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2016届高考数学大一轮复习 第9章 第3节 变量间的相关关系、统计案例课时提升练 文 新人教版

课时提升练(五十)
一、选择题

变量间的相关关系、统计案例

1.(2014·东营二模)某商品的销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)存在线性相关关系, ^ 根据一组样本数据(xi, yi)(i=1,2, ?, n), 用最小二乘法建立的回归方程为y=-10x+200, 则下列结论正确的是( )

A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.若 r 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数,则 r=-10 C.当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件 D.当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件左右 ^ 【解析】 当销售价格为 10 元时,y=-10×10+200=100,即销售量为 100 件左右, 选 D. 【答案】 D 2.(2014·甘肃联合诊断)对具有线性相关关系的变量 x,y 有一组观测数据(xi,yi)(i ^ 1 =1,2,?,8),其回归直线方程是y= x+a,且 x1+x2+x3+?+x8=2(y1+y2+y3+?+ 3

y8)=6,则实数 a 的值是(
A. 1 16 1 B. 8

) 1 C. 4 1 D. 2

?3 3? 【解析】 依题意可知样本点的中心为? , ?, ?4 8?
3 1 3 1 则 = × +a,解得 a= . 8 3 4 8 【答案】 B 3.(2014·湖北高考)根据如下样本数据

x y

3 4.0

4 2.5

5 -0.5 )

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

^ 得到的回归方程为y=bx+a,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 【解析】 作出散点图如下:

B.a>0,b<0 D.a<0,b<0

1

2

^ ^ 观察图象可知,回归直线y=bx+a 的斜率 b<0,当 x=0 时,y=a>0.故 a>0,b<0. 【答案】 B 4.(2014·中山四校联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做 试验,并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 0.78 115 丙 0.69 124 ) 丁 0.85 103

r m

0.82 106

则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性( A.甲 C.丙 B.乙 D.丁

【解析】 由表知相关系数 r 的绝对值越接近于 1,线性相关性越强,残差平方和 m 越 小,拟合效果越好,故选丁,即 D 答案. 【答案】 D 5.(2014·江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量 的关系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最 大的变量是( ) 表1 成绩 性别 男 女 总计

不及格

及格

总计

6 10 16

14 22 36

20 32 52

表2 视力 性别 男 女 总计 好 4 12 16 差 16 20 36 总计 20 32 52

表3
3

智商 性别 男 女 总计

偏高 8 8 16

正常 12 24 36

总计 20 32 52

表4 阅读量 性别 男 女 总计 丰富 14 2 16 不丰富 6 30 36 总计 20 32 52

A.成绩 C.智商

B.视力 D.阅读量

【解析】 A 中,a=6,b=14,c=10,d=22,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+

d=36,n=52, K2=
52×?6×22-14×10? 13 = . 20×32×16×36 1 440
2

B 中,a=4,b=16,c=12,d=20,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n= 52,

K2=

52×?4×20-16×12? 637 = . 20×32×16×36 360

2

C 中,a=8,b=12,c=8,d=24,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n= 52,

K2=

52×?8×24-12×8? 13 = . 20×32×16×36 10

2

D 中,a=14,b=6,c=2,d=30,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n= 52,

K2=


52×?14×30-6×2? 3 757 = . 20×32×16×36 160

2

13 13 637 3 757 < < < , 1 440 10 360 160

∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量. 【答案】 D

4

6.设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些 样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图 9?3?6),以下结论正确的是( )

图 9?3?6 A.直线 l 过点( x , y ) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 【解析】 由样本中心( x , y )落在回归直线上可知 A 正确;x 和 y 的相关系数表示 x 与 y 之间的线性相关程度,不表示直线 l 的斜率,故 B 错;x 和 y 的相关系数应在-1 到 1 之间,故 C 错;分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均,无论样本点个数是奇数 还是偶数,故 D 错. 【答案】 A 二、填空题 7.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查 显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: ^

y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加
________万元. 【解析】 由题意知[0.254(x+1)+0.321]-(0.254x+0.321)=0.254. 【答案】 0.254 8.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 名学生,得到 如下 2×2 列联表: 理科 男 女
2 2

文科 10 20

13 7

已知 P(K ≥3.841)≈0.05,P(K ≥5.024)≈0.025. 50×?13×20-10×7? 根据表中数据,得到 k= ≈4.844. 23×27×20×30 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________.
5
2

【解析】 ∵k≈4.844,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理,应该断定 “是否选修文科与性别之间有关系”成立,并且这种判断出错的可能性约为 5%. 【答案】 5% 9.已知 x,y 之间的一组数据如下表:

x y

2 3

3 4

4 6

5 8

6 9

8 2 3 对于表中数据, 现给出如下拟合直线:①y=x+1; ②y=2x-1;③y= x- ;④y= x. 5 5 2 则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号). 【解析】 由题意知 x =4, y =6,
5

^ ∑i=1 ?xi- x ??yi- y ? 8 ∴b= = , 5 5 2 ∑i=1 ?xi- x ? ^ ^ ^ 8 2 2 ∴a= y -b x =- ,∴y= x- ,∴填③. 5 5 5 【答案】 ③ 三、解答题 10.某地区甲校高二年级有 1 100 人,乙校高二年级有 900 人,为了统计两个学校高二 年级在学业水平考试中的数学学科成绩, 采用分层抽样的方法在两校共抽取了 200 名学生的 数学成绩,如下表:(已知本次测试合格线是 50 分,两校合格率均为 100%) 甲校高二年级数学成绩: 分组 频数 [50,60) 10 [60,70) 25 [70,80) 35 [80,90) 30 [90,100]

x

乙校高二年级数学成绩: 分组 频数 [50,60) 15 [60,70) 30 [70,80) 25 [80,90) [90,100] 5

y

(1)计算 x,y 的值,并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到 1 分). (2)若数学成绩不低于 80 分为优秀,低于 80 分的为非优秀,根据以上统计数据写下面 2×2 列联表, 并回答能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“两个学校的数学成绩 有差异?” 甲校 优秀 非优秀 乙校 总计

6

总计 【解】 (1)依题意甲校应抽取 110 人,乙校应抽取 90 人, 故 x=10,y=15,估计甲校平均分为 55×10+65×25+75×35+85×30+95×10 ≈75, 110 乙校平均分为 55×15+65×30+75×25+85×15+95×5 ≈71. 90 (2)列 2×2 列联表如下: 甲校 优秀 非优秀 总计
2

乙校 20 70 90

总计 60 140 200

40 70 110

k=

200?40×70-20×70? ≈4.714, 110×90×60×140

又因为 4.714>3.841, 故能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“两个学校的数 学成绩有差异”. 11.(2014·郑州模拟)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下对 应数据:

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

^ 若广告费支出 x 与销售额 y 回归直线方程为y=6.5x+a(a∈R). (1)试预测当广告费支出为 12 万元时,销售额是多少? (2)在已有的五组数据中任意抽取两组,求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝 对值不超过 5 的概率. 【解】 (1)由题意得 x = 2+4+5+6+8 30+40+50+60+70 =5, y = =50, 5 5

^ 因为点(5,50)在回归直线上, 代入回归直线方程求得 a=17.5, 所求回归直线方程为y= 6.5x+17.5, ^ 当广告支出为 12 万元时,销售额y=6.5×12+17.5=95.5(万元). (2)实际值和预测值对应表为

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70
7

^

y

30.5

43.5

50

56.5

69.5

8

在已有的五组数据中任意抽取两组的基本事件(30,40),(30,60),(30,50),(30,70), (40,60),(40,50),(40,70),(60,50),(60,70),(50,70),共 10 个, 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过 5 的有(60,50),共 1 个, 所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率为 P=1- 1 9 = . 10 10

12.(2014·西宁模拟)延迟退休年龄的问题,近两年引发社会广泛关注,延迟退休年龄 似乎已是一种必然趋势, 然而反对的声音也随之而起. 现对我市工薪阶层关于“延迟退休年 龄”的态度进行调查,随机抽调了 50 人,他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”持 反对态度的人数如下表: 月收入(元) 频数 反对人数 [1 000, 2 000) 5 4 [2 000, 3 000) 10 8 [3 000, 4 000) 15 12 [4 000, 5 000) 10 5 [5 000, 6 000) 5 2 [6 000, 7 000] 5 1

(1)由以上统计数据填写下面的 2×2 列联表,问能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前 提下认为月收入以 5 000 为分界点的“延迟退休年龄”的态度有差异? 月收入不低于 5 000 元的人数 反对 赞成 合计 月收入低于 5 000 元的人数 合计

a= b=

c= d=

附:临界值表

k0 P(K2≥k0)

2.072 0.15

2.706 0.10

3.841 0.05
2

5.024 0.025

6.635 0.010

7.879 0.005

10.828 0.001

n?ad-bc? 2 参考公式:K = ,n=a+b+c+d ?a+b??c+d??a+c??b+d?
(2)求在[1 000,2 000)的被调查对象中随机选取两人进行追踪调查,选中的两人均对 “延迟退休年龄”持反对态度的概率. 【解】 (1)

月收入不低于 5 000 元的人数

月收入低于 5 000 元的人数

合计

反对

a=3

c=29

32
9

赞成 合计

b=7
10
2

d=11
40

18 50

n?ad-bc? 2 ∵K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?
= 50?33-203? ≈6.27<6.625, 10×40×32×18
2

∴不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为月收入为 5 000 为分界点的“延迟退 休年龄”的态度有差异. (2)在[1 000,2 000)中被调查对象有 5 人,不妨设为 A,B,C,D,E,其中 A,B,C,D 为反对,E 为赞成,则选取两人的可能性有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,

D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共有 10 种.
其中均对“延迟退休年龄”持反对态度的有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D), (C,D),共有 6 种. 所以在[1 000,2 000)的被调查对象中随机选取两人均对“延迟退休年龄”持反对态度的概 6 3 率为 = . 10 5

10


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