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2013年6月高中数学组卷


2013 年 6 月红尘有你的高中数学组卷

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2013 年 6 月红尘有你的高中数学组卷
一.选择题(共 10 小题) 1.若数列{an}对于任意的正整数 n 满足:an>0 且 anan+1=n+1,则称数列{an}为“积增数列”.已知“积增数列”{an}中, 2 2 a1=1,数列{an +an+1 }的前 n 项和为 Sn,则对于任意的正整数 n,有( ) 2 2 2 A.Sn≤2n +3 B.Sn≥n +4n C.Sn≤n +4n D.Sn≥n2+3n 2. 在等差数列{an}中, 1=1, 7=4, a a 数列{bn}是等比数列, b1=6, 2=a3, 且 b 则满足 bna26<1 的最小正整数 n 为 ( A.4 B.5 C.6 D.7 )

3.设{bn}是等差数列,b1+b2+b3=15,b3+b5+b7=33,Sn 是数列{bn}前 n 项和,令 正整数 n 恒成立,则 a 的取值范围为( A.(﹣∞,6] B. ) C. D.

对一切的

4.数列{an}满足 a1=1, 则正整数 t 的最小值为( A.10 ) B.9

,记数列{an }前 n 项的和为 Sn,若

2

对任意的 n∈N 恒成立,

*

C.8 )+(a2﹣ )+(a3﹣

D.7 )+…+(an﹣ )>0 的最大整

5.等比数列{an}中 a13=1,且 a12>a13,则满足(a1﹣ 数 n=( A.13 ) B.24

C.25 , 则满足

D.26 的最小正整数 n 是 ( D.8 ) D.不确定 )

6. 等差数列{an}中, 1=1, 7=4, a a 数列{bn}为等比数列, 2=a3, b A.5 B.6
2

C.7

7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 x=S n+S A.x≥y B.x=y

2 2n,y=Sn(S2n+S3n)的大小关系是(

C.x≤y

8.在数列{an}中,已知 的取值范围是( A.[1,+∞) ) B.(0,+∞)

,若不等式 3 ﹣2≥an 对任何 3 ﹣2≥an 对任何 n∈N 恒成立,则实数 m

m

m

*

C.(﹣∞,1]

D.(1,+∞) 成立的最大自

9.在等比数列{an}中,0<a1<a4=1,使不等式 然数是( A.5 ) B.6 C.7 D.8

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www.jyeoo.com 10.数列{an}满足 a1=1, 的最小值为( A.10 ) B.9 C.8 D.7 = ,记 Sn= ,若 S2n+1﹣Sn≤ 对任意的 n(n∈N )恒成立,则正整数 t
*

二.填空题(共 6 小题) 11. (2012?上海)已知等差数列{an}的首项及公差均为正数,令 bk 是数列{bn}的最大项时,k= _________ . 12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 1≤a5≤4,2≤a6≤3,则 S6 的取值范围是 13.已知数列{an}满足 an=1+2+…+n,且 _________ . + +…+ _________ . .当

<m 对任意正整数 n 恒成立,则实数 m 的取值范围为

14.设首项不为零的等差数列{an}前 n 项之和是 Sn,若不等式 实数 λ 的最大值为 _________ .

对任意 an 和正整数 n 恒成立,则

15.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的等差数列{an}及任意的正整数 n 都有不等式 则实数 λ 的最大值为 _________ . 16.定义:F(x,y)=y (x>0,y>0) ,已知数列{an}满足:an= an≥ak(k∈N )成立,则 ak 的值为 _________ .
* x

+

≥λa

成立,

(n∈N ) ,若对任意正整数 n,都有

*

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2013 年 6 月红尘有你的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题) 1.若数列{an}对于任意的正整数 n 满足:an>0 且 anan+1=n+1,则称数列{an}为“积增数列”.已知“积增数列”{an}中, 2 2 a1=1,数列{an +an+1 }的前 n 项和为 Sn,则对于任意的正整数 n,有( ) A.Sn≤2n2+3 B.Sn≥n2+4n C.Sn≤n2+4n D.Sn≥n2+3n 考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题. 2 2 分析: 利用基本不等式判断出 an +an+1 ≥2anan+1,利用等差数列的前 n 项和求出数列{anan+1}的前 n 项和;据项大 2 2 和就大,判断出数列{an +an+1 }的前 n 项和的范围. 解答: 解:∵n>0 a 2 2 ∴n +an+1 ≥2anan+1 a ∵nan+1=n+1 a
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∴ nan+1}的前 n 项和为 2+3+4+…+n+1= {a ∴ 数列{an +an+1 }的前 n 项和为 故选 D 点评: 利用基本不等式的性质时,一定要注意使用的条件:两个变量必须是正的. 2. 在等差数列{an}中, 1=1, 7=4, a a 数列{bn}是等比数列, b1=6, 2=a3, 且 b 则满足 bna26<1 的最小正整数 n 为 ( A.4 B.5 C.6 D.7 )
2 2

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 等差数列{an}中,由 a1=1,a7=4,解得 d= ;数列{bn}是等比数列,由 b1=6,b2=a3,解得 q= .由 bna26<
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1,得到 解答: 解:∵ 等差数列{an}中,a1=1,a7=4, ∴ 1+6d=4,解得 d= , ∵ 数列{bn}是等比数列,且 b1=6,b2=a3, ∴ 解得 q= , ∵na26<1, b ∴ 整理,得 ∴ n﹣1>4, , , ,

,由此能求出最小正整数 n 的值.

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www.jyeoo.com 解得 n>5. ∴ 最小正整数 n=6. 故选 C. 点评: 本题考查数列和不等式的综合,首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,对数学思维的要求比较高, 有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.

3.设{bn}是等差数列,b1+b2+b3=15,b3+b5+b7=33,Sn 是数列{bn}前 n 项和,令 正整数 n 恒成立,则 a 的取值范围为( A.(﹣∞,6] B. ) C. D.

对一切的

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的性质可得 b2 =5,b5=11,由此求得首项和公差,从而求得通项 bn=2n+1,从而求得 Sn 和 Tn 的
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解析式,进而求得 由此求得 a 的取值范围.

有最小值等于



解答: 解:由等差数列的性质可得 b1+b2+b3=15=3b2,故 b2 =5;同理可得 b3+b5+b7=33=3b5,故 b5=11. 设等差数列{bn}的公差等于 d,则有 3d=b5﹣b2 =6,故 d=2,故 b1=3,∴n=3+(n﹣1)×2=2n+1,故 b Sn=n×3+ =n +2n,
2



=

=(2n+1)+

+2.

函数 y=x+ 在(2,+∞)上单调递增,由于 2n+1≥3,故当 2n+1=3 时,

有最小值等于



若 Tn≥a 对一切的正整数 n 恒成立,应有 a≤



故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前 n 项和公式,等比数列的通项公式,数列与不等式综 合,属于中档题.

4.数列{an}满足 a1=1, 则正整数 t 的最小值为( A.10 ) B.9

,记数列{an }前 n 项的和为 Sn,若

2

对任意的 n∈N 恒成立,

*

C.8

D.7

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 2 由题干中的等式变形得出数列{ }是首项为 1, 公差为 4 的等差数列, 得出 an 的通项公式, 证明数列{S2n+1
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www.jyeoo.com ﹣Sn}(n∈N )是递减数列,得出数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N )的最大项,再由 得 m 的最小值. 解答: 解:∵ ,∴ ,
* *

,求出正整数



(n∈N ) ,

*

∴ {

}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,



=1+4(n﹣1)=4n﹣3,∴n = a

2

∵ 2n+1﹣Sn)﹣(S2n+3﹣Sn+1) (S 2 2 2 2 2 2 =(an+1 +an+2 +…+a2n+1 )﹣(an+2 +an+3 +…+a2n+3 ) 2 2 2 =an+1 ﹣a2n+2 ﹣a2n+3 = = ∴ 数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N )是递减数列, * 数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N )的最大项为 S3﹣S1=a2 +a3 = ∵ ≤ ,∴ m≥
2 2 *

>0,

=



又∵ 是正整数, m ∴ 的最小值为 10. m 故选 A. 点评: 本题考查数列与不等式的结合问题,难度之一为结合已知和要求的式子,观察出数列是等差或等比数列; * * 难度之二求数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N )的最大值,证数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N )是递减数列,证明方法: 2n+1 (S ﹣Sn)﹣(S2n+3﹣Sn+1)>0.是解题的关键. 5.等比数列{an}中 a13=1,且 a12>a13,则满足(a1﹣ 数 n=( A.13 ) B.24 C.25 D.26 )+(a2﹣ )+(a3﹣ )+…+(an﹣ )>0 的最大整

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 综合题. 分析: 根据条件易知公比大于 0 小于 1, 因为等比数列的倒数构成的数列也是等比数列, 所以先分成两组等比数列
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求和,然后把求和后的结果大于零进行等价转化,其中要用到

=



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www.jyeoo.com 解答: 解:∵12>a13=1, a ∴ 0<q<1 令 Sn= =

=

=

要 Sn>0 即

,又∵ 1﹣q>0



,又∵

=

即 即 (1﹣q ) (1﹣q )>0 要使上式成立 n 的最大值为 25 故选 C 点评: 本题考查了等比数列的性质,即等比数列的倒数构成的数列也是等比数列,还考查分组求和法运用,锻炼 了学生的等价转化能力.总体来说对于选择题等价转化过程有点复杂是本题的难点. 6. 等差数列{an}中, 1=1, 7=4, a a 数列{bn}为等比数列, 2=a3, b A.5 B.6 C.7 , 则满足 的最小正整数 n 是 ( D.8 )
n 25﹣n

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 等差数列{an}中, a1=1, 7=4, 由 a 解得 d= . 所以

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, 3=b1q = b

2

= ,



b1=6.所以 最小正整数 n. 解答: 解:等差数列{an}中,

,由

=

,得

,由此能求出

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www.jyeoo.com ∵1=1,a7=4, a ∴ 1+6d=4, 解得 d= . ∴ ∴ b3=b1q =
2

, , = ,









∴1=6. b ∴ ∵ = , ,





, ∴ n﹣1>5, ∴ n>6. ∴ 最小正整数 n 是 7. 故选 C. 点评: 本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理问题,对数学思维的 要求比较高, 要求学生理解“存在”、 “恒成立”, 以及运用一般与特殊的关系进行否定, 本题有一定的探索性. 7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 x=S n+S A.x≥y B.x=y
2 2 2n,y=Sn(S2n+S3n)的大小关系是(

C.x≤y

) D.不确定

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题. 2 2 分析: 由题设条件,等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,x=S n+S 2n,y=Sn(S2n+S3n) ,要比较 x,y 的大小,可先将 x, y 的表达式进行整理,根据等比数列的性质将两个数用相同的量表示出来,再比较它们的大小 解答: 解:由于等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, n ∴ n,S2n﹣Sn,S3n ﹣S2n ,是一个公比为 q 的等比数列, S n 2n ∴ 2n﹣Sn=Sn×q ,S3n ﹣S2n=Sn×q S n n 2n ∴ 2n =Sn ×(1+q ) 3n =Sn ×(1+q +q ) S ,S 2 2 2 n 2 2 n 2n ∴ x=S n+S 2n=S n ×[1+(1+q ) ]=S n ×(2+2q +q ) n n 2n 2 n 2n y=Sn(S2n+S3n)=Sn[Sn ×(1+q )+Sn ×(1+q +q )]=S n ×(2+2q +q )
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www.jyeoo.com 由上知,x=y 故选 B 点评: 本题考查了等比数列的性质,等比数列的和的性质,解题的关键是熟练掌握等比数列的性质,且能进行准 确计算将 x,y 的表达式化简,比较大小的题,两相关的式变化为用相同的量表示是解题的重点

8.在数列{an}中,已知 的取值范围是( A.[1,+∞) ) B.(0,+∞)

,若不等式 3 ﹣2≥an 对任何 3 ﹣2≥an 对任何 n∈N 恒成立,则实数 m

m

m

*

C.(﹣∞,1]

D.(1,+∞)

考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 综合题. 分析: 由 ,猜想:

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.再用数学归纳法证明

.故 3 ﹣2≥an=

m

对任

何 n∈N 恒成立,等价于 解答: 解:∵ 知 ,

*

≥3 对任何 n∈N 恒成立,由此能求出实数 m 的取值范围.

*



= ,





猜想:



用数学归纳法证明: ① n=1 时, 当 成立;

② 假设 n=k 时,成立,即



则 n=k+1 时,

=

=

=

,也成立,

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∵ ﹣2≥an= 3

m

对任何 n∈N 恒成立,

*



≥3 对任何 n∈N 恒成立,

*

∴ m≥1, 故选 A. 点评: 本题考查数列与不等式的综合运用,解题时要认真审题,合理猜想,并用数学归纳法证明猜想.注意等价 转化思想的合理运用. 9.在等比数列{an}中,0<a1<a4=1,使不等式 然数是( A.5 ) B.6 C.7 D.8 成立的最大自

考 数列与不等式的综合;等比数列的通项公式. 点: 专 综合题. 题: 分 析:在等比数列{an}中,由 0<a1<a4=1,知 q>1,故 n>4 时,
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.由 a4=

=1,知 a1=

,故

,同理得





,所以

+ =0,由此能求出 n 的最大值. 解 解:∵ 在等比数列{an}中,0<a1<a4=1,∴ q>1, 答:∴ n>4 时, .

∵4= a

=1,∴1= a











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∴ =0, ∴ 时, n≤7

+



所以 n 的最大值为 7. 故选 C. 点 本题考查数列和不等式的综合,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大, 评:有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.

10.数列{an}满足 a1=1, 的最小值为( A.10 )

=

,记 Sn=

,若 S2n+1﹣Sn≤

对任意的 n(n∈N )恒成立,则正整数 t

*

B.9

C.8

D.7

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 综合题. 2 分析: 先求出 数列{an }的通项公式,令 g(n)=S2n+1﹣Sn,化简 g(n)﹣g(n+1)的解析式,判断符号,得出
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g(n)为减数列的结论,从而得到 解答: 解:∵ = ,

,可求正整数 t 的最小值.





∴ ∵1=1, a ∴



是首项为 1,公差为 4 的等差数列,



=4n﹣3,





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www.jyeoo.com ∴ n= S = + + +…+

令 g(n)=S2n+1﹣Sn, 而 g(n)﹣g(n+1) = 为减数列, 所以: , ,

而 t 为正整数,所以,tmin=10. 故选 A. 点评: 本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题,学会用不等式处理问题.本题对数学思维的 要求比较高, 要求学生理解“存在”、 “恒成立”, 以及运用一般与特殊的关系进行否定, 本题有一定的探索性. 综 合性强,难度大,易出错. 二.填空题(共 6 小题) 11. (2012?上海)已知等差数列{an}的首项及公差均为正数,令 bk 是数列{bn}的最大项时,k= 1006 . 考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质. 专题: 综合题. 分析: 设 , ,由
2 2 2 2 2 2 2 2 2

.当

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,根据基本不等式(x+y)
2

=x +y +2xy≤x +y +x +y =2(x +y ) ,得 bn =(

) ≤2(an+a2012﹣n)=2(2a1006)=4a1006,

2

由此能求出结果. 解答: 解:设 ∵
2 2 2 2 2 2



, ,
2 2 2

∴ 根据基本不等式(x+y) =x +y +2xy≤x +y +x +y =2(x +y ) , 得 bn =(
2

) ≤2(an+a2012﹣n)=2(2a1006)=4a1006,

2

当且仅当 an=a2012﹣n 时,bn 取到最大值, 此时 n=1006,所以 k=1006. 故答案为:1006. 点评: 本题考查数列与不等式的综合应用,具体涉及到等差数列的通项公式、基本不等式的性质等基本知识,解 题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 1≤a5≤4,2≤a6≤3,则 S6 的取值范围是 [﹣12,42] .

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题. 分析: 利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系,利用不等式的性质及等 差数列的前 n 项和公式求出前 6 项的和的范围. 解答: 解:a5=a1+4d,a6=a1+5d,
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www.jyeoo.com 所以 1≤a1+4d≤4,2≤a1+5d≤3 所以﹣20≤﹣5a1﹣20d≤﹣5,6≤3a1+15d≤9, 两式相加得,﹣14≤﹣2a1﹣5d≤4, 两边同乘以﹣1,﹣4≤2a1+5d≤14. 两边同乘以 3,﹣12≤6a1+15d≤42. 又因为 S6=6a1+15d,所以﹣12≤S6≤42. 故答案为[﹣12,42] 点评: 利用不等式的性质解决问题时,一定要注意不等式的两边同乘以一个负数,不等号要改变方向. <m 对任意正整数 n 恒成立,则实数 m 的取值范围为 (2,

13.已知数列{an}满足 an=1+2+…+n,且 +∞) .

+

+…+

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题. 分析: 由数列{an}满足 an=1+2+…+n,得 an=
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,则

+

+…+

=

+

+…+

;通过裂项

法求和可得,2﹣ 取值范围. 解答:

;再由

+

+…+

<m 对任意正整数 n 恒成立,得 2﹣

<m,从而知实数 m 的

解:由数列{an}满足 an=1+2+…+n,知 an= ∴ + 由 + +…+ +…+ = + +…+

, =2[1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ]=2﹣ ;

<m 对任意正整数 n 恒成立,知 2﹣

<m,所以实数 m 的取值范围为{m|m<2};

故答案为: (2,+∞) . 点评: 本题考查了数列与不等式的综合应用,其中用裂项法求数列的前 n 项和,是经常用到的数列求和方法之一, 本题是基础题.

14.设首项不为零的等差数列{an}前 n 项之和是 Sn,若不等式 实数 λ 的最大值为 .

对任意 an 和正整数 n 恒成立,则

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题. 分析:

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等差数列{an}中,首项不为零,前 n 项和 Sn=

;由不等式

,得

an + 得 λ 的最大值.

2

≥λa1 ,整理得

2

+

+ ≥λ;若设 t=

,求函数 y= t + t+ 的最小值,

2

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www.jyeoo.com 解答: 解:在等差数列{an}中,首项不为零,即 a1≠0;则数列的前 n 项之和为 Sn= ;

由不等式

,得 an +

2

≥λa1 ,

2

∴ an + a1an+ a1 ≥λa1 ,即

2

2

2

+

+ ≥λ;

设 t=

,则 y= t + t+ =

2

+ ≥ ,

∴ ,即 λ 的最大值为 ; λ≤ 故答案为 . 点评: 本题考查了数列与不等式的综合应用,其中用到换元法求得二次函数的最值,应属于考查计算能力的基础 题目.

15.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的等差数列{an}及任意的正整数 n 都有不等式 则实数 λ 的最大值为 .

+

≥λa

成立,

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析:

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由等差数列{an}前 n 项之和是 Sn, 我们利用等差数列的前 n 项和公式, 可将不等式 配方后,根据实数的性质,易得实数 λ 的最大值. 解答: 解:∵ n= S ?n,

+

≥λ

进行变形,

∴ λ

+


2

可以变形成:

+ a1an+( ﹣λ)

≥0,

即( an+ a1) +( ﹣λ)

≥0,

若不等式

+

≥λ

对任意{an}和正整数 n 恒成立,

仅需要 λ≤ 即可, 则实数 λ 的最大值为 . 故答案为: .

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www.jyeoo.com 点评: 数列是一种定义域为正整数的特殊函数,我们可以利用研究函数的方式研究它,特别是等差数列对应的一 次函数,等比数列对应的指数型函数,我们要善于通过数列的通项公式、前 n 项和公式,或数列相关的一 些性质,在解数列相关的不等式时,也可以利用配方法、放缩法等解不等式的方法.
x *

16.定义:F(x,y)=y (x>0,y>0) ,已知数列{an}满足:an= an≥ak(k∈N )成立,则 ak 的值为
*

(n∈N ) ,若对任意正整数 n,都有



考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题. 分析: 根据题意可求得数列{an}的通项公式, 进而求得
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, 根据 2n ﹣ (n+1) = (n﹣1) ﹣2, 进而可知当当 n≥3

2

2

2

时, (n﹣1) ﹣2>0, 推断出当 n≥3 时数列单调增,n<3 时,数列单调减,进而可知 n=3 时 an 取到最小值求得数列的最小值,进 而可知 ak 的值. 解答: 解:an= =
(n∈N)

2




2

=
2


2 2

∵ ﹣(n+1) =(n﹣1) ﹣2,当 n≥3 时, 2n (n﹣1) ﹣2>0, ∴ n≥3 时 an+1>an; 当 2 当,n<3 时, (n﹣1) ﹣2<O,所以当 n<3 时 an+1<an. ∴ n=3 时 an 取到最小值为 f(3)= 当 故答案为: 点评: 本题主要考查了数列和不等式的综合运用.考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力.

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