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全国三角函数综合测试题(含答案)

全国三角函数综合测试题

学生:

用时:

分数

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 18 小题, 每小题 3 分,共 54 分)

1.(08 全国一 6)y ? (sin x ? cos x)2 ?1是

()

A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

2.(08

全国一

9)为得到函数

y

?

cos

? ??

x

?

π 3

? ??

的图象,只需将函数

y

?

sin

x

的图像(



A.向左平移 π 个长度单位 6
C.向左平移 5π 个长度单位 6

B.向右平移 π 个长度单位 6
D.向右平移 5π 个长度单位 6

3.(08 全国二 1)若 sin? ? 0 且 tan? ? 0是,则? 是

()

A.第一象限角

B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

4.(08 全国二 10).函数 f (x) ? sin x ? cosx 的最大值为

()

A.1

B. 2

C. 3

D.2

5.(08 安徽卷 8)函数 y ? sin(2x ? ? ) 图像的对称轴方程可能是 3

()

A. x ? ? ? 6

B. x ? ? ? 12

C. x ? ? 6

D. x ? ? 12

6.(08 福建卷 7)函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 ? 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象, 2

则 g(x)的解析式为

()

A.-sinx

B.sinx

C.-cosx

D.cosx

7.(08 广东卷 5)已知函数 f (x) ? (1? cos 2x) sin2 x, x ? R ,则 f (x) 是

A、最小正周期为? 的奇函数 C、最小正周期为? 的偶函数

B、最小正周期为 ? 的奇函数 2
D、最小正周期为 ? 的偶函数 2

8.(08 海南卷 11)函数 f (x) ? cos 2x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为

() ()

A. -3,1

B. -2,2

C. -3, 3 2

D. -2, 3 2

9.(08 湖北卷 7)将函数 y ? sin(x ?? ) 的图象 F 向右平移 ? 个单位长度得到图象 F′,若 3

F′的一条对称轴是直线 x ? ? , 则? 的一个可能取值是
1

()

A. 5 ? 12

B. ? 5 ? 12

C. 11? 12

D. ? 11? 12

10.(08

江西卷

6)函数

f

(x)

?

sin

sin x x ? 2sin

x



2

()

A.以 4? 为周期的偶函数

B.以 2? 为周期的奇函数

C.以 2? 为周期的偶函数

D.以 4? 为周期的奇函数

11.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g(x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两点,则

MN 的最大值为

()

A.1

B. 2

C. 3

D.2

12.(08

山东卷

10)已知

cos

? ??

?

?

π 6

? ??

?

sin

?

?

4 5

3

,则 sin

????

?

7π 6

? ??

的值是(



A. ? 2 3 5

B. 2 3 5

13.(08 陕西卷 1) sin 330? 等于

C. ? 4 5

D. 4 5
()

A. ? 3 2

B. ? 1 2

C. 1 2

14.(08 四川卷 4) ?tan x ? cot x?cos2 x ?

D. 3 2

()

A. tan x

B. sin x

C. cos x

D. cot x

15.(08 天津卷 6)把函数 y ? sin x(x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 ? 个单位长度, 3
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函 2

数是

()

A.

y

?

sin

? ??

2

x

?

? 3

???,x

?

R

B.

y

?

sin

? ??

x 2

?

? 6

???,x

?

R

C.

y

?

sin

? ??

2

x

?

? 3

???,x

?

R

D.

y

?

sin

? ??

2

x

?

?? 3

???,x

?

R

16.(08 天津卷 9)设 a ? sin 5? , b ? cos 2? , c ? tan 2? ,则

7

7

7

A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? c ? a D. b ? a ? c

()

17.(08 浙江卷 2)函数 y ? (sin x ? cos x)2 ?1的最小正周期是

()

A. ?

B. ?

2

C. 3? 2

D. 2?

18.(08 浙江卷 7)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos(x ? 3? )(x ?[0,2? ]) 的图象和 22

直线 y ? 1 的交点个数是 2

()

A.0

B.1

C.2

D.4

1-18 题答案:

1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A

11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C
二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分).

19.(08 北京卷 9)若角? 的终边经过点 P(1,? 2) ,则 tan 2? 的值为



20.(08

江苏卷

1)f

?

x?

?

cos

? ??

?

x

?

? 6

? ??

的最小正周期为

? 5

,其中 ?

?

0

,则 ?

=



21.(08

辽宁卷

16)设

x

?

? ??

0,? 2

? ??

,则函数

y

?

2sin2 x ?1 sin 2x

的最小值为



22.(08 浙江卷 12)若 sin(? ??) ? 3 ,则 cos 2? ? _________。

2

5

23.(08 上海卷 6)函数 f(x)= 3sin x +sin(?2+x)的最大值是

19-23 题答案:

19. 4

20. 10 21. 3

22. ? 7

23.2

3

25

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 8 小题,共 81 分)

24. (08 四川卷 17)求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4 cos2 x ? 4 cos4 x 的最大值与最小值。

24. 解: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4 cos2 x ? 4 cos4 x
? ? ? 7 ? 2sin 2x ? 4cos2 x 1? cos2 x

? 7 ? 2sin 2x ? 4cos2 xsin2 x

? 7 ? 2sin 2x ? sin2 2x

? ?1? sin 2x?2 ? 6

由于函数 z ? ?u ?1?2 ? 6 在??1,1? 中的最大值为

zmax ? ??1?1?2 ? 6 ? 10
最小值为
zmin ? ?1?1?2 ? 6 ? 6

故当 sin 2x ? ?1时 y 取得最大值10 ,当 sin 2x ?1时 y 取得最小值 6

【点评】:此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】:利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关 键;

25. (08 北京卷 15)已知函数 f (x) ? sin2 ? x ?

3

sin

?x sin

? ??

?x

?

π 2

? ??

(?

?

0

)的最小

正周期为

π

.(Ⅰ)求 ?

的值;(Ⅱ)求函数

f

(x)

在区间

???0,23π

? ??

上的取值范围.

25. 解:(Ⅰ) f (x) ? 1? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 3 sin 2?x ? 1 cos 2?x ? 1

2

2

2

2

2

?

sin

? ??

2?

x

?

π 6

? ??

?

1 2



因为函数 f (x) 的最小正周期为 π ,且? ? 0 ,

所以 2π ? π ,解得? ? 1. 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

f

(x)

?

sin

???2 x

?

π 6

? ??

?

1 2



因为 0≤ x ≤ 2π ,
3

所以 ? π ≤ 2x ? π ≤ 7π ,

6

66

所以

?

1 2



sin

? ??

2

x

?

π 6

? ??

≤1,

因此

0



sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

?

1 2



3 2

,即

f

(x)

的取值范围为

???0,32

? ??



26. (08 天津卷 17)已知函数 f (x) ? 2 cos2 ?x ? 2sin ?x cos?x ?1( x ? R,? ? 0 )的

最小值正周期是 ? . (Ⅰ)求 ? 的值; 2 (Ⅱ)求函数 f (x) 的最大值,并且求使 f (x) 取得最大值的 x 的集合.

26. 解:

f ?x? ? 2 ? 1 ? cos2?x ? sin 2?x ? 1
2 ? sin 2?x ? cos2?x ? 2

? 2??sin 2?x cos? ? cos2?x sin ? ?? ? 2

?

4

4?

? 2 sin?? 2?x ? ? ?? ? 2

?

4?

由题设,函数 f ?x? 的最小正周期是 ? ,可得 2? ? ? ,所以? ? 2 .

2

2? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x? ? 2 sin?? 4x ? ? ?? ? 2 .
? 4?

当 4x ? ? ? ? ? 2k? ,即 x ? ? ? k? ?k ? Z ?时,sin?? 4x ? ? ?? 取得最大值 1,所以函数

42

16 2

? 4?

f ?x? 的最大值是 2 ?

2

,此时

x

的集合为

??x ?

|

x

?

? 16

?

k? 2

,

k

?

Z

? ? ?

27. (08 安徽卷 17)已知函数 f (x) ? cos(2x ? ? ) ? 2sin(x ? ? )sin(x ? ? )

3

4

4

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期和图象的对称轴方程

(Ⅱ)求函数 f (x) 在区间[? ? , ? ] 上的值域 12 2

27. 解:(1) f (x) ? cos(2x ? ? ) ? 2sin(x ? ? )sin(x ? ? )

3

4

4

? 1 cos 2x ? 3 sin 2x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x)

2

2

? 1 cos 2x ? 3 sin 2x ? sin2 x ? cos2 x

2

2

? 1 cos 2x ? 3 sin 2x ? cos 2x

2

2

? sin(2x ? ? ) 6

∴周期T ? 2? ? ? 2

(2)

x ?[?

?

? ,

],?2x ? ?

?[? ?

, 5? ]

12 2

6 36

因为 f (x) ? sin(2x ? ? ) 在区间[? ? , ? ] 上单调递增,在区间[? , ? ] 上单调递减,

6

12 3

32

所以 当 x ? ? 时, f (x) 取最大值 1 3



f (? ? ) ? ?

3

?

f

? (

)

?

1

,∴当

x

?

?

?

时, f (x) 取最小值 ?

3

12

2

22

12

2

所以 函数 f (x) 在区间[? ? , ? ] 上的值域为[? 3 ,1]

12 2

2

28. (08 陕西卷 17)已知函数 f (x) ? 2sin x cos x ? 2 3 sin2 x ? 3 .

44

4

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期及最值;

(Ⅱ)令 g(x) ?

f

? ??

x

?

π 3

? ??

,判断函数

g(x)

的奇偶性,并说明理由.

28. 解:(Ⅰ)

f (x) ? sin x ? 2

3 cos

x 2

?

2

sin

? ??

x 2

?

π 3

? ??



?

f

(x) 的最小正周期T

?

2π 1

?





2



sin

? ??

x 2

?

π 3

? ??

?

?1时,

f

(x)

取得最小值

?2 ;当

sin

? ??

x 2

?

π 3

? ??

?1

时,

f

(x)

取得最大值

2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f

(

x)

?

2

sin

? ??

x 2

?

π 3

? ??

.又

g

(x)

?

f

? ??

x

?

π 3

? ??



?

g(x)

?

2 sin

?1 ?

? ?

2

??

x?

π 3

? ??

?

π?

3

? ?

?

2sin

? ??

x 2

?

π 2

? ??

?

2 cos

x 2



g

(?x)

?

2

cos

? ??

?

x 2

? ??

?

2

cos

x 2

?

g(

x)



?函数 g(x) 是偶函数.
29. 在△ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 sin B(tan A ? tan C) ? tan Atan C . (Ⅰ)求证: a,b,c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ?1,c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

解:(I)由已知得: sin B(sin AcosC ? cos Asin C) ? sin Asin C ,

sin Bsin(A ? C) ? sin Asin C ,

sin2 B ? sin Asin C , 再由正弦定理可得: b2 ? ac , 所以 a,b,c 成等比数列.

(II)若 a ?1,c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 ,

∴ cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 3 ,

2ac

4

sin C ? 1? cos2 C ? 7 , 4

∴△ ABC 的面积 S ? 1 acsin B ? 1 ?1? 2 ? 7 ? 7 .

2

2

44

30. 函数 f (x) ? Asin(?x ? ? ) ?1( A ? 0,? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之 6
间的距离为 ? , 2

(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)设? ? (0, ? ) ,则 f (? ) ? 2 ,求? 的值

2

2

解:(1) A ?1 ? 3,? A ? 2,又 函数图象相邻对称轴间的距离为半个周期,

? T ? ? .T ? ? .?? ? 2? ? 2,? f (x) ? 2sin(2x ? ? ) ?1.

22

T

6

(2) f (? ) ? 2sin(? ? ? ) ?1 ? 2,?sin(? ? ? ) ? 1 ,

2

6

62

0 ? ? ? ? ,?? ? ? ? ? ? ? ? ,?? ? ? ? ? ,?? ? ? .

26

63

66

3

31.已知函数 f (x) ? cos2 x ? sin x cos x ? 1 . 2 2 22
(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期和值域;

(Ⅱ)若 f (? ) ? 3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

(1)由已知,f(x)= cos2 x ? sin x cos x ? 1 2 2 22

? 1(1? cosx)? 1 sinx ? 1

2

2

2

? 2 cos(x ? ? )

2

4

? 所以 f(x)的最小正周期为 2? ,值域为 ??
?

2 2

, ,2 2

? ? ??

(2)由(1)知,f(? )= 2 cos(? ? ? )? 3 2 ,

2

4 10

所以 cos(? ? ? ? 3 ). 45

所以 sin2? ? ?cos(? ? 2?)? ?cos(2 ? ? ? )

2

4

? 1? 2cos(2 ? ? ? )? 1? 18 ? 7 ,

4

25 25