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人教版高中数学A版必修三优秀教案(第三章概率)

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第三章

概率

3.1 随机事件的概率 课 题: 3.1.1 随机事件的概率 教学目标: 1.通过在抛硬币等试验获取数据,了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念. 2.通过获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件 A 出现的频率的意义,真 正做到在探索中学习,在探索中提高. 3.通过数学活动,即自己动手、 动脑和亲身试验来理解概率的概念,明确事件 A 发生的频 率 fn(A)与事件 A 发生的概率 P(A)的区别与联系,体会数学知识与现实世界的联系. 教学重点: 理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性. 教学难点: 理解频率与概率的关系. 教学方法: 讲授法 课时安排 1 课时 教学过程 一、导入新课: 在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家的作用超过 10 个师的兵力.这句 话有一个非同寻常的来历.(故事略) 在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看, 可以分为两大类: 一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预 知的,这类现象称为确定性现象;另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现 那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此 我们学习随机事件的概率. 二、新课讲解: 1、提出问题 (1)什么是必然事件?请举例说明. (2)什么是不可能事件?请举例说明. (3)什么是确定事件?请举例说明. 注:以上 3 问初中已经学习了. (4)什么是随机事件?请举例说明. (5)什么是事件 A 的频数与频率?什么是事件 A 的概率? (6)频率与概率的区别与联系有哪些? 观察: (1)掷一枚硬币,出现正面; (2)某人射击一次,中靶; (3)从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签; 这三个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的. 2、活动 做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生 理解的难点: “随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生

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的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义. 在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法 具体如下: 第一步每个人各取一枚硬币,做 10 次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下 表: 姓名 试验次数 正面朝上总次数 正面朝上的比例

思考: 试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗?为什么? 第二步 由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表. 组次 试验总次数 正面朝上总次数 正面朝上的比例

思考: 与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗?为什么? 通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、 组与组之间实验的 结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的 差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近 0.5. 第三步 用横轴为实验结果,仅取两个值:1(正面)和 0(反面),纵轴为实验结果出 现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么? 第四步 把全班实验结果收集起来,也用条形图表示. 思考: 这个条形图有什么特点? 引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果 ,一般情况下,班级的结果应比 多数小组的结果更接近 0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在 0.5 附近. 并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故 而知新的目的. 第五步 请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性. 思考: 如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗?为什么? 出现正面朝上的规律性:随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在 0.5 附近. 由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论:随机事件 A 在每次试验中是否发生 是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件 A 发生的频率会逐渐稳定在区 间[0,1]中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系. 3、讨论结果: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件 (certain event),简称必然事件. ( 2 )不可能事件:在条件 S 下 , 一定不会发生的事件 , 叫相对于条件 S 的不可能事件 (impossible event),简称不可能事件. (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件 (random event),简称随机事件;确定事件和随机事件统称为事件,用 A,B,C,?表示. (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验 中事件 A 出现的次数 na 为事件 A 出现的频数(frequency) ;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA n

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为事件 A 出现的频率(relative frequency);对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的 增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概 率(probability). (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这 n

种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件 发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率. 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通 常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值. 频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同. 概率是一个确定的数 ,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的 , 则掷硬币出现正面朝上的概率就是 0.5,与做多少次实验无关. 三、课堂练习: 教材 113 页练习:1、2、3 四、课堂小结: 本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率 稳定性,即随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试 验次数的增加,事件 A 发生的频率逐渐稳定在区间 [0,1] 内的某个常数上 (即事件 A 的概率) , 这个常数越接近于 1,事件 A 发生的概率就越大,也就是事件 A 发生的可能性就越大.反之,概 率越接近于 0,事件 A 发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性 大小的量. 五、课后作业: 全优设计

板书设计:

3.1.1 随机事件的概率

1、必然事件、不可能事件、随机事件 2、频率与概率的区别与联系: 教学反思:

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课 题:3.1.2 概率的意义 教学目标: 1.正确理解概率的意义;利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 2.通过对现实生活中的“掷币”、“游戏的公平性”、“彩票中奖”等问题的探究,感 知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法. 3.通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观, 进而体会数学与现实世界的联系. 教学重点: 理解概率的意义. 教学难点: 用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 教学方法: 讲授法 课时安排 1 课时 教学过程: 一、导入新课: 生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨 都没下,天气预报也太不准确了.”这是真的吗?为此我们必须学习概率的意义. 二、新课讲解: 1、提出问题: (1)有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为 0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一 定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗? (2)如果某种彩票中奖的概率为

1 ,那么买 1 000 张彩票一定能中奖吗? 1000

(3) 在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决定谁先 发球,其具体规则是:让两名运动员背对背站立,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得 双数胜,然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指,两个人的手指数的和为单数,则指 定单数的运动员得到先发球权,若两个人的手指数的和为双数,则指定双数胜的运动员得到 先发球权,你认为这个规则公平吗? (4)“天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.” 学了概率后,你能给出解释吗? (5)阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学. (6)如果连续 10 次掷一枚骰子,结果都是出现 1 点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么? 2、讨论结果: (1)这种想法显然是错误的,通过具体的试验可以发现有三种可能的结果:“两次正面朝 上 ”“ 两 次 反 面 朝 上 ”“ 一 次 正 面 朝 上 , 一 次 反 面 朝 上 ”, 而 且 其 概 率 分 别 为 0.25,0.25,0.5. (2)不一定能中奖,因为买 1 000 张彩票相当于做 1 000 次试验,因为每次试验的结果都是 随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1 000 张彩票中可能没有一张中奖,也可能 有一张、两张乃至多张中奖. (3)规则是公平的. (4)天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水 概率为 90%”的天气预报是错误的.

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(5)奥地利遗传学家(G.Mendel,1822—1884)用豌豆进行杂交试验,下表为试验结果(其 中 F1 为第一子代,F2 为第二子代) : 性状 种子的形状 茎的高度 子叶的颜色 豆荚的形状 F1 的表现 全部圆粒 全部高茎 全部黄色 全部饱满 圆粒 5 474 高茎 787 黄色 6 022 饱满 882 F2 的表现 皱粒 1 850 矮茎 277 绿色 2 001 不饱满 299 圆粒∶皱粒≈2.96∶1 高茎∶矮茎≈2.84∶1 黄色∶绿色≈3.01∶1 饱满∶不饱满≈2.95∶1

孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件,其可能性为 100%,另一种性状的可能性 为 0,而第二子代对于前一种性状的可能性约为 75%,后一种性状的可能性约为 25%,通过进一 步研究,他发现了生物遗传的基本规律 .实际上,孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计 的. (6)利用刚学过的概率知识我们可以进行推断 ,如果它是均匀的,通过试验和观察,可以发现 出现各个面的可能性都应该是

1 1 10 ,从而连续 10 次出现 1 点的概率为( ) ≈0.000 000 001 6 6

653 8,这在一次试验(即连续 10 次投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时, 特别是当 6 点的那面比较重时(例如灌了铅或水银),会使出现 1 点的概率最大,更有可能连续 10 次出现 1 点. 现在我们面临两种可能的决策:一种是这枚骰子的质地均匀,另一种是这枚骰子的质地 不均匀.当连续 10 次投掷这枚骰子,结果都是出现 1 点,这时我们更愿意接受第二种情况:这 枚骰子靠近 6 点的那面比较重.原因是在第二种假设下,更有可能出现 10 个 1 点. 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的 可能性最大”可以作为决策的准则,例如对上述思考题所作的推断.这种判断问题的方法称 为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一. 如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判断正确的可能性也最大. 这种判断问题的方法称为似然法.似然法是统计中重要的统计思想方法之一. 三、例题讲解: 例 1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例 如 2 000 尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库 中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如 500 尾,查看其中有记号的鱼,设 有 40 尾. 试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数. 分析: 学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即 2 000 尾鱼在水库中占 所有鱼的百分比,特别是 500 尾中带记号的有 40 尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概 率为

40 ,问题可解. 500 2000 . n
① ②

解: 设水库中鱼的尾数为 n,A={带有记号的鱼},则有 P(A)=

40 , 500 2000 40 ? 由①②得 ,解得 n≈25 000. n 500
因 P(A)≈ 所以估计水库中约有鱼 25 000 尾.

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四、课堂练习: 教材第 118 页练习:1、2、3、 五、课堂小结: 概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义是认识、 理解现实生活中有关概率的实例的关键 ,学习过程中应有意识形成概率意识,并用这种意识 来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索.通过以上例题与练习可以感到, 数学特别是概率正越来越多地应用到我们的生活当中.它们已经不是数学家手中的抽象理论, 而成为我们认识世界的工具.从彩票中奖,到证券分析;从基因工程,到法律诉讼; 从市场调查, 到经济宏观调控;概率无处不在. 六、课后作业: 习题 3.1A 组 2、3. 板书设计:

3.1.2 概率的意义 1、提出问题: 2、讨论结果:

教学反思: 课 题:3.1.3 概率的基本性质 教学目标: (1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念; 通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思 想. (2)概率的几个基本性质:①必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; ②当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有 P(A)=1-P(B). (3) 正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解 数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境 ,从而激发学习数学 的情趣. 教学重点: 概率的加法公式及其应用. 教学难点: 事件的关系与运算. 教学方法: 讲授法 课时安排 1 课时 教学过程

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一、导入新课: 全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是 2/7 和 1/5,则该省夺取该次冠军的概率是 2/7+1/5,对吗?为什么?为解决这个问题 ,我们学习概 率的基本性质. 二、新课讲解: Ⅰ、事件的关系与运算 1、提出问题 在掷骰子试验中 ,可以定义许多事件如: C1={出现 1 点},C2={出现 2 点},C3={出现 3 点},C4={出现 4 点},C5={出现 5 点},C6={出现 6 点},D1={出现的点数不大于 1},D2={出现的点 数大于 3},D3={出现的点数小于 5},E={出现的点数小于 7},F={出现的点数大于 6},G={出现 的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},?? 类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件. (1)如果事件 C1 发生,则一定发生的事件有哪些?反之,成立吗? (2)如果事件 C2 发生或 C4 发生或 C6 发生,就意味着哪个事件发生? (3)如果事件 D2 与事件 H 同时发生,就意味着哪个事件发生? (4)事件 D3 与事件 F 能同时发生吗? (5)事件 G 与事件 H 能同时发生吗?它们两个事件有什么关系? 2、活动:学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确. 3、讨论结果: (1)如果事件 C1 发生,则一定发生的事件有 D1,E,D3,H,反之,如果事件 D1,E,D3,H 分别成立,能 推出事件 C1 发生的只有 D1. (2)如果事件 C2 发生或 C4 发生或 C6 发生,就意味着事件 G 发生. (3)如果事件 D2 与事件 H 同时发生,就意味着 C5 事件发生. (4)事件 D3 与事件 F 不能同时发生. (5)事件 G 与事件 H 不能同时发生,但必有一个发生. 4、总结:由此我们得到事件 A,B 的关系和运算如下: ①如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时我们说事件 B 包含事件 A (或事件 A 包含于事件 B),记为 B ? A(或 A ? B),不可能事件记为 ? ,任何事件都包含不可能事件. ②如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,反之也成立, (若 B ? A 同时 A ? B) ,我们说这两个事 件相等,即 A=B.如 C1=D1. ③如果某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与 B 的并事件 (或 和事件),记为 A∪B 或 A+B. ④如果某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与 B 的交事件 (或 积事件),记为 A∩B 或 AB. ⑤如果 A∩B 为不可能事件(A∩B= ? ),那么称事件 A 与事件 B 互斥,即事件 A 与事件 B 在 任何一次试验中不会同时发生. ⑥如果 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件,即事件 A 与事件 B 在一次试验中有且仅有一个发生. Ⅱ、概率的几个基本性质 1、提出以下问题: (1)概率的取值范围是多少? (2)必然事件的概率是多少? (3)不可能事件的概率是多少? (4)互斥事件的概率应怎样计算?

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(5)对立事件的概率应怎样计算? 2、活动: 学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义: (1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在 0—1 之间,因而概率的取 值范围也在 0—1 之间. (2)必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为 1,因而概率是 1. (3)不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为 0,因而概率是 0. (4)当事件 A 与事件 B 互斥时,A∪B 发生的频数等于事件 A 发生的频数与事件 B 发生的 频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和. (5) 事件 A 与事件 B 互为对立事件,A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,则 A∪B 的频率 为 1,因而概率是 1,由(4)可知事件 B 的概率是 1 与事件 A 发生的概率的差. 3、讨论结果: (1)概率的取值范围是 0—1 之间,即 0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率是 1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于 7},因此 P(E)=1. (3)不可能事件的概率是 0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于 6},因此 P(F)=0. (4)当事件 A 与事件 B 互斥时,A∪B 发生的频数等于事件 A 发生的频数与事件 B 发生的频 数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即 P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是 概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式. (5)事件 A 与事件 B 互为对立事件,A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,P(A∪B)=1.所以 1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件 G={出现的点数为偶数 } 与 H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此 P(G)=1-P(H). 三、例题讲解: 例: 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概率 是

1 1 ,取到方块(事件 B)的概率是 ,问: 4 4

(1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少? 活动: 学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件 C 是事件 A 与事件 B 的并,且 A 与 B 互斥, 因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件 C 与事件 D 是对立事件,因此 P(D)=1-P(C). 解: (1)因为 C=A∪B,且 A 与 B 不会同时发生,所以事件 A 与事件 B 互斥,根据概率的加法公 式得 P(C)=P(A)+P(B)=

1 . 2

( 2 )事件 C 与事件 D 互斥 , 且 C∪D 为必然事件 , 因此事件 C 与事件 D 是对立事 件,P(D)=1-P(C)=

1 . 2

四、课堂练习: 教材第121页练习:1、2、3、4、5 五、课堂小结: 1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为 0,必然事件一 定发生,因此其概率为 1.当事件 A 与事件 B 互斥时,A∪B 发生的概率等于 A 发生的概率与 B 发生的概率的和,从而有公式 P(A∪B)=P(A)+P(B) ;对立事件是指事件 A 与事件 B 有且 仅有一个发生. 2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系 ,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事

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件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事 件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形:①事件 A 发生 B 不发生; ②事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形. 六、课后作业: 习题 3.1A 组 5,B 组 1、2. 预习教材3.2.1 板书设计 3.1.3 概率的基本性质

Ⅰ、事件的关系与运算 Ⅱ、概率的几个基本性质

教学反思:

教学目标: 1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征:试 验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性 ,观察类比各个试验,正确理解古典概型 的两大特点;树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观 点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义 2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古 典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式;注意公式:P(A) =

A包含的基本事件个数 的使用条件——古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法, 总的基本事件个数

学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣. 教学重点: 理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率. 教学难点: 如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件 的个数和试验中基本事件的总数. 教学方法: 讲授法 课时安排: 1 课时 教学过程: 一、导入新课:

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(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机 事件. (2)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,?,10,从中任取一球,只有 10 种 不同的结果,即标号为 1,2,3,?,10. 思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 二、新课讲解: 1、提出问题: 试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每 个数学小组至少完成 20 次(最好是整十数),最后由学科代表汇总; 试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”和 “6 点”的次数,要求每个数学小组至少完成 60 次(最好是整十数),最后由学科代表汇总. (1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好?为什么? (2)根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点? (3)什么是基本事件?基本事件具有什么特点? (4)什么是古典概型?它具有什么特点? (5)对于古典概型,应怎样计算事件的概率? 2、活动:学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动感受,讨论可能出现 的情况,师生共同汇总方法、结果和感受. 3、讨论结果: (1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试 验,同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差. (2)上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件,出现的概 率是相等的,都是 0.5.上述试验二的 6 个结果是“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点” 和“6 点”,它们也都是随机事件,出现的概率是相等的,都是

1 . 6

(3)根据以前的学习,上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机 事件; 上述试验二的 6 个结果“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”和“6 点”,它们都 是随机事件,像这类随机事件我们称为基本事件(elementary event) ;它是试验的每一个可 能结果. 基本事件具有如下的两个特点: ①任何两个基本事件是互斥的; ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. (4)在一个试验中如果 ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性) ②每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型 (classical models of probability) , 简称古典概型. 向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的 ,你认为这是古 典概型吗?为什么?

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因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点 ,试验的所有可能结果数是无限的,虽然每 一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件. 如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中 10 环、命 中 9 环??命中 5 环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么?

不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有 7 个,而命中 10 环、命中 9 环??命中 5 环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件. (5)古典概型,随机事件的概率计算 对于实验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即 P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”) 由概率的加法公式,得 P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(必然事件)=1. 因此 P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)=

1 . 2

即 P(“出现正面朝上”)=

1 "出现正面朝上 " 所包含的基本事件的个 数 ? . 2 基本事件的总数

试验二中,出现各个点的概率相等,即 P(“1 点”)=P(“2 点”)=P(“3 点”)=P(“4 点”)=P(“5 点”)=P(“6 点”). 反复利用概率的加法公式,我们有 P(“1 点”)+P(“2 点”)+P(“3 点”)+P(“4 点”)+P(“5 点”)+P(“6 点”)=P(必然事件)=1. 所以 P(“1 点”)=P(“2 点”)=P(“3 点”)=P(“4 点”)=P(“5 点”)=P(“6 点”)=

1 . 6 1 1 1 3 1 + + = = . 6 6 6 6 2

进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如, P(“出现偶数点”)=P(“2 点”)+P(“4 点”)+P(“6 点”)=

即 P(“出现偶数点”)=

3 "出现偶数点 " 所包含的基本事件的个 数 ? . 6 基本事件的总数

因此根据上述两则模拟试验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为: P(A)=

A所包含的基本事件的个 数 . 基本事件的总数

在使用古典概型的概率公式时,应该注意: ①要判断该概率模型是不是古典概型; ②要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.

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三、例题讲解: 例 1 从字母 a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件? 活动:师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出来.

解:基本事件共有 6 个: A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}. 点评:一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法. 例2 : 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 A,B,C,D 四个选项中选择一个正确答案. 如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做,他随机地选择一 个答案,问他答对的概率是多少? 解: (略) 点评:古典概型解题步骤: (1)阅读题目,搜集信息; (2)判断是否是等可能事件,并用字母表示事件; (3)求出基本事件总数 n 和事件 A 所包含的结果数 m; (4)用公式 P(A)=

m 求出概率并下结论. n

变式训练 1.抛两枚均匀硬币,求出现两个正面的概率. 2.一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率. 例 3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少? 解: (略) 例 4 : 假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成,每个数字可以是 0,1,2,?,9 十个数字中的任意 一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码 ,问他到自动取款机上随机试一次密码就能 取到钱的概率是多少? 解: (略) 例 5 : 某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格,问质检人员从中随机抽出 2 听,检测 出不合格产品的概率有多大?

解: (略) 四、课堂练习: 教材第 130 页练习:1、2、3 五、课堂小结: 1.古典概型我们将具有 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.

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2.古典概型计算任何事件的概率计算公式 P(A)=

A所包含的基本事件的个 数 . 基本事件的总数

3.求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法 (画树状图和列表),应做到不重不漏. 六、课后作业 习题 3.2 A 组 1、2、3、4. 板书设计

3.2.1 古典概型 1.古典概型

2、 P (A) =

A所包含的基本事件的个 数 . 基本事件的总数

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教学目标: 1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征:试 验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性 ,观察类比各个试验,正确理解古典概型 的两大特点;树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观 点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义 2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古 典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式;注意公式:P(A) =

A包含的基本事件个数 的使用条件——古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法, 总的基本事件个数

学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣. 教学重点: 理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率. 教学难点: 如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件 的个数和试验中基本事件的总数. 教学方法: 讲授法 课时安排: 1 课时 教学过程: 一、导入新课: (1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机 事件.

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(2)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,?,10,从中任取一球,只有 10 种 不同的结果,即标号为 1,2,3,?,10. 思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 二、新课讲解: 1、提出问题: 试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每 个数学小组至少完成 20 次(最好是整十数),最后由学科代表汇总; 试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”和 “6 点”的次数,要求每个数学小组至少完成 60 次(最好是整十数),最后由学科代表汇总. (1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好?为什么? (2)根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点? (3)什么是基本事件?基本事件具有什么特点? (4)什么是古典概型?它具有什么特点? (5)对于古典概型,应怎样计算事件的概率? 2、活动:学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动感受,讨论可能出现 的情况,师生共同汇总方法、结果和感受. 3、讨论结果: (1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试 验,同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差. (2)上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件,出现的概 率是相等的,都是 0.5.上述试验二的 6 个结果是“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点” 和“6 点”,它们也都是随机事件,出现的概率是相等的,都是

1 . 6

(3)根据以前的学习,上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机 事件; 上述试验二的 6 个结果“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”和“6 点”,它们都 是随机事件,像这类随机事件我们称为基本事件(elementary event) ;它是试验的每一个可 能结果. 基本事件具有如下的两个特点: ①任何两个基本事件是互斥的; ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. (4)在一个试验中如果 ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性) ②每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型 (classical models of probability) , 简称古典概型. 向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的 ,你认为这是古 典概型吗?为什么?

因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点 ,试验的所有可能结果数是无限的,虽然每

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一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件. 如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中 10 环、命 中 9 环??命中 5 环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么?

不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有 7 个,而命中 10 环、命中 9 环??命中 5 环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件. (5)古典概型,随机事件的概率计算 对于实验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即 P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”) 由概率的加法公式,得 P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(必然事件)=1. 因此 P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)=

1 . 2

即 P(“出现正面朝上”)=

1 "出现正面朝上 " 所包含的基本事件的个 数 ? . 2 基本事件的总数

试验二中,出现各个点的概率相等,即 P(“1 点”)=P(“2 点”)=P(“3 点”)=P(“4 点”)=P(“5 点”)=P(“6 点”). 反复利用概率的加法公式,我们有 P(“1 点”)+P(“2 点”)+P(“3 点”)+P(“4 点”)+P(“5 点”)+P(“6 点”)=P(必然事件)=1. 所以 P(“1 点”)=P(“2 点”)=P(“3 点”)=P(“4 点”)=P(“5 点”)=P(“6 点”)=

1 . 6 1 1 1 3 1 + + = = . 6 6 6 6 2

进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如, P(“出现偶数点”)=P(“2 点”)+P(“4 点”)+P(“6 点”)=

即 P(“出现偶数点”)=

3 "出现偶数点 " 所包含的基本事件的个 数 ? . 6 基本事件的总数

因此根据上述两则模拟试验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为: P(A)=

A所包含的基本事件的个 数 . 基本事件的总数

在使用古典概型的概率公式时,应该注意: ①要判断该概率模型是不是古典概型; ②要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 三、例题讲解:

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例 1 从字母 a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件? 活动:师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出来.

解:基本事件共有 6 个: A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}. 点评:一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法. 例2 : 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 A,B,C,D 四个选项中选择一个正确答案. 如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做,他随机地选择一 个答案,问他答对的概率是多少? 解: (略) 点评:古典概型解题步骤: (1)阅读题目,搜集信息; (2)判断是否是等可能事件,并用字母表示事件; (3)求出基本事件总数 n 和事件 A 所包含的结果数 m; (4)用公式 P(A)=

m 求出概率并下结论. n

变式训练 1.抛两枚均匀硬币,求出现两个正面的概率. 2.一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率. 例 3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少? 解: (略) 例 4 : 假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成,每个数字可以是 0,1,2,?,9 十个数字中的任意 一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码 ,问他到自动取款机上随机试一次密码就能 取到钱的概率是多少? 解: (略) 例 5 : 某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格,问质检人员从中随机抽出 2 听,检测 出不合格产品的概率有多大?

解: (略) 四、课堂练习: 教材第 130 页练习:1、2、3 五、课堂小结: 1.古典概型我们将具有 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型. 2.古典概型计算任何事件的概率计算公式

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P(A)=

A所包含的基本事件的个 数 . 基本事件的总数

3.求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法 (画树状图和列表),应做到不重不漏. 六、课后作业 习题 3.2 A 组 1、2、3、4. 板书设计

3.2.1 古典概型 1.古典概型

2、 P (A) =

A所包含的基本事件的个 数 . 基本事件的总数

高一数学备课优秀教案
课 题:3.3.1 几何概型 教学目标: 1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念; 掌握几何概型的 概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度 (面积或体积 ) ,学会应用数学知识来解决 试验的全部结果所构成 的区域长度 (面积或体积 )

问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力. 2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型 与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率 计算,培养学生从有限向无限探究的意识. 教学重点: 理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率. 教学难点: 等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别. 教学方法: 讲授法 课时安排: 1 课时 教学过程: 一、导入新课: 1、复习古典概型的两个基本特点: (1)所有的基本事件只有有限个; (2)每个基本事 件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢? 2、 在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试 验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是 8:00

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至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子 ,石子可能落在方格中的任何一 点??这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型. 二、新课讲授: 提出问题 (1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率? (2)试验 1.取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多大? 试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环 .从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金 色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为 122 cm,靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少? (3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么? (4)什么是几何概型?它有什么特点? (5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式? (6)古典概型和几何概型有什么区别和联系? 活动:学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引 导学生比较概括. 讨论结果:(1)硬币落地后会出现四种结果:分别记作(正,正) 、 (正,反) 、 (反,正) 、 (反, 反).每种结果出现的概率相等,P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=1/4.两次 出现相同面的概率为

1 1 1 ? ? . 4 4 2

(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点. 第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为 122 cm 的大圆内的任意一点. 在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然 不能用古典概型的方法求解.

考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A.把绳子三等分,于 是当剪断位置处在中间一段上时,事件 A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的 于是事件 A 发生的概率 P(A)=

1 , 3

1 . 3

第 二 个 问 题 , 如 右 图 , 记 “ 射 中 黄 心 ” 为 事 件 B, 由 于 中 靶 心 随 机 地 落 在 面 积 为

1 1 2 2 2 2 ×π ×122 cm 的大圆内,而当中靶点落在面积为 ×π ×12.2 cm 的黄心内时,事件 B 4 4 1 ? ? ? 12.2 2 4 发生,于是事件 B 发生的概率 P(B)= =0.01. 1 2 ? ? ? 122 4

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(3)硬币落地后会出现四种结果(正,正) 、 (正,反) 、 (反,正) 、 (反,反)是等可能的,绳子从 每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点,也是等 可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而 剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的 ;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无 限的. (4)几何概型. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区 域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、 平面图形、 立体图形等.用这种方法处 理随机试验,称为几何概型. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型. 几何概型的基本特点: a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; b.每个基本事件出现的可能性相等. (5)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度 (面积或体积 ) . 试验的全部结果所构成 的区域长度 (面积或体积 )

(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的 ;区别是古典概型的基 本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也 不同. 三、例题讲解: 例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概率是古典概型,还是几何概型. (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获 胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率. 活动:学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断. 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古典 概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率 可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.

点评: 本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概 型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关. 例 2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于 10 分钟的概率.

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分析:见教材 136 页 解: (略) 变式训练 1、 某路公共汽车 5 分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的 概率(假定车到来后每人都能上). 解: 可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为 a,则某人到站的一切可 能时刻为 Ω =(a,a+5),记 Ag={等车时间少于 3 分钟},则他到站的时刻只能为 g=(a+2,a+5)中 的任一时刻,故 P(Ag)=

g的长度 3 ? . ?的长度 5

点评:通过实例初步体会几何概型的意义. 2、 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一 点钻探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的,而 40 平方千米可看作 构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率. 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=0.004. 答:钻到油层面的概率是 0.004. 四、课堂小结: 几何概型是区别于古典概型的又一概率模型 ,使用几何概型的概率计算公式时,一定要 注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例. 五、课后作业: 课本习题 3.3A 组 1、2、3. 板书设计 3.3.1 几何概型 1、几何概型的概念 2、几何概型的基本特点

课后反思:

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