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河北省衡水2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题含答案

河北省衡水 2018 届高三第十次模拟考试数学(理)试题含答案

2017—2018 学年度第一学期高三十模考试 数学试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂 在答题卡上)
1.设集合 A ? {x | A. (??,1) 2.在复平面内,复数 A.第一象限

y ? log2 (2 ? x)} , B ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,则 CA B ? (
B. (??,1] C. (2, ??) D. [2, ??)



2 ? 3i ? z 对应的点的坐标为 (2, ?2) ,则 z 在复平面内对应的点位于( 3 ? 2i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )



3.已知 ?ABC 中, sin A ? 2sin B cos C ? 0 ,

3b ? c ,则 tan A 的值是( 3
n

A.

3 3

B.

2 3 3

C.

D.

4 3 3
n

4.设 A ? {( x, y) | 0 ? x ? m,0 ? y ? 1} , s 为 (e ? 1) 的展开式的第一项( e 为自然对数的底数), m ? 任取 (a, b) ? A ,则满足 ab ? 1 的概率是( A. ) C.

s ,若

2 e

B.

2 e


e?2 e

D.

e ?1 e

5.函数 y

?

x 4 lg x x

的图象大致是(

A.

B.

C.

D. )

6.已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 24? ? 48 ,则该几何体的表面积为(

1

A. 24? ? 48 7.已知 a ? 17 A. a ? b ? c
1 17

B. 24? , b ? log16

? 90 ? 6 41

C. 48? ? 48

D. 24?

? 66 ? 6 41

17 , c ? log17 16 ,则 a , b , c 的大小关系为(
C. b ? a ? c )



B. a ? c ? b

D. c ? b ? a

8.执行如下程序框图,则输出结果为(

A. 20200 9.如图,设椭圆 E :

B. ?5268.5

C. 5050

D. ?5151

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A ,右焦点为 F , B 为椭圆在第二象限上的点,直线 BO a 2 b2


交椭圆 E 于点 C ,若直线 BF 平分线段 AC 于 M ,则椭圆 E 的离心率是(

1 A. 2

2 B. 3

1 C. 3

1 D. 4

10.设函数 f ( x ) 为定义域为 R 的奇函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) ,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? sin x ,则函数

g ( x) ? cos(? x) ? f ( x) 在区间 [? , ] 上的所有零点的和为(
A. 6 11.已知函数 f ( x) ? B. 7 C. 13

5 9 2 2

) D. 14

2 ? sin x ,其中 f '( x) 为函数 f ( x) 的导数,求 f (2018) ? f (?2018) 2019 x ? 1
) C. 2018 D. 0

? f '(2019) ? f '(?2019) ? (
A. 2

B. 2019

12.已知直线 l : y ? ax ? 1 ? a(a ? R) ,若存在实数 a 使得一条曲线与直线 l 有两个不同的交点,且以这两个交点 为端点的线段长度恰好等于 ① y ? ?2

a ,则称此曲线为直线 l 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程:

x ?1 ;② ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ;③ x2 ? 3 y 2 ? 4 ;④ y 2 ? 4x .


其中直线 l 的“绝对曲线”的条数为(

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题:(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)

?x ? 2 y ? 2 ? 0 x ? 3y ? 4 ? 13.已知实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 4 ? 0 ,且 m ? ,则实数 m 的取值范围 x ?1 ? y ? x ?1 ?
14.双曲线



x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 、F2 , P 是双曲线右支上一点,I 为 ?PF1F2 的内心,PI 交 x 轴于 Q a 2 b2


点,若

FQ ? PF2 ,且 PI : IQ ? 2 :1 ,则双曲线的离心率 e 的值为 1

2

15.若平面向量 e1 , e2 满足 e1 ? 3e1 ? e2 ? 2 ,则 e1 在 e2 方向上投影的最大值是 16.观察下列各式:



13 ? 1 ;
23 ? 3 ? 5 ; 33 ? 7 ? 9 ? 11; 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ;
…… 若m
3

(m ? N * ) 按上述规律展开后,发现等式右边含有“ 2017 ”这个数,则 m 的值为



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 为必 考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答)
17.已知等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 , S7 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 Tn 为数列 {

? 35 ,且 a2 , a5 , a11 成等比数列.

1 } 的前 n 项和,且存在 n ? N * ,使得 Tn ? ?an?1 ? 0 成立,求实数 ? 的取值范围. an an ?1

18.为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果 绘成折线图如下:

(1)已知该校有 400 名学生,试估计全校学生中,每天学习不足 4 小时的人数. (2)若从学习时间不少于 4 小时的学生中选取 4 人,设选到的男生人数为 X ,求随机变量 X 的分布列. (3)试比较男生学习时间的方差 S1 与女生学习时间方差 S2 的大小.(只需写出结论) 19.如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面为矩形,已知 PA ? PB ? PC ? BC ? 1 , AB ? 作与 PB 平行的平面交 PD 于 E .
2 2

2 ,过底面对角线 AC

3

(1)试判定点 E 的位置,并加以证明; (2)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值. 20.在平面直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点为 B(0, ?1) , C (0,1) ,平面内两点 P 、 Q 同时满足:①

PA ? PB ? PC ? 0 ;② QA ? QB ? QC ;③ PQ / / BC .
(1)求顶点 A 的轨迹 E 的方程; (2) 过点 F ( 直线 l1 , 设弦 A l2 , l2 与 A 的轨迹 E 相交弦分别为 A1B1 ,A2 B2 , 2,0) 作两条互相垂直的直线 l1 , 1B 1,

A2 B2 的中点分别为 M , N .
①求四边形 A1 A2 B1 B2 的面积 S 的最小值; ②试问:直线 MN 是否恒过一个定点?若过定点,请求出该定点,若不过定点,请说明理由. 21.已知函数 f ( x ) ?

ln( x ? 1) . ax ? 1

(1)当 a ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程; (2)若函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)已知 x , y , z 均为正实数,且 x ? y ? z ? 1 ,求证

(3x ? 1) ln( x ? 1) (3 y ? 1) ln( y ? 1) ? x ?1 y ?1

?

(3 z ? 1) ln( z ? 1) ? 0. z ?1

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 在极坐标系中,曲线 C1 的极坐标方程是 ? ?

24 ,以极点为原点 O ,极轴为 x 轴正半轴(两坐标系取 4 cos ? ? 3sin ?

相同的单位长度)的直角坐标系 xOy 中,曲线 C2 的参数方程为: ? (1)求曲线 C1 的直角坐标方程与曲线 C2 的普通方程; (2) 将曲线 C2 经过伸缩变换 ? 的最小值.
4

? x ? cos ? ( ? 为参数). ? y ? sin ?

? ?x ' ? 2 2x 后得到曲线 C3 , 若 M ,N 分别是曲线 C1 和曲线 C3 上的动点, 求 MN y ' ? 2 y ? ?

23.[选修 4-5:不等式选讲] 已知

f ( x) ? 2x ? a ? x ?1 (a ? R) .

(1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 2 . (2)若不等式 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? a ?
2

1 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

5

十模数学答案(理) 一、选择题
1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12:AC

二、填空题
13. [2, 7] 14.

3 2

15. ?

4 2 3

16. 45

三、解答题

7?6 ? ?a1 ? 3d ? 5 d ? 35 ?7a1 ? 17.解:(1)由题意可得 ? ,即 ? 2 . 2 ?2d ? a1d ?(a ? 4d )2 ? (a ? d )(a ? 10d ) ? 1 1 1
又因为 d ? 0 ,所以 ?

? a1 ? 2 .所以 an ? n ? 1 . d ? 1 ?

(2)因为

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,所以 Tn ? ? ? ? ? ??? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 an an?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

?

1 1 n ? ? . 2 n ? 2 2(n ? 2)
*

因为存在 n ? N ,使得 Tn

? ?an?1 ? 0 成立,所以存在 n ? N * ,使得
n 成立. 2(n ? 2) 2

n ? ? (n ? 2) ? 0 成立, 2(n ? 2)

即存在 n ? N ,使得 ?
*

?

n 1 1 1 , ? ? (当且仅当 n ? 2 时取等号), 2 4 4 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) 2(n ? ? 4) 16 n n 1 1 所以 ? ? .即实数 ? 的取值范围是 ( ??, ] . 16 16 18.解:(1)由折线图可得共抽取了 20 人,其中男生中学习时间不足 4 小时的有 8 人,女生中学习时间不足 4 小时
又 的有 4 人.

12 ? 240 人. 20 (2)学习时间不少于 4 本的学生共 8 人,其中男学生人数为 4 人,故 X 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 , 3 , 4 .
∴可估计全校中每天学习不足 4 小时的人数为: 400 ? 由题意可得 P( X

? 0) ?

4 1 C4 ? ; 4 C8 70

1 3 16 8 C4 C ? ; P( X ? 1) ? 4 4 ? 70 35 C8 2 2 C4 C4 36 18 ? ? ; 70 35 C84

P( X ? 2) ?
6

3 1 16 8 C4 C ? ; P( X ? 3) ? 4 4 ? 70 35 C8 4 1 C4 ? . 4 C8 70

P( X ? 4) ?

所以随机变量 X 的分布列为

X
P
∴均值 EX ? 0 ?

0 1 70

1 8 35

2 18 35

3 8 35

4 1 70

1 16 36 16 1 ? 1? ?2 ? ? 3 ? ?4 ? ? 2. 70 70 70 70 70
2 2 . ? s2

(3)由折线图可得 s1

19.解:(1) E 为 PD 的中点,证明如下: 连接 OE ,因为 PB / / 平面 AEC ,平面 PBD 平面 AEC ? OE , PB ? 平面 AEC ,所以 PB / / OE ,又 O 为

BD 的中点,所以 E 为 PD 的中点.
(2) 连接 PO , 因为四边形 ABCD 为矩形, 所以 OA ? OC .因为 PA ? PC , 所以 PO ? AC .同理, 得 PO ? BD , 所以 PO ? 平面 ABCD ,以 O 为原点, OP 为 z 轴,过 O 平行于 AD 的直线为 x 轴,过 O 平行于 CD 的直线为 y 轴建立空间直角坐标系(如图所示). 易知 A( , ?

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , 0) , B( , , 0) , C (? , , 0) , D(? , ? , 0) , P(0, 0, ) , E (? , ? , ), 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4

则 EA ? (?

1 2 1 1 2 ,? , ) , OA ? ( , ? ,0) . 4 4 4 2 2

显然, OP 是平面 ACD 的一个法向量.设 n1

? ( x, y, z) 是平面 ACE 的一个法向量,

?1 ? x? ? ?n1 ? EA ? 0 ?4 则? ,即 ? ? ?1 x ? ?n1 ? OA ? 0 ? ?2
则 n1

2 1 y? z ?0 4 4 ,取 y ? 1 , 2 y?0 2

? ( 2,1,2 2) ,
n1 ? OP n1 OP
? 2 22 , 11

所以 cos ? n1 , OP ? ?

所以二面角 E ? AC ? D 的余弦值为

2 22 . 11

?3 2 ? x2 3 ? y 2 ? 1( x ? 0) ;(2)① S 的最小值的 ,②直线 MN 恒过定点 ? 20.(1) ? 4 ,0? ?. 2 3 ? ?
试题解析:(1)∵ PA ? PB ? 2 PO ,
7

∴由①知 PC

? ?2PO ,

∴ P 为 ?ABC 的重心. 设 A( x, y ) ,则 P ?

?x y? , ? ,由②知 Q 是 ?ABC 的外心, ?3 3?
x? ? x? ? ?x ? , 0 ? ,由 QC ? QA ,得 ? ? ? 1 ? ? x ? ? ? y 2 ,化简整理得: 3? ?3? ? ?3 ?
2 2

∴ Q 在 x 轴上由③知 Q ?

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) . 3 x2 ? y 2 ? 1的右焦点, (2)解: F ( 2,0) 恰为 3
①当直线 l1 , l2 的斜率存且不为 0 时,设直线 l1 的方程为 my ? x ? 由?

2,

? ?my ? x ? 2 ? ?x ? 3y ? 3 ? 0
2 2

? (m2 ? 3) y 2 ? 2 2my ?1 ? 0 ,
?1 ?2 2m , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3

设A 1 ( x1 , y1 ) , B 1 ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

①根据焦半径公式得

A1B1 ? 2 3 ?

2 ( x1 ? x2 ) , 3
?2 2m2 6 2 , ?2 2 ? 2 2 m ?3 m ?3

又 x1 ? x2

? my1 ? 2 ? my2 ? 2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 2 ?

? 1 ? 2 3 ? 2 ? 1? 2 2 3(m ? 1) 4 3 ?m ? ? 2 3(m ? 1) , 所以 A1 B1 ? 2 3 ? 2 ,同理 ? A B ? 2 2 1 m ?3 3m2 ? 1 m2 ? 3 ? 3 m2
2

(m 2 ? 1) 2 (m2 ? 1)2 3 ?6 ? , 则S ?6 2 2 2 2 2 (m ? 3)(3m ? 1) ? 4(m ? 1) ? ? ? 2 ? ?
当 m ? 3 ? 3m ? 1,即 m ? ?1 时取等号.
2 2

? 3 2 ? 2m ? ? 3 2m 2 2m ? , N , ②根据中点坐标公式得 M ? 2 ,同理可求得 ? ? ? m ? 3 m2 ? 3 ? ? 3m 2 ? 1 3m 2 ? 1 ? ?, ? ? ? ?

8

则直线 MN 的斜率为 k MN

2m ? 2m ? 2 2 m ? 3 ? 4m , ? 3m ? 3 2 3(m2 ? 1) 3 2m 3 2 ? 3m2 ? 1 m2 ? 3
4m ? 3 2 ? ? 2m ? x? 2 ? ?, 2 2 ? m ?3? m ? 3 3(m ? 1) ? ?

∴直线 MN 的方程为 y ?

整理化简得 3 ym ? 3 2 ? 4 x m ?6 ym ? 3 3 2 ? 4 x m ? 9 y ? 0 ,
4 3 2

?

?

?

?

令 y ? 0 ,解得 x ?

3 2 . 4
?3 2 ? ,0? ?. 4 ? ? ?3 2 ? ? 4 ,0? ?. ? ?

∴直线 MN 恒过定点 ? ?

②当直线 l1 , l2 有一条直线斜率不存在时,另一条斜率一定为 0 ,直线 MN 即为 x 轴,过点 ?

综上, S 的最小值的

?3 2 ? 3 ,直线 MN 恒过定点 ? ? 4 ,0? ?. 2 ? ?
ln( x ? 1) 则 f (0) ? 0 , x ?1

21.(1)当 a ? 1 时, f ( x ) ?

f '( x) ?

1 ? ln( x ? 1) 则 f '(0) ? 1 , ( x ? 1) 2

∴函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 0 时的切线方程为 y ? x . (2)∵函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,∴ ax ? 1 ? 0 在 (0,1) 上无解, 当 a ? 0 时, ax ? 1 ? 0 在 (0,1) 上无解满足, 当 a ? 0 时,只需 1 ? a ? 0 ? ?1 ? a ? 0 ,∴ a ? ?1 ①

ax ? 1 ? a ln( x ? 1) x ? 1 f '( x) ? , (ax ? 1) 2
∵函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,∴ f '( x) ? 0 在 (0,1) 上恒成立, 即a

?(x ?1)ln(x ?1) ? x? ? 1在 (0,1) 上恒成立.
1 ? 1 ? ln( x ? 1) , x ?1

设 ? ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x? '( x) ? ln( x ? 1) ? ( x ? 1) ?

∵ x ? (0,1) ,∴ ? '( x) ? 0 ,则 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递增,
9

∴ ? ( x) 在 (0,1) 上的值域为 (0, 2ln 2 ? 1) . ∴a ?

1 1 在 (0,1) 上恒成立,则 a ? ② 2 ln 2 ? 1 ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x
? ? 1 ? . 2 ln 2 ? 1 ? ?

综合①②得实数 a 的取值范围为 ?1, ?

ln( x ? 1) 在 (0,1) 上单调递增, 1? x 1 ln( x ? 1) 1 3 4 ? f ( ) ? ln , 于是当 0 ? x ? 时, f ( x ) ? 3 1? x 3 2 3 1 ln( x ? 1) 1 3 4 ? f ( ) ? ln , 当 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 3 1? x 3 2 3 3 4 (3 x ? 1) ln( x ? 1) 3 3 ? (3x ? 1) ? ln , ∴ (3x ? 1) f ( x) ? (3 x ? 1) ? ln ,即 2 3 x ?1 2 4
(3)由(2)知,当 a ? ?1 时, f ( x ) ? 同理有

(3 y ? 1) ln( y ? 1) 3 3 (3 z ? 1) ln(z ? 1) 3 3 ? (3 y ? 1) ? ln , ? (3z ? 1) ? ln , 2 4 z ?1 2 4 y ?1
(3 x ? 1) ln( x ? 1) (3 y ? 1) ln( y ? 1) (3z ? 1) ln(z ? 1) ? ? 0. ? x ?1 z ?1 y ?1 24 , ∴ 4?c o s ? 3?s ? i n 4 cos ? ? 3sin ?

三式相加得

22.解: (1 ) ∵ C1 的极坐标方程是 ? ?

? 2 4 ?

, 整理得 4 x ? 3 y ? 24 ? 0 ,

∴ C1 的直角坐标方程为 4 x ? 3 y ? 24 ? 0 . 曲线 C2 : ?

? x ? cos ? 2 2 2 2 ,∴ x ? y ? 1,故 C2 的普通方程为 x ? y ? 1. y ? sin ? ?

? x '2 y '2 ?x ' ? 2 2x ? ? 1 ,则曲线 C3 的参数方程为 (2)将曲线 C2 经过伸缩变换 ? 后得到曲线 C3 的方程为 8 4 ? ?y ' ? 2y ? ? x ? 2 2 cos ? ( ? 为参数).设 N 2 2 cos ? , 2sin ? ,则点 N 到曲线 C1 的距离为 ? y ? 2sin ? ? ?

?

?

d?

4 ? 2 2 cos ? ? 3 ? 2sin ? ? 24 5

?

2 41sin(? ? ? ) ? 24 5

?

24 ? 2 41sin(? ? ? ) 4 2 (tan ? ? ). 5 3

当 sin

?? ? ? ? ? 1时, d 有最小值

24 ? 2 41 24 ? 2 41 ,所以 MN 的最小值为 . 5 5

23.解:(1)当 a ? 1 时,等式 f ( x) ? 2 ,即

2 x ?1 ? x ? 1 ? 2 ,

1 1 ? ? ? x ? ?1 ??1 ? x ? ?x ? 等价于 ? 或? 或? , 2 2 ?1 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 ?1 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 ?2 x ? 1 ? x ? 1 ? 2 ? ?
10

解得 x ? ?

2 或 x ? 4, 3 2 3 (4, ??) ;

所以原不等式的解集为 ( ??, ? )

a ? a ? x, x ? ? ? 2 (2)设 g ( x) ? f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 x ? a ? x ,则 f ( x ) ? ? , ?3 x ? a, x ? a ? ? 2
则 f ( x ) 在 ( ??, ) 上是减函数,在 ( , ??) 上是增函数,

a 2

a 2

a a a 时, f ( x ) 取最小值且最小值为 f ( ) ? , 2 2 2 a 1 1 1 2 ∴ ? a ? ,解得 ? ? a ? 1 ,∴实数 a 的取值范围为 ( ? ,1) . 2 2 2 2
∴当 x ?

11


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