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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题7 解析几何 第33练


第 33 练

直线与圆锥曲线问题

题型一 直线和椭圆的位置关系

x2 y2 2 例 1 如图所示,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,x 轴被曲线 C2:y=x2-b 截得的 a b 2 线段长等于 C1 的短轴长.C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B, 直线 MA,MB 分别与 C1 相交于点 D,E. (1)求 C1,C2 的方程; (2)求证:MA⊥MB; S1 (3)记△MAB,△MDE 的面积分别为 S1,S2,若 =λ,求 λ 的取值范围. S2 破题切入点 (1)利用待定系数法求解曲线 C1,C2 的方程. (2)设出直线 AB 和曲线 C2 联立,利用坐标形式的向量证明. (3)将 S1 和 S2 分别表示出来,利用基本不等式求最值. c 2 (1)解 由题意,知 = , a 2 所以 a2=2b2. 又 2 b=2b,得 b=1. x2 所以曲线 C2 的方程:y=x2-1,椭圆 C1 的方程: +y2=1. 2 (2)证明 设直线 AB:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意,知 M(0,-1). ? ?y=kx, 则? ?x2-kx-1=0, 2 ?y=x -1 ? → → MA· MB=(x1,y1+1)· (x2,y2+1) =(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1 =-(1+k2)+k2+1=0, 所以 MA⊥MB. (3)解 设直线 MA 的方程:y=k1x-1,直线 MB 的方程:y=k2x-1,
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由(2)知 k1k2=-1,M(0,-1), ? ? ? ?y=k1x-1, ?x=0, ?x=k1, 由? 解得? 或? 2 2 ?y=x -1, ?y=-1, ?y=k1-1, ? ? ? 所以 A(k1,k2 1-1). 同理,可得 B(k2,k2 2-1). 1 1 2 故 S1= MA· MB= 1+k2 1· 1+k2|k1||k2|. 2 2 y=k x-1, ? ? ?x=1+2k21, ? ?2 1 ?x=0, 由?x 解得? 或? 2 2k2 ?y=-1 ? 1-1 ? 2 +y =1, ? y = 2, ? ? 1+2k1 2k2 4k1 1-1 所以 D( , ). 1+2k2 1+2k2 1 1 2k2 4k2 2-1 同理,可得 E( , ). 1+2k2 1+2k2 2 2 1 故 S2= MD· ME 2 1 |16k1k2| 2 = 1+k1 · 1+k2 2 , 2 2 ?1+2k2 1??1+2k2? 1 5+2? 2+k2 2 2 1? k ? 1 + 2 k ?? 1 + 2 k ? S1 9 1 1 2 =λ= = ≥ , S2 16 16 16 9 则 λ 的取值范围是[ ,+∞). 16 题型二 直线和双曲线的位置关系 例 2 已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 2,求实数 k 的值. 破题切入点 (1)联立方程组,利用 Δ>0 求出 k 的取值范围. (2)联立方程用根与系数的关系求解. 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点, 2 2 ? ?x -y =1, ? 则方程组 有两个不同的实数根, ?y=kx-1 ? 整理得(1-k2)x2+2kx-2=0. 2 ? ?1-k ≠0, ∴? 2 2 ?Δ=4k +8?1-k ?>0, ? 解得- 2<k< 2且 k≠± 1. 双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时,k 的取值范围是(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设交点 A(x1,y1),B(x2,y2),
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4k1

直线 l 与 y 轴交于点 D(0,-1), 由(1)知,C 与 l 联立的方程为(1-k2)x2+2kx-2=0. -2k x +x = , ? ? 1-k ∴? -2 ? ?x x =1-k .
1 2 2 1 2 2

当 A,B 在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时, 1 S△OAB=S△OAD-S△OBD= (|x1|-|x2|) 2 1 = |x1-x2|; 2 当 A,B 在双曲线的两支上且 x1>x2 时, 1 S△OAB=S△ODA+S△OBD= (|x1|+|x2|) 2 1 = |x1-x2|. 2 1 ∴S△OAB= |x1-x2|= 2,∴(x1-x2)2=(2 2)2, 2 -2k 2 8 6 即( )+ =8,解得 k=0 或 k=± . 2 1-k2 1-k2 又∵- 2<k< 2,且 k≠± 1, 6 ∴当 k=0 或 k=± 时,△AOB 的面积为 2. 2 题型三 直线和抛物线的位置关系 y2 x2 例 3 已知双曲线 M: 2- 2=1(a>0,b>0)的上焦点为 F,上顶点为 A,B 为虚轴的端点,离 a b 2 3 3 心率 e= ,且 S△ABF=1- .抛物线 N 的顶点在坐标原点,焦点为 F. 3 2 (1)求双曲线 M 和抛物线 N 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 N 相切于点 P,与抛物线的准线相交于点 Q,则以 PQ 为直径的圆是否 恒过 y 轴上的一个定点?如果是,试求出该点的坐标,如果不是,请说明理由. 破题切入点 (1)根据双曲线的性质,用 a,c 表示已知条件,建立方程组即可求解双曲线的方 程,然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程. (2)设出点 P 的坐标,根据导数的几何意义求出切线方程,并求出点 Q 的坐标,然后根据圆的 性质列出关于点 P 的坐标的方程,将问题转化为方程恒成立的问题来解决. 解 (1)在双曲线中,c= a2+b2, a2+b2 2 3 2 3 由 e= ,得 = , 3 a 3 解得 a= 3b,故 c=2b.
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1 1 所以 S△ABF= (c-a)×b= (2b- 3b)×b 2 2 3 =1- ,解得 b=1. 2 所以 a= 3,c=2,其上焦点为 F(0,2). y2 所以双曲线 M 的方程为 -x2=1, 3 抛物线 N 的方程为 x2=8y. 1 (2)由(1)知抛物线 N 的方程为 y= x2, 8 1 故 y′= x,抛物线的准线为 y=-2. 4 1 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x2 , 8 0 1 2 1 且直线 l 的方程为 y- x0 = x0(x-x0), 8 4 1 1 2 即 y= x0x- x0. 4 8 1 1 x -16 ? ? ?x= 0 ?y=4x0x-8x2 , 0, 2x0 由? 得? ? ? ?y=-2, ?y=-2. x2 0-16 所以 Q( ,-2). 2x0 假设存在点 R(0,y1),使得以 PQ 为直径的圆恒过该点, 1 → → 也就是RP· RQ=0 对于满足 y0= x2 (x ≠0)的 x0,y0 恒成立. 8 0 0 2 x0-16 → → 由于RP=(x0,y0-y1),RQ=( ,-2-y1), 2x0 → → 由RP· RQ=0, 2 x0 -16 得 x0· +(y0-y1)(-2-y1)=0, 2x0 2 x0-16 整理得 -2y0-y0y1+2y1+y2 1=0, 2
2 即(y1 +2y1-8)+(2-y1)y0=0,(*) 1 由于(*)式对满足 y0= x2 (x ≠0)的 x0,y0 恒成立, 8 0 0 ? ?2-y1=0, 所以? 2 解得 y1=2. ?y1+2y1-8=0, ? 2

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点,定点坐标为(0,2). 总结提高 直线和圆锥曲线的位置关系问题,万变不离其宗,构建属于自己的解题模板,形

成一定的解题思路,利用数形结合思想来加以解决.

1. 设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,已知当
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直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点).

(1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直 线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,则|MN|=2p, 1 p p2 ∴S△OMN= · 2p· = =2,即 p=2. 2 2 2 ∴抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)∵直线 l 与 x 轴垂直时,不满足.设正方形的第三个顶点为 P. 故可设直线 l:y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0), ?y=k?x-1?, ? 联立? 2 可化简得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, ?y =4x, ? 4 2k +4 ? ? ?x1+x2= 2 , k2+2 2 ?y1+y2=k , k 则? 代入直线 l 可得 MN 的中点为( 2 , ),? k k ?y1y2=-4, ?x1x2=1. ? ? 2 1 2 则线段 MN 的垂直平分线为 y- =- (x-1- 2), k k k 3 2 故 P(0, + 3). k k → → 又PM· PN=0,则 x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0. 即 x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y2 0=0. 4 2 1-4-y0· +y0=0,化解得 ky2 0-4y0-3k=0, k 3 2 由 y0= + 3代入上式,化简得(3k4-4)(k2+1)=0. k k 解得 k=± 4 4 4 4 .∴存在直线 l:y=± (x-1). 3 3
2

2.(2013· 广东)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离 3 2 为 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. 2 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF· BF 的最小值. |c+2| 3 2 解 (1)依题意知 = ,c>0,解得 c=1. 2 2
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所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. 1 1 (2)由 y= x2 得 y′= x, 4 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 1 则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1, x2, 2 2 x1 所以切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1), 2 x1 x2 1 即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y1=0. 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0, 又点 P(x0,y0)在切线 PA 和 PB 上, 所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解, 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义知 AF=y1+1,BF=y2+1, 所以 AF· BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, ? ?x0x-2y-2y0=0, 联立方程? 2 ?x =4y, ?
2 消去 x 整理得 y2+(2y0-x2 0)y+y0=0, 2 ∴y1+y2=x0 -2y0,y1y2=y2 0, 2 ∴AF· BF=y1y2+(y1+y2)+1=y2 0+x0-2y0+1 2 =y0 +(y0+2)2-2y0+1=2y2 0+2y0+5 1 9 ?2 =2? ?y0+2? +2, 1 9 ∴当 y0=- 时,AF· BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2

3.(2013· 浙江)

x2 y2 如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 a b 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D.
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(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. ?b=1, ? 解 (1)由题意得? ? ?a=2. x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4, 故点 O 到直线 l1 的距离 d= 所以 AB=2 4-d2=2 1 , k +1
2

4k2+3 . k2+1

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. ? ?x+ky+k=0, 由? 2 2 ?x +4y =4. ? 消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 8 k2+1 8k 故 x0=- .所以 PD= . 4+k2 4+k2 设△ABD 的面积为 S, 8 4k2+3 1 则 S= · AB· PD= , 2 4+k2 32 所以 S= 13 2 4k +3+ 4k2+3 32 ≤ 13 2 4k2+3· 2 4k +3 16 13 = , 13 10 当且仅当 k=± 时取等号. 2 所以所求直线 l1 的方程为 y=± x2 y2 4.已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和 a b 直线 x-y+ 6=0 相切. (1)求双曲线 E 的方程; (2)已知点 F 为双曲线 E 的左焦点,试问在 x 轴上是否存在一定点 M,过点 M 任意作一条直线
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10 x-1. 2

→ → 交双曲线 E 于 P,Q 两点(P 在 Q 点左侧),使FP· FQ为定值?若存在,求出此定值和所有的定 点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. | 6| 解 (1)由题意知 2 =a, 1 +?-1?2 ∴a= 3. 又∵2c=4,∴c=2,∴b= c2-a2=1. x2 ∴双曲线 E 的方程为 -y2=1. 3 (2)当直线为 y=0 时, 则 P(- 3,0),Q( 3,0),F(-2,0), → → ∴FP· FQ=(- 3+2,0)· ( 3+2,0)=1. 当直线不为 y=0 时, x2 2 可设 l:x=ty+m(t≠± 3)代入 E: -y =1, 3 整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t≠± 3).(*) 由 Δ>0 得 m2+t2>3. 设方程(*)的两个根为 y1,y2, m2-3 2mt 满足 y1+y2=- 2 ,y y = , t -3 1 2 t2-3 → → ∴FP· FQ=(ty1+m+2,y1)· (ty2+m+2,y2) =(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2 t2-2m2-12m-15 = . t2-3 → → 当且仅当 2m2+12m+15=3 时,FP· FQ为定值, 解得 m1=-3- 3,m2=-3+ 3(舍去). → → 综上,过定点 M(-3- 3,0)任意作一条直线交双曲线 E 于 P,Q 两点,使FP· FQ=1 为定值. 5. 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2, y2)(x1<x2) 两点,且 AB=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值. p 解 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ),与 y2=2px 联立, 2 5p 从而有 4x2-5px+p2=0,所以 x1+x2= . 4 由抛物线定义得 AB=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x.
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(2)由 p=4,知 4x2-5px+p2=0 可化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2), 又 y2 3=8x3, 所以[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0,或 λ=2.

6.(2014· 辽宁)圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面 x2 y2 积最小时,切点为 P(如图).双曲线 C1: 2- 2=1 过点 P 且离心率为 3. a b (1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以 线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程. 解 (1)设切点 P 的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0), x0 x0 则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- (x-x0), y0 y0 1 4 4 8 即 x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S= · · = . 2 x0 y0 x0y0
2 由 x2 0+y0=4≥2x0y0 知当且仅当 x0=y0= 2时,x0y0 有最大值,即 S 有最小值,

因此点 P 的坐标为( 2, 2). 2 2 2 ? ? ?a2-b2=1, ?a =1, ? 由题意知? 解得 2 ?b =2, ? ?a2+b2=3a2, ? y2 故 C1 的方程为 x2- =1. 2 (2)由(1)知 C2 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), x2 y2 由此设 C2 的方程为 2+ 2=1,其中 b1>0. 3+b1 b1 2 2 由 P( 2, 2)在 C2 上,得 + 2=1, 3+b2 1 b1 x2 y2 解得 b2 1=3,因此 C2 的方程为 + =1. 6 3
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显然,l 不是直线 y=0. 设 l 的方程为 x=my+ 3,点 A(x1,y1),B(x2,y2),

? ?x=my+ 3, 由?x2 y2 得(m2+2)y2+2 3my-3=0, + = 1 , ? ?6 3
2 3m ? ?y +y =-m +2, 又设 y ,y 是方程的根,因此? 3 ? ?y y =-m +2, ②
1 2 2 1 2 1 2 2



由 x1=my1+ 3,x2=my2+ 3,得 4 3 ? ?x +x =m?y +y ?+2 3=m +2, ? 6-6m ?x x =m y y + 3m?y +y ?+3= m +2 . ?
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2

③ ④

→ → 因为AP=( 2-x1, 2-y1),BP=( 2-x2, 2-y2), → → 由题意知AP· BP=0, 所以 x1x2- 2(x1+x2)+y1y2- 2(y1+y2)+4=0,⑤ 将①②③④代入⑤整理得 2m2-2 6m+4 6-11=0, 3 6 6 解得 m= -1 或 m=- +1. 2 2 3 6 6 因此直线 l 的方程为 x-( -1)y- 3=0 或 x+( -1)y- 3=0. 2 2

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