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第二章平面向量单元测试(人教A版必修4)


必修四第二章平面向量单元测试
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.有下列四个表达式: ①|a+b|=|a|+|b|; ②|a-b|=± (|a|-|b|); ③a2>|a|2; ④|a· b|=|a|· |b|. 其中正确的个数为( A.0 B.2 ) C.3 D.4

解析:对于①仅当 a 与 b 同向时成立.对于②左边|a-b|≥0,而右边可能≤0,∴不成 立.对于③∵a2=|a|2, ∴a2>|a|2 不成立.对于④当 a⊥b 时不成立,综上知,四个式子都是错误的. 答案:A 2.下列命题中,正确的是( )

A.a=(-2,5)与 b=(4,-10)方向相同 B.a=(4,10)与 b=(-2,-5)方向相反 C.a=(-3,1)与 b=(-2,-5)方向相反 D.a=(2,4)与 b=(-3,1)的夹角为锐角 解析:在 B 中,a=(4,10)=-2(-2,-5)=-2b, ∴a 与 b 方向相反. 答案:B 3.某人先位移向量 a:“向东走 5 km”,接着再位移向量 b:“向西走 3 km”,则 a +b 表示( ) B.向西走 2 km D.向西走 8 km

A.向东走 2 km C.向东走 8 km 答案:A

1 4.已知向量 a=?8+2x,x?,b=(x+1,2),其中 x>0,若 a∥b,则 x 的值为( ? ? A.8 C.2 B.4 D.0

)

1 解析:∵a∥b,∴(8+ x)×2-x(x+1)=0,即 x2=16,又 x>0,∴x=4. 2

答案:B → → → 5.若AB=(2,4),AC=(1,3),则BC=( A.(1,1) C.(3,7) ) B.(-1,-1) D.(-3,-7)

→ → → 解析:BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1). 答案:B 6.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)· c=30,则 x=( A.6 C.4 B.5 D.3 )

解析:8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),c=(3,x), ∴(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=18+3x, 又(8a-b)· c=30,∴18+3x=30,x=4. 答案:C 7.向量 a=(-1,1),且 a 与 a+2b 方向相同,则 a· 的取值范围是( b A.(-1,1) C.(1,+∞) 解析:依题意可设 a+2b=λa(λ>0), 1 则 b= (λ-1)a, 2 1 1 ∴a· (λ-1)a2= (λ-1)×2=λ-1>-1. b= 2 2 答案:B 8.设单位向量 e1,e2 的夹角为 60° ,则向量 3e1+4e2 与向量 e1 的夹角的余弦值为( 3 A. 4 25 C. 37 5 B. 37 D. 5 37 ) B.(-1,+∞) D.(-∞,1) )

解析:∵(3e1+4e2)·1=3e12+4e1·2=3×12+4×1×1×cos60° e e =5,|3e1+4e2|2=9e12+ 16e22+24e1·2=9×12+16×12+24×1×1×cos60° e =37. ∴|3e1+4e2|= 37. 设 3e1+4e2 与 e1 的夹角为 θ,则 cosθ= 5 5 = . 37×1 37

答案:D 9.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 为线段 OD 的中点,AE 的延长线

→ → → 与 CD 交于点 F,若AC=a,BD=b,则AF=( 1 1 A. a+ b 4 2 1 1 C. a+ b 2 4 → → → 解析:如右图所示,AF=AD+DF,

)

2 1 B. a+ b 3 3 1 2 D. a+ b 3 3

由题意知,DE?BE=DF?BA=1?3. → 1→ ∴DF= AB. 3 2 1 → 1 1 11 1 ∴AF= a+ b+ ( a- b)= a+ b.故选 B. 2 2 32 2 3 3 答案:B 1 3 10.已知点 B 为线段 AC 的中点,且 A 点坐标为(-3,1),B 点坐标为?2,2?,则 C 点坐 ? ? 标为( ) 5 5 B.?-4,4? ? ? D.(-2,4)

A.(1,-3) C.(4,2) → → 解析:设 C(x,y),则由AB=BC得,

?1-?-3?,3-1?=?x-1,y-3?, 2 ? ? 2 2? ?2

?x-2=2, ∴? 3 1 ?y-2=2.
1 7 答案:C

?x=4, ? ?? ∴C(4,2). ? ?y=2.

→ → → → 11.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在 x 轴上一点 P,使AP· 有最小值,则点 P 的 BP 坐标为( ) B.(2,0) D.(4,0)

A.(-3,0) C.(3,0)

→ → → → → 解析:设OP=(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),∴AP· =(x-2)(x-4) BP → → -2×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1,∴当 x=3 时,AP· 有最小值 1,此时 P(3,0). BP 答案:C

12.下列命题中正确的个数是(

)

①若 a 与 b 为非零向量,且 a∥b,则 a+b 必与 a 或 b 的方向相同; ②若 e 为单位向量,且 a∥e,则 a=|a|e; ③a· a=|a|3; a· ④若 a 与 b 共线,又 b 与 c 共线,则 a 与 c 必共线; → → → → ⑤若平面内有四点 A、B、C、D,则必有AC+BD=BC+AD. A.1 C.3 B.2 D.4

→ → → → → → → 解析:易知①、②、③、④均错误,⑤正确,因为AC+BD=BC+AD,∴AC-AD=BC → → → -BD,即DC=DC,∴⑤正确. 答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.将答案填在题中横线上.) 13.已知 a=(2cosθ,2sinθ),b=(3, 3),且 a 与 b 共线,θ∈[0,2π),则 θ=________. 解析:由 a∥b 得 2 3cosθ=6sinθ,∵cosθ≠0,∴tanθ= π 7 答案: 或 π 6 6 14.假设|a|=2 5,b=(-1,3),若 a⊥b,则 a=________. 解析:设 a=(x,y),则有 x2+y2=20① 又 a⊥b,∴a· b=0,∴-x+3y=0② 由①②解得 x=3 2,y= 2,或 x=-3 2,y=- 2,∴a=(3 2, 2)或 a=(-3 2, - 2). 答案:(3 2, 2)或(-3 2,- 2) 15.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,那么 a· b=________.(其中 i,j 为夹角 90° 的 单位向量)
?a+b=2i-8j, ?a=-3i+4j, ? ? 解析:由? 得? ?a-b=-8i+16j, ?b=5i-12j. ? ?

3 π 7π ,又 θ∈[0,2π),∴θ= 或 . 3 6 6

∴a=(-3,4),b=(5,-12), ∴a· b=-3×5+4×(-12)=-63. 答案:-63 → 1→ 2→ → → 16.若等边△ABC 的边长为 2 3,平面内一点 M 满足CM= CB+ CA,则MA· = MB 6 3 ________. 解析:∵等边△ABC 的边长为 2 3,

∴如下图建立直角坐标系,

→ → ∴CB=( 3,-3),CA=(- 3,-3), 3 5 → 1→ 2→ ∴CM= CB+ CA=?- ,- ?. 6 3 2? ? 2 → → → ∴OM=OC+CM =(0,3)+?-

?

3 5? ? 3 1? ,- = - , . 2 2? ? 2 2?

3 1 ?3 3 1? → → ∴MA· =?- ,- ?· MB ,- 2 2? ? 2 2? ? 9 1 =- + =-2. 4 4 答案:-2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分)已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,c=3a+5b,d=ma-3b. (1)当 m 为何值时,c 与 d 垂直? (2)当 m 为何值时,c 与 d 共线? 解:(1)令 c· d=0,则(3a+5b)· (ma-3b)=0, 即 3m|a|2-15|b|2+(5m-9)a· b=0 29 解得 m= . 14 29 故当 m= 时,c⊥d. 14 (2)令 c=λd,则 3a+5b=λ(ma-3b) 即(3-λm)a+(5+3λ)b=0, ∵a,b 不共线,
?3-λm=0, ? ∴? 解得 ? ?5+3λ=0.

?λ=-3, ? 9 ?m=-5.
5

9 故当 m=- 时,c 与 d 共线. 5 18.(12 分)如图所示,在△ABC 中,∠C 为直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB

上的点,且 AE=2EB,求证:AD⊥CE.

证明:设此等腰直角三角形的直角边长为 a,则 → → → → → → AD· =(AC+CD)· +AE) CE (CA → → → → → → → → =AC· +CD· +AC· +CD· CA CA AE AE 2 2 2 a2 2 2 =-a2+0+a· a· + · a· 3 2 2 3 2 2 1 =-a2+ a2+ a2=0, 3 3 → → ∴AD⊥CE,∴AD⊥CE. 19.(12 分)已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高, → 求|AD|与点 D 的坐标. → 解:设 D 点坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1), → → BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2), → → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ,使BD=λBC, 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3)
?x-3=-6λ, ? ∴? ∴x-3=2(y-2). ? ?y-2=-3λ.

即 x-2y+1=0.① → → 又∵AD⊥BC,∴AD· =0, BC 即(x-2,y+1)· (-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0.②
? ?x=1, 由①②可得? ? ?y=1.

→ ∴|AD|= ?1-2?2+22= 5, → 即|AD|= 5,D(1,1).

→ → → → 20.(12 分)在直角坐标系中,已知OA=(4,-4),OB=(5,1),OB在OA方向上的射影数 → → 量为|OM|,求MB的坐标. 解:设点 M 的坐标为 M(x,y). → → → ∵OB在OA方向上的射影数量为|OM|, → → → → ∴OM⊥MB,∴OM· =0. MB → → 又OM=(x,y),MB=(5-x,1-y). ∴x(5-x)+y(1-y)=0. → → 又点 O、M、A 三点共线,∴OM∥OA, x y ∴ = . 4 -4

?x?5-x?+y?1-y?=0, ?x=2, ? ? ∴?x 解得? y ? ?y=-2. ?4=-4. ?
→ → → ∴MB=OB-OM=(5-2,1+2)=(3,3). → → → → 21. 分)在四边形 ABCD 中, =a, =b, =c, =d, a· (12 AB BC CD DA 且 b=b· c=c· d=d· a, 判断四边形的形状. 解:∵a+b+c+d=0, ∴(a+b)2=(c+d)2, ∴a2+2a· 2=c2+2c· 2. b+b d+d ∵a· b=c· d, ∴a2+b2=c2+d2.① 同理 a2+d2=b2+c2.② ①②两式相减得 b2-d2=d2-b2, ①②两式相加得 a2=c2, ∴|b|=|d|,|a|=|c|. ∴四边形 ABCD 是平行四边形, 又 a· b=b· c, ∴b· (a-c)=0. ∴b· 2a=0,即 a· b=0, ∴a⊥b, ∴四边形 ABCD 是矩形. 22.(12 分)已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

→ → (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余 弦值. 解:(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4). → → ∴AB=(1,1),AD=(-3,3). → → → → 又∵AB· =1×(-3)+1×3=0,∴AB⊥AD. AD → → (2)∵AB⊥AD,若四边形 ABCD 为矩形, → → 则AB=DC. 设 C 点的坐标为(x,y),则有 (1,1)=(x+1,y-4),
? ? ?x+1=1, ?x=0, ∴? ∴? ?y-4=1, ?y=5. ? ?

∴点 C 的坐标为(0,5). → → 由于AC=(-2,4),BD=(-4,2), → → → → ∴AC· =(-2)×(-4)+4×2=16,|AC|=2 5,|BD|=2 5. BD 设对角线 AC 与 BD 的夹角为 θ, → → AC· BD 16 4 则 cosθ= = = >0. → → 20 5 |AC||BD| 4 故矩形 ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为 . 5

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