [1, + ? ) 上单调递增,即 f ( x) ? f (1) ? , e] .

综上所述, a 的取值范围是 (-

22. 【解析】(Ⅰ)由参数方程 ?

? x ? 2cos ? 2 2 得普通方程 x ? ( y ? 2) ? 4 , ? y ? 2sin ? ? 2

所以极坐标方程 r

2

cos2 q + r 2 sin 2 q - 4r sin q = 0 ,即 r = 4sin q .
π (r ? R ) 与曲线 C 的交点为 O, M 6
,得 r M

(Ⅱ)直线 l1 : q = 又直线 l2

= | OM |= 4sin

p = 2, 6

2π 2p (r ? R ) 与曲线 C 的交点为 O, N ,得 r N = | ON |= 4sin = 2 3 3 3 ? 1 1 | OM || ON |= 创2 2 3 = 2 3 . 且 ?MON ? ,所以 SD OMN = 2 2 2 :q =
23. 【解析】(Ⅰ)当 a =

0 时, f ( x)+ | x - 2 |= | 2 x | + | x - 2 |? 3 ,

8

ì x< 0 ? ? í ? ? ? - 2x + 2 - x ? 3
所以

得x?

? 0 #x 2 1 ì ;? í 3 ? ? ? 2x + 2 - x ? 3

得 1 #x

ì ? x> 2 2;? í ? ? ? 2x + x - 2 ? 3

得x>

2,

f ( x)+ | x - 2 |? 2 的解集为 (- ? ,

1 ] [1, + ? ) . 3
f ( x) < 2a 成立,即 | 2 x + 1| - | 2 x + 3a2 |< 2a 恒成立,

(Ⅱ)对于任意实数 x ,不等式 | 2 x + 1| 又因为 | 2 x + 1| -

| 2x + 3a2 |? | 2 x 1- 2 x - 3a2 |= | 3a2 - 1| ,
2

所以原不等式恒成立只需 | 3a

- 1|< 2a ,
3 3
时, 1-

当a <

0 时,无解;当 0 #a
3 3

1 3 ; 3a 2 < 2a ,解得 < a ? 3 3

当a>

时, 3a

2

- 1 < 2a ,解得

3 < a < 1. 3

所以实数 a 的取值范围是 (

1 ,1) . 3

9


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