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2017-2018学年高中数学人教版选修1-1习题:第一章1.4全称量词与存在量词 Word版含答案

第一章 1.4 常用逻辑用语 全称量词与存在量词 A 级 基础巩固 一、选择题 1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数 x,使 x ≤0 C.两个无理数的和必是无理数 1 D.存在一个负数 x,使 >2 2 ) x 解析:A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;B 中 x=0 时,x =0,所以 B 既 是特称命题又是真命题;C 中因为 3+(- 3)=0,所以 C 是假命题;D 中对于任一个负数 x, 1 都有 <0,所以 D 是假命题. 2 x 答案:B 2.命题“? x∈R,x ≠x”的否定是( A.? x?R,x ≠x C.? x?R,x ≠x 2 2 2 ) 2 B.? x∈R,x =x D.? x∈R,x =x 2 2 2 解析:全称命题的否定是特称命题,所以命题“? x∈R,x ≠x”的否定是“? x∈R,x =x”. 答案:D 3.下列特称命题中假命题的个数是( ①有一条直线与两个平行平面垂直; ②有一条直线与两个相交平面平行; ③存在两条相交直线与同一个平面垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 ) 解析:①②都是真命题,③是假命题. 答案:B 4.设函数 f(x)=x +mx(m∈R),则下列命题中的真命题是( A.任意 m∈R,使 y=f(x)都是奇函数 B.存在 m∈R,使 y=f(x)是奇函数 C.任意 m∈R,使 x=f(x)都是偶函数 D.存在 m∈R,使 y=f(x)是偶函数 2 ) 解析:当 m=0 时,f(x)=x 为偶函数,故选 D. 答案:D 2 ?1? 5.若? ? ?3? x2-2ax <33x+a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( B.a> D.a< 2 2 2 2 ) A.0<a<1 3 C.0<a< 4 3 4 3 4 2 2 解析: 由题意, 得-x +2ax<3x+a , 即 x +(3-2a)x+a >0 恒成立, 所以Δ =(3-2a) 3 2 -4a <0,解得 a> . 4 答案:B 二、填空题 6.命题“? x0,y0∈Z,3x0-2y0=10”的否定是______________. 解析:特称命题的否定是全称命题,则否定为? x,y∈Z,3x-2y≠10. 答案:? x,y∈Z,3x-2y≠10 7.下列命题中,是全称命题的是________;是特称命题的是________. ①正方形的四条边相等; ②有两个角相等的三角形是等腰三角形; ③正数的平方根不等于 0; ④至少有一个正整数是偶数. 解析:①可表述为“每一个正方形的四条边相等”,是全称命题;②是全称命题,即“凡 是有两个角相等的三角形都是等腰三角形” ;③可表述为“所有正数的平方根不等于 0”是全 称命题;④是特称命题. 答案:①②③ ④ 8.下面四个命题: ①? x∈R,x -3x+2>0 恒成立;②? x0∈Q,x0=2;③? x0∈R,x0+1=0;④? x∈R, 4x >2x-1+3x . 其中真命题的个数为________. 解析:x -3x+2>0,Δ =(-3) -4×2>0,所以当 x>2 或 x<1 时,x -3x+2>0 才 成立,所以①为假命题.当且仅当 x=± 2时,x =2,所以不存在 x∈Q,使得 x =2,所以 ②为假命题.对? x∈R,x +1≠0,所以③为假命题.4x -(2x-1+3x )=x -2x+1=(x-1) ≥0,即当 x=1 时,4x =2x-1+3x 成立,所以④为假命题.所以①②③④均为假命题. 答案:0 三、解答题 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9.判断下列各命题的真假,并写出命题的否定. (1)有一个实数 a,使不等式 x -(a+1)x+a>0 恒成立; (2)对任意实数 x,不等式|x+2|≤0 恒成立; (3)在实数范围内,有些一元二次方程无解. 解:(1)方程 x -(a+1)x+a=0 的判别式Δ =(a+1) -4a=(a-1) ≥0, 则不存在实数 a,使不等式 x -(a+1)x+a>0 恒成立,所以原命题为假命题. 它的否定:对任意实数 a,不等式 x -(a+1)x+a>0 不恒成立. (2)当 x=1 时,|x+2|>0,所以原命题是假命题. 它的否定:存在实数 x,使不等式|x+2|>0 成立. (3)由一元二次方程解的情况,知该命题为真命题. 它的否定:在实数范围内,所有的一元二次方程都有解. 10.对于任意实数 x,不等式 sin x+cos x>m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:令 y=sin x+cos x,则 y=sin x+cos x= 2? 2 ? 2 ? ? π? sin x+ cos x ?= 2sin?x+ 4 ?. ? ? 2 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 ? π? ? π? 因为-1≤sin?x+ ?≤1,所以 2sin?x+ ?≥- 2. 4? 4? ? ? 因为? x∈R,sin x+cos x>m 恒成立, 所以只要 m<- 2即可. 故实数 m 的取值范围是(-∞,- 2). B 级 能力提升 1. 若命题 p: ? x∈R, log2x>0, 命题 q: ? x0∈R, 2x0<0, 则下列命题为真命题的是( A.p∨q C.(綈 p)∧q B.p∧q D.p∨(綈 q) ) 解析: 命题 p: ? x∈R, log2x>0 为假命题, 命题 q: ? x0∈R, 2x0<0 为假命题, 所以 p∨(綈 q)为真命题,故选 D. 答案:D 1 2 2. 已知命题“? x0∈R, 2x0+(a-1)x0+ ≤0” 是假命题, 则实数 a 的取值范围是________. 2 1 2 2 解析:由题意可得“对? x∈R,2x +(a-1)x+ >0 恒成立”是真命题,令Δ =(a-1) 2 -4<0,得

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