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江西省南昌市莲塘一中2016-2017学年上学期高三年级11月质量检测理科数学Word版含答案.doc


莲塘一中 2016—2017 学年上学期高三年级 11 月质量检测 理科数学试题
一、填空题(本题共有 12 小题,四个选项中只有一个是正确的,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ,集合 B 为整数集,则 A ? B ? ( A. {?1, 0} D. {?1, 0,1, 2} 2.在复平面内,复数 B. {0,1} C . )

{?2, ?1,0,1}

1 ? 2i 对应的点的坐标为( ) 2?i 4 3 4 3 A. ( , ? ) B. ( , ) 5 5 5 5

C. (0, ?1) D. (0,1) )

3.在数列 {an } 中, an?1

n?1 ,前 n 项和 Sn ? 3 ? k ,则 k ? ( ? can ( c 为非零常数)

A. ? 3

B. ? 1

C.0D.1 ) B.命题 p ? q 是真命

4.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? 0 ,命题 q : ?x ? R, 2x ? x2 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 题 C.命题 p ? ? ?q ? 是真命题 假命题 5.将函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? 的图象向左平移 则 ? 的一个可能取值为( ) A.

D .命题 p ? ? ?q ? 是

? 个单位得到的函数图象关于 y 轴对称, 8

3? 4

B.

? 4
)

C. ?

?
4

D. 0

6.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( A. 10 ? 5 C. 6 ? 2 ? 6 7.若函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 , x ? R , 且当 x ? ?0, 2 ? 时, f ( x) ? 3 ? 1,则 f (2017) 的值为(
x

B. 10 ? 2 D. 6 ? 2 2 ? 6

)

A. ?2

B. 0

C.2D.8

8. 命题 p :“ | a | ? | b |? 1 ” ; 命题 q :“对任意的 x ? R , 不等式 a sin x ? b cos x ? 1 恒成立” , 则 p 是 q 的( ) 条件 A.充分不必要 C.充要条件 D.不充分不必要 B . 必 要 不 充 分

9.点 P 在正方形 ABCD 所在平面外, PA ⊥平面 ABCD , PA ? AB ,则 PB 与 AC 所成 的角是( ) A. 30 D. 90
o o

B. 45

o

C



60o

10.设 ? 是 ??? C 所在平面上的一点,且 MB ?

uuu r

r 3 uuu r r 3 uuu MA ? MC ? 0 , D 是 ? C 的中点,则 2 2

uuu r | MD | uuur 的值为( | BM |

)

A.2 11.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 分是( ) A.1
x 2

B .1

C.

1 2

D.

1 3

4 1 1 1 ,且 an ?1 ? 1 ? an (an ? 1) ,则 M ? ? ????? 的整数部 3 a1 a2 a2016

B .2

C.3

D.4

12.已知 f ( x) ?| x ? e | ,又 g ( x) ? f ( x) ? t ? f ( x) ,若满足 g ( x) ? ?1 的 x 有四个,则 实数 t 的取值范围为 ( ) A. (

e2 ? 1 , ??) e e2 ? 1 ) e

B. (??, ?

e2 ? 1 e2 ? 1 , ?2) ) C . (? e e

D. (2,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?y ? 0 y ?1 ? 13.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.

14. 向量 a 与 b 的夹角为

?

?

? ? ? ? ? ? , | a |? 2 , | b |? 1 ,则 a 与 a ? 2b 的夹角为 3

.

E F ?ABC 中, 15. 分别在边 AB, BC , CA 上取点 D, E, F , 使 ?D AB ? 2, BC ? 1, CA ? 3 ,
是等边三角形.设 ?FEC ? ? ,问当 sin ? ? 时, ?DEF 的边长最短.

16.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? a | x ? 2 | ?a ,其中常 数 a 为正数.若函数 y ? f [ f ( x)] 有 10 个零点,则 a 的取值范围是 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 10+12+12+12+12+12=70 分) 17. f ( x) ? 2sin x ? 2 3 sin x ? sin( x ?
2



?
2

) ( ? ? 0 ). 2? ] 上的取值范围. 3

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在区间 [0,

18.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b
3 2

? a, b ? R? .

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若对任意 a ? [3, 4] ,函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点,求实数 b 的取值范围.

19.设 x ? ? 0, ??? ,将函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? 在区间 ? 0, ??? 内的全部极值点按从小
2 * 到大的顺序排成数列 ?an ? n ? N .

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2n an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

20.已知 f ( x) ? a ? b ?1,其中向量 a ? ? sin 2 x, 2 cos x ? , b ? 角 A、B、C 的对边分别为 a , b , c .

? ?

?

?

?

3, cos x .在 ? ABC 中,

?

(1)若三边 a , b , c 依次成等比数列,试求角 B 的取值范围及此时函数 f ? B ? 的值域; (2)若 f ( ) ? 3 ,边 a , b , c 依次成等差数列,且 AB ? CA ? ?1 ,求 b 的值.

A 4

??? ? ??? ?

21.如图, PA ? 平面 ABCD ,矩形 ABCD 的边长 AB ? 1, BC ? 2 , E 为 BC 的中点. (1)证明: PE ? DE ;

(2)如果异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小为 求 PA 的长及点 A 到平面 PED 的距离.

? , 3

22.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x, a ? R , (1)若函数 f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g (x) ? f (x) ? x 2 ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e] ( e 是自然常数)时,函数 g ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. (3)当 x ? (0, e] 时,证明: e x ?
2 2

5 x ? ( x ? 1) ln x . 2

理科数学答案 DCAC 13. [ ? BDCA CDBB 14.

1 ,1) 2

? 6

15.

2 7 7
?

16. 1 ? a ? 3

12. 解析: 由 an ?1 ? 1 ? an ? an ? 1? n ? N

?

? 得:a

1 ?1

?

n ?1

1 1 1 1 1 , ? , ? ? an ? 1 an an an ? 1 an ?1 ? 1

因此: M ? 因为 a1 ?

1 1 1 1 ? ? ??? ? ?? ? 3? a1 a2 a2016 a2017 ? 1

4 4 52 6916 2 ? 1 , an ?1 ? an ? ? an ? 1? ? 0 , a2 ? 1 ? , a3 ? 1 ? , a4 ? 1 ? ?2, 3 9 81 6561


所以 a2017 ? 2

0?

1 a2017 ? 1

? 1, 2 ? 3 ?

1 a2017 ? 1

? 3 ,所以 m 的整数部分是 2.

12.解析: f ( x) ?| x ? e x | ? ?

x ? ? xe , , x ? 0 ,当 x ? 0 时, f ' ( x) ? e x ? xe x ? 0 ,所以 f ( x) x ?? xe , x ? 0 ?

在 [0,??) 上是增函数;当 x ? 0 时, f ' ( x) ? ?(e x ? xe x ) ,当 x ? ?1 时, f ' ( x) ? 0 ;当

0 ? x ? ?1 时, f ' ( x) ? 0 ;所以 f ( x) 在 (??,?1) 上是增函数;在 (?1,0) 上是减函数,所
以当 x ? ?1 时,函数 f ( x) 取得极大值 f ( ?1) ? 令 f ( x) ? m ,则当 0 ? m ?

1 , e

1 1 时,方程 f ( x) ? m 有 3 解;当 m ? 0 或 m ? 时,方程 e e 1 f ( x) ? m 有时,方程 f ( x) ? m 有 1 解;当 m ? 时,方程 f ( x) ? m 有 2 解. e
m

因为 g ( x) ? ?1 的 x 有四个,所以 f 2 ( x) ? tf ( x) ? 1 ? 0 有四解,所以方程 m ? tm ? 1 ? 0

?t 2 ? 4 ? 0 1 1 e2 ? 1 ? 在 ( 0, ) 上有一解,在 ( ,?? ) 上有一解,所以 ? 1 ,解得 t ? ? . t e e e ? 2 ? ?1 ? 0 e ?e
16.解析:当 x ? 0 时,令 f ( x) ? 0 ,得 | x ? 2 |? 1 ,即 x ? 1 或 3 . 因为 f ( x) 是偶函数,则 f ( x) 的零点为 x ? ?1 和 ?3 . 令 f [ f ( x)] ? 0 ,则 f ( x) ? ?1 或 f ( x) ? ?3 . 因为函数 y ? f [ f ( x)] 有 10 个零点,则函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 和 y ? ?3 共有 10 个交点. 由图可知, 1 ? a ? 3 . 17.解析:(1) f ( x) ? 1 ? cos 2x ? 2 3sin x ? cos x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1

? 2? ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ,所以 f ( x) 的最小正周期为 T ? ?? . 6 2 2? ? ? 7? ? ] ,所以 2 x ? ? [? , ] ,所以 2sin(2 x ? ) ? [?1, 2] , (2)因为 x ? [0, 3 6 6 6 6 2? ] 上的取值范围是 [0,3] . 所以 f ( x) ? [0,3] ,即 f ( x) 在区间 [0, 3
18.

19. (1) f ( x) ? 1 ? sin 2 x ,其极值点为 x ? 点构成以

k? ? ? (k ? Z ) ,它在 ? 0, ??? 内的全部极值 2 4

? ? ? ? 2n ? 1 ? ?n ? N* ? 为首项, 为公差的等差数列,故 an ? ? ? n ? 1? ? ? 4 2 4 4 2
n

(2) bn ? 2 an ? 所以 Tn ?

?
4

? 2n ? 1? ? 2n ,

?

? 1? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? ? 2n ? 3? ? 2n ?1 ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ? ?, 4

2Tn ? ?Tn ?
20.

?

? 1 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 3? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 ? ? ? ,相减,得 4 ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 ? , ? Tn ? ? ? 2n ? 3? ? 2 n ?3? ? ? ? ?. 4 2

?

?

21.

∴ VA? PDE ? VP ? DAE ?

1 1 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? .在 Rt ?PED 中, PE ? 6 , DE ? 2 , 3 2 3

∴ S ?PED ?

1 ? 2? 6 ? 3 2

2 2 3 ∴点 A 到平面 PED 的距离为 3 ? . 3 3 3

x2 x2 1? ? 2 ? 5 ? ? 4 4 ? 1 ,显然不合题意. 若 ?MNC ? ,由 cos ?MNC ? 3 2 x2 2 1? ? 2 4
综上所述, PA ? 2 ,点 A 到平面 PED 的距离为 22.

2 3 .?????(12 分) 3

(2)假设存在实数 a,使 g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值 3, g ( x ) ? a ?
'

1 ax ? 1 ? x x

①当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, a ? ②当 0 ?

4 (舍去), e

1 1 1 ? e 时,g(x)在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a 1 ∴ g ( x) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 ,a=e2,满足条件. a 1 4 ③当 ? e 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, a ? (舍去), a e
综上,存在实数 a=e2,使得当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3.

ln x 5 1 ? ln x ? ,? ' ( x) ? , x 2 x2 1 5 1 5 当 0<x≤e 时,?'(x)≥0,φ(x)在(0,e]上单调递增∴ ? ( x) max ? ? (e) ? ? ? ? ? 3 e 2 2 2 ln x 5 5 2 ? ,即 e 2 x 2 ? x ? ( x ? 1) ln x . ∴ e x ? ln x ? x 2 2
(3)令 F(x)=e2x﹣lnx,由(2)知,F(x)min=3.令 ? ( x) ?


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