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18学年高中数学3.2立体几何中的向量方法3.2.4用向量方法求空间中的距离课件新人教A版选修2_1_图文

第4课时

用向量方法求空间中的距离

1.了解空间中两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距 离. 2.能用向量方法解决空间中的两点间的距离、点到直线的距离、 点到平面的距离的问题.

空间中距离的向量求法 (1)两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离 dAB=| | = (2 -1 )2 + (2 -1 )2 + (2 -1 )2 . (2)已知点 P 和平面 α 内任一点 A,向量 n 为平面 α 的法向量,则 点 P 到平面 α 的距离可表示为
|· | . ||

知识拓展当 = + + 时,求 P,A 两点之间的距离,常 常先计算2 = ( + + )2, 然后再求||.

【做一做 1】 空间内有三点 A(2,1,3),B(0,2,5),C(3,7,0),则点 B 到 AC 的中点 P 的距离为( )
10 3 10 B. 5C. D. 3 2 2 5 3 解析:∵ ,4, , 2 2

A.

5

∴|| =

2 5 -0 2

+ (4-2) +

2

2 3 -5 2

25 49 3 10 = +4+ = . 4 4 2
答案:C

【做一做2】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面 A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )

A.

1 2

B.

2 4

C.

2 2

D.

3 2

解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1), ∴ = (0,1,0), 1 = (?1,0,1). 设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,则 · = = 0, 解得y=0,z=1, 1 · = -1 + = 0, 1 1 ∴n=(1,0,1).又 = ,- ,-1 ,
2 2

1 1 , ,1 2 2

,

∴点 O 到平面
答案:B

|· | ABC1D1 的距离为 ||

=

1 2

2

=

2 . 4

求点到平面的距离 剖析:如图,BO⊥平面 α,垂足为 O,则点 B 到平面 α 的距离就是线 段 BO 的长度.

若 AB 是平面 α 的任一条斜线段,则在 Rt△BOA 中,|| = ||· cos∠ABO=
||||cos∠ . || |· | . ||

如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法向量的方向,可以得到点 B 到平面 α 的距离为|| =

因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:(1)求出该 平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应 的向量;(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除 以法向量的模,即可求出点到平面的距离.因为 =n0 可以视为平面
||

的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与 从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值,即 d=| · n0|. 线面距离、 面面距离均可转化为点面距离,用求点面距的方法进 行求解.

题型一

题型二

题型三

求两点间的距离 【例1】 如图,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面 ABCD,ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若 CM=BN=a (0<a< 2).

(1)求MN的长; (2)当a为何值时,MN的长最小? 分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,利用向量的模求出两 点间的距离,再用函数的性质来求最值.

题型一

题型二

题型三

解:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1). (1)∵CM=BN=a(0<a< 2), 且四边形ABCD,ABEF 为正方形,



2 2 ,0,1- 2 2

,

2 2 , ,0 2 2

,

2 2 ∴ = 0, , -1 . 2 2
∴|| = 2 - 2 + 1,
即 MN 的长为 2 - 2 + 1. (2)由(1)知|| = 2 2 + 1 = =
2 , 2

-

2 2

2

1 + , 2

∴当 a=

2 时,||min 2

即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为

2 . 2

题型一

题型二

题型三

反思用向量法求两点间的距离主要是用坐标法(易建系的)和基向 量法(各基向量的模和夹角已知或可求),利用向量模的定义求解.

题型一

题型二

题型三

【变式训练 1】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上,点 N 是 BB1 的中点,且 = 1 , 则||等于(
1 3

)

A.

21 6 15 15 B. C. D. 6 6 6 3

题型一

题型二

题型三

解析:建立如图所示的空间直角坐标系. 则 A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a),

∴ ,, 2 , 1 = (?, , ).
设 M(x,y,z),则 = ( ? , , ). 3(-) = -, 2 由1 = 3, 得 3 = , ∴ , , , 3 3 3 3 = ,



2 21 ∴ = , , , 即|| = . 3 3 6 6
答案:A

题型一

题型二

题型三

点到平面的距离 【例2】 在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长 AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.

题型一

题型二

题型三

解:如图所示,以 AD 的中点 O 为原点,以 OD,OC 所在直线为 x 轴、y 轴,过 O 作 OM⊥平面 ACD 交 AB 于点 M,以直线 OM 为 z 轴 建立空间直角坐标系,

1 3- 1 1 3 1 则 - ,0,0 , , 0, , 0, ,0 , , 0, 0 , 2 2 2 2 2 1 3 3 1 1 3 ∴ = , ,0 , = , 0, , = - , ,0 . 2 2 2 2 2 2
设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的一个法向量,

3 1 · = + = 0, 2 2 则 1 3 · = + = 0, 2 2

题型一

题型二

题型三

∴y=?

3 , 3

= ? 3, 可取n=(? 3, 1,3),
39 . 13 39 的距离是 . 13
3 3

代入 d=

+2 |· | 2 , 得d= || 13

=

即点 D 到平面 ABC

反思用向量法求点到平面的距离,垂线段常常不用作出来.只需 首先设出垂线段对应的方向向量或平面的法向量,利用向量垂直的 条件转化为解方程组求出其法向量,然后求解点到平面的距离.

题型一

题型二

题型三

【变式训练2】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1, 则点B1到平面A1BC1的距离为 . 解析:如图,建立空间直角坐标系 Dxyz. 由已知,A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1), 则1 = (0,2, ?1), 11 = (?1,2,0). 设平面 A1BC1 的法向量为 n=(x,y,z), 2- = 0, 则 取x=2,则 n=(2,1,2). - + 2 = 0.

又1 = (0,0,1), 故d=

答案:

2 3

|1 · | ||

=

2 . 3

题型一

题型二

题型三

易错辨析 易错点 用向量法求点到平面的距离时,因选错向量致错

【例 3】 如图,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平面 BCD,AB=2 3, 则点到平面 的距离为___________________.

题型一

题型二

题型三

错解:取 CD 的中点 O,连接 OB,OM, 则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD⊥平面 BCD,则 MO⊥平面 BCD. 以 O 为原点,建立空间直角坐标系如图, 由题意得 OB=OM= 3, = 2 3, 所以 C(1,0,0),M(0,0, 3), (0, ? 3, 0), (0, ? 3, 2 3). 设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量, 则 = (1, 3, 0), = (0, 3, 3), + 3 = 0, · = 0, 由 得 取n=( 3, ?1,1). 3 + 3 = 0. · = 0, 又 = 0, ? 3, 2 3 , 则点A 到平面 MBC 的距离 d=
|· | ||

=

3 3 5

=

3 15 . 5

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题型一

题型二

题型三

错因分析:错误的根本原因是忽视了求点面距时,应是用平面内 一点与该点构成的向量与平面的法向量来求.实际上本例中 O?平面 MBC,选择求点A 到平面 MBC 的距离是错误的,应选向量(或 , ). 正解:(接错解)又 = (0,0,2 3), 则点 A 到平面 MBC 的距离 d= 答案:
2 15 2 |· | ||

=

2 3 5

=

2 15 . 5

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