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【全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学 第三章 第七节 正弦定理和余弦定理课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第三章 第七节 正弦定理和余 弦定理课时提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 1.(2013·珠海模拟)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 3 ,A=

? , 3

cosB=

5 ,则 b=( 5
(B)

)

(A)

8 5 5

2 5 5

(C)

4 5 5

(D)

12 5 5

2.在△ABC 中,若 b=2asin B,则 A 等于( ) (A)30°或 60° (B)45°或 60° (C)120°或 60° (D)30°或 150° 3.在△ABC 中, cos
2

B a?c ? (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( 2 2c

)

(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形或直角三角形 (D)等腰直角三角形 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 C=120°,c= 2 a,则( (A)a>b (C)a=b (B)a<b (D)a 与 b 的大小关系不能确定 )

5.若满足条件 C=60°,AB= 3 ,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是 ( ) (B)( 2 , 3 ) (D)(1,2)
2 2

(A)(1, 2 ) (C)( 3 ,2)

6.(2013·福州模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a -b = 3 bc,sinC=2 3 sinB,则 A= ( ) (B)60° (C)120° (D)150°

(A)30° 二、填空题

7.(2013·北京模拟)在△ABC 中,B=

? , AC=1,AB= 3 ,则 BC 的长为 6

. .

8.(2013· 山东师大附中模拟)在△ABC 中, sin A,sin B,sin C 依次成等比数列, 则 B 的取值范围是 9.(2013·哈尔滨模拟)在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若

-1-

CB CA ? cos C= ,
三、解答题

1 8

5 , a ? b ? 9, 则 c= 2

.

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (1)求角 C 的大小. (2)求 3 sinA-cos(B+

? )的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 4 1 . 4

11.(2013·山西大学附中模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cos A= (1)求 sin
2

B?C -cos 2A 的值. 2

(2)若 a= 3 ,求 bc 的最大值. 12.(能力挑战题)在△ABC 中,A,B,C 为三个内角,a,b,c 为三条边, (1)判断△ABC 的形状. (2)若| BA + BC |=2,求 BA · BC 的取值范围.

? ? b sin 2C ? . <C< 且 3 2 a ? b sin A ? sin 2C

答案解析 1.【解析】选 C.∵cosB=

5 , 5

∴sinB=

a b 2 5 = , ,∴ sin A sin B 5

a ? sin B ? 则b ? sin A

3?

2 5 5 ? 4 5. 5 3 2

2.【解析】选 D.由已知得 sin B=2sin Asin B, 又∵A,B 为△ABC 的内角, 故 sin B≠0,故 sin A= ∴A=30°或 150°.
-2-

1 , 2

3.【思路点拨】将等式利用倍角公式及正弦定理转化为角的关系,再将 sin A 化为 sin(B+C)展开可解. 【解析】选 B.由已知及正弦定理得 2sin Ccos =sin A+sin C, 即 sin C(1+cos B)=sin A+sin C, 故 sin Ccos B=sin A=sin(B+C), 即 sin Ccos B=sin Bcos C+cos Bsin C, 即 sin Bcos C=0. 又∵sin B≠0,故 cos C=0, ∴C=
2

B 2

? ,∴△ABC 为直角三角形. 2

【方法技巧】三角形形状判断技巧 三角形形状的判断问题是解三角形部分的一个重要题型,也是高考的热点问题,因而正确快速地判断是解 题的关键.其基本技巧就是利用正、余弦定理快速实现边角互化,常规是边化角,再利用三角恒等变换公 式结合三角形中角的关系正确判断三角形的形状. 4.【解析】选 A.∵C=120°,c= 2 a, ∴2a =a +b -2abcos 120°, ∴a =b +ab,∴ ( ) ?
2 2 2 2 2

b a

2

b ? 1 ? 0, a

b 5 ?1 ? ? < 1, ∴a>b. a 2
5.【解析】选 C.由正弦定理得:

AB BC ? , sin C sin A
∴a=2sinA. ∵C=60°,∴0°<A<120°. 又∵△ABC 有两个,如图所示: ∴asin 60°< 3 <a, 即 3 <a<2. 6.【思路点拨】由题目中已知等式的形式,利用正、余弦定理求解. 【解析】选 A.由 得 c=2 3 b,

b c ? 及 sinC=2 3 sinB, sin B sin C

∴cosA=

b2 ? c2 ? a 2 ? 3bc ? 2 3bc 3 ? ? . 2bc 2bc 2

∵A 为△ABC 的内角,∴A=30°.
-3-

7.【解析】由已知 B=

? ,AC=b=1,AB=c= 3 , 6 1 3 ? b c c sin B 2, ? ,得 sin C= ? sin B sin C b 1

∴sin C=

3 . 2

又 0<C<π ,

? 2? 或 . 3 3 ? ? b sin A ? 2; 若 C= ,则 A= ,此时 a ? 3 2 sin B 2? 2? ? ? 若 C= ,则 A=π - = , 3 3 6 6 ? 此时 A=B= ,故 a=b=1. 6
∴C= 答案:1 或 2 8.【解析】因为 sin A,sin B,sin C 依次成等比数列, 所以 sin Asin C=sin B,即 ac=b , 所以 cos B ?
2 2

a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? c2 ? ac a 2 ? c2 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2
? a 2 ? c2 1 2ac 1 1 ? ? ? ? , 所以 0<B≤ , 3 2ac 2 2ac 2 2 ? ]. 3

所以 cos B ?

即 B 的取值范围是(0, 答案:(0,

? ] 3 5 5 得 a·b·cos C= , 2 2
2 2

9.【解析】由 CB CA ? 即 a·b=20,

又 a+b=9,故 c =a +b -2abcos C=a +b =(a+b) 故 c=6. 答案:6
2

2

2

2

1 ab 4

9 2 9 ab=9 - ×20=36, 4 4

10.【解析】(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC. 因为 0<A<π ,所以 sinA>0. 从而 sinC=cosC.
-4-

又 sinC≠0,故 cosC≠0, 所以 tanC=1, ∵0<C<π ,∴C=

? . 4 3? -A, 4

(2)方法一:由(1)知,B= 于是 3 sinA-cos(B+

? )= 3 sinA-cos(π -A) 4 ? = 3 sinA+cosA=2sin(A+ ). 6 3? 因为 0<A< , 4 ? ? 11? ? ? ? ? 所以 <A+ < .从而当 A+ = ,即 A= 时,2sin(A+ )取最大值 2. 6 6 12 6 2 3 6 ? ? 5? 综上所述, 3 sinA-cos(B+ )的最大值为 2,此时 A= ,B= . 4 3 12 ? 方法二:由(1)知,A=π -(B+ ) 4 ? ? ? ? 于是 3 sinA-cos(B+ )= 3 sin(B+ )-cos(B+ )=2sin(B+ ). 4 4 4 12 3? ? ? 10? 因为 0<B< ,所以 <B+ < . 4 12 12 12 ? ? 5? ? 从而当 B+ = ,即 B= 时,2sin(B+ )取最大值 2. 12 2 12 12 ? ? 5? 综上所述, 3 sinA-cos(B+ )的最大值为 2,此时 A= ,B= . 4 3 12
【变式备选】在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 ,b= 2 , 1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 【解析】由 1+2cos(B+C)=0 和 B+C=π -A,得 1-2cosA=0,cosA=

1 3 ,sinA= . 2 2

由正弦定理,得 sinB=

bsin A 2 ? . a 2
? , 2

由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B<

从而 cosB= 1 ? sin 2 B = 由上述结果知

2 . 2

-5-

sinC=sin(A+B)=

2 3 1 ×( + ). 2 2 2 3 ?1 . 2

设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsinC= 11.【解析】(1) sin
2

B?C -cos 2A 2
2

1 2 1 = 2 1 = 2 3 = 2
=

[1-cos(B+C)]-(2cos A -1) (1+cos A)-(2cos A-1) (1+ .
2

1 1 )-( -1) 4 8

1 b2 ? c2 ? a 2 (2)∵ =cos A= , 4 2bc 1 2 2 2 2 bc=b +c -a ≥2bc-a , 2 2 2 ∴bc≤ a . 3
∴ 又∵a= 3 ,∴bc≤2. 当且仅当 b=c= 2 时,bc=2,故 bc 的最大值是 2. 12.【解析】(1)由

b sin 2C ? 及正弦定理有: a ? b sin A ? sin 2C

sinB=sin 2C,∴B=2C 或 B+2C=π . 若 B=2C,且 ∴

? ? <C< , 3 2

2 π <B<π ,B+C>π (舍). 3

∴B+2C=π ,则 A=C,∴△ABC 为等腰三角形. (2)∵| BA + BC |=2, ∴a +c +2ac·cosB=4, ∵a=c,∴cosB=
2 2

2 ? a2 ,而 cosB=-cos 2C, a2



1 2 4 <cosB<1,∴1<a < , 2 3
-6-

∴ BA · BC =2-a ,
2

故 BA · BC ∈(

2 ,1). 3

-7-


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