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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程课后知能检测 新人教A版选修4-4


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 2.2 圆锥曲线 的参数方程课后知能检测 新人教 A 版选修 4-4

(时间 40 分钟,满分 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.曲线 C:? 2 3 3 2

?x=3cos φ ?y= 5sin φ

,(φ 为参数)的离心率为( 3 5 5 3

)

A. C.

B. D.

【解析】 由题设,得 + =1, 9 5 ∴a =9,b =5,c =4,
2 2 2

x2 y2

c 2 因此 e= = . a 3
【答案】 A α α ? ?x=sin 2 +cos 2 2.参数方程? ? ?y= 2+sin α A.y -x =1 B.x -y =1 C.y -x =1(1≤y≤ 3) D.y -x =1(|x|≤ 2) 【解析】 因为 x =1+sin α ,所以 sin α =x -1. 又因为 y =2+sin α =2+(x -1), 所以 y -x =1. ∵-1≤sin α ≤1,y= 2+sin α , ∴1≤y≤ 3. ∴普通方程为 y -x =1,y∈[1, 3]. 【答案】 C
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,(α 为参数)的普通方程是(

)

?x=t ? 3.点 P(1,0)到曲线? ?y=2t ?

2

(参数 t∈R)上的点的最短距离为( B.1 D.2

)

A.0 C. 2
2 2 2 2 2

【解析】 d =(x-1) +y =(t -1) +4t =(t +1) , 由 t ≥0 得 d ≥1,故 dmin=1. 【答案】 B 4.已知曲线?
? ?x=3cos θ ?y=4sin θ ?
2 2

2

2

2

,(θ 为参数,0≤θ ≤π )上的一点 P,原点为 O,直线 PO

π 的倾斜角为 ,则 P 点的坐标是( 4 A.(3,4) C.(-3,-4)

) 3 2 B.( ,2 2) 2 12 12 D.( , ) 5 5

【解析】 由题意知,3cos θ =4sin θ , 3 3 4 ∴tan θ = ,又 0≤θ ≤π ,则 sin θ = ,cos θ = , 4 5 5 4 12 ∴x=3×cos θ =3× = , 5 5

y=4sin θ =4× = ,
12 12 因此点 P 的坐标为( , ). 5 5 【答案】 D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知椭圆的参数方程?
?x=2cos ? ? ?y=4sin

3 5

12 5

t t

π (t 为参数),点 M 在椭圆上,对应参数 t= , 3

点 O 为原点,则直线 OM 的斜率为________. π x=2cos =1, ? ? 3 由? π y=4sin =2 3. ? ? 3

【解析】

得点 M 的坐标为(1,2 3). 2 3 直线 OM 的斜率 k= =2 3. 1
2

【答案】 2 3 6.(2013·江西高考)设曲线 C 的参数方程为?
? ?x=t, ?y=t ?
2

(t 为参数),若以直角坐标系

的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________. 【解析】 ?
?x=t, ? ? ?y=t
2

化为普通方程为 y=x ,由于 ρ cos θ =x,ρ sin θ =y,所以
2 2 2

2

化为极坐标方程为 ρ sin θ =ρ cos θ ,即 ρ cos θ -sin θ =0. 【答案】 ρ cos θ -sin θ =0 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 1 2 7.(2013·平顶山质检)如图 2-2-3 所示,连接原点 O 和抛物线 y= x 上的动点 M, 2 延长 OM 到点 P,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明是什么曲线?
2

图 2-2-3 【解】 抛物线标准方程为 x =2y,其参数方程为? 设 P(x,y),则 M 是 OP 中点.
2

? ?x=2t, ?y=2t . ?
2

得 M(2t,2t ).

2

x+0 2t= , ? ? 2 ∴? y+0 ? ?2t = 2 ,
2

∴?

?x=4t ? ? ?y=4t
2

(t 为参数),

1 2 消去 t 得 y= x ,是以 y 轴对称轴,焦点为(0,1)的抛物线. 4 8.(2012·龙岩模拟)已知直线 l 的极坐标方程是 ρ cos θ +ρ sin θ -1=0.以极点 为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,椭圆 C 的参数方程 是?
? ?x=2cos θ ?y=sin θ ?

(θ 为参数),求直线 l 和椭圆 C 相交所成弦的弦长.

【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为:

x+y-1=0,



3

x2
4

+y =1,
2

2



①②联立,消去 y 得:5x -8x=0, 8 解得 x1=0,x2= . 5 设直线与椭圆交于 A、B 两点, 8 3 则 A、B 两点直角坐标分别为(0,1),( ,- ), 5 5 则|AB|= 3 8 2 8 2 2 ?- -1? +? ? = . 5 5 5

8 2 故所求的弦长为 . 5 9.(2013·漯河调研)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参 数方程为?

?x= 3cos α ?y=sin α

(α 为参数).

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x π 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2 (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. π 【解】 (1)把极坐标系下的点 P(4, )化为直角坐标,得点(0,4).因为点 P 的直角 2 坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( 3cos α ,sin α ),从而点 Q 到直线

l 的距离为 d=
| 3cos α -sin α +4| 2



π 2cos?α + ?+4 6 2

π π = 2cos(α + )+2 2,由此得,当 cos(α + )=-1 时,d 取得最小值,且最小值 6 6 为 2. 教师备选 10.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e= 3 3 ,已知点 P(0, )到这个 2 2

椭圆上的点的最远距离是 7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离等于 7的点的

4

坐标. 【解】 设椭圆的参数方程是?
?x=acos θ ? ?y=bsin θ ?

,其中,a>b>0,0≤θ <2π .

c2 a2-b2 b 2 b 1 2 由 e = 2= 2 =1-( ) 可得 = 1-e = 即 a=2b. a a a a 2
2

设椭圆上的点(x,y)到点 P 的距离为 d, 3 2 3 2 2 2 2 2 则 d =x +(y- ) =a cos θ +(bsin θ - ) 2 2 9 2 2 2 2 =a -(a -b )sin θ -3bsin θ + 4 9 2 2 2 =4b -3b sin θ -3bsin θ + 4 1 2 2 2 =-3b (sin θ + ) +4b +3, 2b 1 1 3 2 2 2 如果 >1 即 b< ,即当 sin θ =-1 时,d 有最大值,由题设得( 7) =(b+ ) ,由此 2b 2 2 3 1 1 得 b= 7- > ,与 b< 矛盾. 2 2 2 1 因此必有 ≤1 成立, 2b 1 2 于是当 sin θ =- 时,d 有最大值, 2b 由题设得( 7) =4b +3, 由此可得 b=1,a=2. 所求椭圆的参数方程是?
?x=2cos θ , ? ? ?y=sin θ .
2 2

1 3 1 1 由 sin θ =- ,cos θ =± 可得,椭圆上的点(- 3,- ),点( 3,- )到点 P 2 2 2 2 的距离都是 7.

5


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