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上海市闸北区2012届高三上学期期末练习试卷(数学理)


考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,作答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚, 并在规定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 20 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.
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一、填空题(55 分)本大题共有 11 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 5 分,否则一律得零分.

7.在平面直角坐标系中,我们称横、纵坐标都为整数的点 为整点,则方程 2 x 2 ? y 2 ? 18 所表示的曲线上整点的个数为 . 8.设 a 、 b 为平 面内两个互相垂直的单位向量,向量 c 满足 (c ? a) ? (c ? b) ? 0 ,则 | c | 的 最大值为 . 9.A 杯中有浓度为 a % 的盐水 x 克,B 杯中有浓度为 b % 的盐水 y 克,其中 A 杯中的盐水更 咸一些.若将 A、B 两杯盐水混合在一起,其咸淡的程度可用不等式表示为 . 10.关于 x 的不等式 log1 [a
2 2x

? 2(ab) x ? b 2 x ? 1] ? 0 ( a ? b ? 0 )的解集为



11.如右图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边 长为 2 ,高为 1 ,将此钢板切割成等腰梯形的形状, 记 CD ? 2 x ,梯形面积为 S .则 S 关于 x 的函数解 析式及定义 域为 .
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A. 0

B. 1

C.

1 2

D. 2

三、解答题 (本题满分 75 分)本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对
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应的题号)内写出必要的步骤.

[来源:学科网 ZXXK]

2011 学年第一学期高三理科数学期末练习卷
参考答案与评分标准
一、1. ? ; 4. 2. {x | x ? (??,0) ? (2,??)}; 5. y ? ?4 ? x ; 8. 2 ;

4 ; 3

7. 6 ;

1 ; 2 3 6. ; 4 ax ? ay ? a; 9 .b ? x? y
3.

10. (log a ( 2 ? 1), ?? ) ;
b

11. y ? ( x ? 1)(1 ? x 2 ) , x ? (0,1) .

18.证明一: (1)设长方形的长,宽分别为 a , b ,由题设 a ? b 为常数……………1 分 由基本不等式 2:

当且仅当 a ? b 时,等号成立, …………………………… ……………………………1 分 即当且 仅当长 方形为正方形时,面积 ab 取得最大值 (

a?b ? 2

ab ,可得 : ab ? (

a?b 2 ) , …………………………4 分 2

a?b 2 ) . ……………………1 分 2 l ? 2x 证明二: (1)设长方形的周长为 l ,长为 x ,则宽为 ……………1 分 2 l ? 2x l l2 ? ?( x ? ) 2 ? , 于是,长方形的面积 S ? x ? …………………………4 分 2 4 16 l l l2 所以,当且仅当 x ? 时,面积最大为 ,此时,长方形的为 ,即为正方形……2 分 4 4 16
2 (2)证法一: c ? BC ? BC ? AC ? AB ? AC ? AB

?

??

?

…………………………4 分

? AC ? 2 AC ? AB ? AB

2

2

? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB

2

2

? b2 ? 2bc cos A ? c2 . 2 2 2 故, a ? b ? c ? 2bc cos A .……………………4 分 证法二 已知 ?ABC 中 A, B, C 所对边分别为 a, b, c,
[来源:学科网 ZXXK]

以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) ,…………… ………4 分

a 2 ?| BC |2 ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2 ? b 2 ? c 2 ? 2b cos A . 2 2 2 故, a ? b ? c ? 2bc cos A .……………………4 分

(2)由(1)有 b ? c ,方程(*)可化为 3 y 2 ? 2by ? b 2 ? 0 设 AB 中点为 M ( x0 , y 0 ) ,则 y 0 ? 又 M ? l ,于是 x 0 ? y 0 ? c ? ?

………………1 分

1 b ( y1 ? y 2 ) ? , 2 3

2b . ………………………………………………2 分 3 由 PA ? PB 知 PM 为 AB 的中垂线, k PM ? ?1 ,

b ?1 2 由 P(0,?1) ,得 ? 1 ? 3 ,解 得 b ? 3 , a ? 18 , …………………………2 分 2b ? 3 2 y2 x ? ? 1 .…………………………………………………1 分 故,椭圆 C 的方程为 18 9 20.解: (1)①设 c n ? a n ? bn ,

则设 cn

2

n ?1 2 n n?2 ? cn?1cn?1 ? (a1 q1n?1 ? b1 q 2 ) ? (a1q1n ? b1q2 ) (a1 q1n ? 2 ? b1q2 ) n?2 ? a1b1 q1n?2 q 2 (q1 ? q2 ) 2 n an?1 ? bn?1 a1q1n ? b1q2 ) ? ? n ?1 an ? bn a1q1n?1 ? b1q2

(或

cn?1 cn

当 q1 ? q 2 时,对任意的 n ? N , n ? 2 , 故 {an ? bn } 为等比数列;

2 cn ? cn?1cn?1 (或

c n ?1 ? q1 )恒成立, cn

……………………………………………………3 分

?n(a1 ? b1 ), q1 ? q 2 ? 1, ? S n ? ? (a1 ? b1 )(1 ? q1n ) …………………………………………………1 分 , q ? q ? 1 . 1 2 ? 1 ? q1 ?
当 q1 ? q 2 时, 证法一:对任意的 n ? N , n ? 2 , cn 证法二: c2
2

2

? cn?1cn?1 , {an ? bn } 不是等比数列.……2 分

2 ? c1c3 ? a1b1[2q1q2 ? (q12 ? q2 )] ? 0 , {an ? bn } 不是等比数列. …2 分


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