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广东省高州市南塘中学2011届高三11月月考(数学文


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广东省高州市南塘中学 2011 届高三年级 11 月月考 数 学 试 题(文)
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) . 1. 若集合 M={ x |-3<x<1, x∈R }, N={ x |-1≤x≤2, x∈Z }, 则 M∩N= ( ) A.{0} B.{-1,0} C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0, 1,2}
2 2.命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是 2 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 2 C.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1 2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1 2 D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1





3.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



4.已知向量 a, b 不共线, c ? ka ? b , d ? a ? b ,如果 c ∥ d ,那么 A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 3π 3 5.sin( -x)= ,则 cos2x 的值为 2 5 A.7 25 14 B. 25 C.16 25 19 D. 25

? ?

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B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 ( )

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6.在△ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 7.若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则
2









A. a ? 1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ?1
2

B. a ? ?1, b ? 1 D. a ? ?1, b ? ?1 ( )

8.已知 f(x)=lg( x +1-ax)是一个奇函数,则实数 a 的值是 A.1 B.-1 C.10 D.±1

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9.已知函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可能为





x π A.f(x)=2sin( + ) 2 6
π B.f(x)= 2sin(4x+ ) 4

x π C.f(x)=2sin( - ) 2 6
π D.f(x)= 2sin(4x- ) 4 10.设 a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ) ,定义一种向量积:a ? b =(a1b1,a2b2) .已知点 P(? ,sin ? ) ,

?

?

?

?

? ? ??? ? ?? ??? ?? 1? ? ?π 点 Q 在 y=f (x) 的图象上运动, 满足 OQ = m ? OP + n (其 n =? 3 ,0? m =? ?2,2?, ?, ? ? ? ?
中 O 为坐标原点) ,则 y=f(x)的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 A.2,π B.2,4π 1 C. ,4π 2 1 D. ,π 2 ( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) . 11.函数 y ?

log 1 (3 x ? 2) 的定义域是________________
2

? ? ? ? 12.已知 a =(3,2) ,b(-1,2) , ( a +λ b )⊥ b ,则实数 λ =________.
13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=60°,C=75°,a=4, 则 b=________. 14.一元二次方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0,(a ? 0) 有一个正根和一个负根的充要条件是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) . 15. (满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a,b,c, 设 S 为△ ABC 的面积,满足

S?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。

16. (满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan ? sin x( x ? R) 的值域。

?
2

).

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17.(分 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 。 2 a b 3

(1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆

x2 ? y 2 ? 5 上,求 m 的值.

18. (满分 14 分) 如图,扇形 AOB 中, ?AOB ? 60? , OA ? 2 ,在弧 AB 上有一动点 P ,过 P 作 PC ∥OB 交 OA 于 C ,设 ?AOP ? ? , (1)求 ?CPO, ?OCP 及 OC 的长(可用 ? 表示); (2)求 ?POC 面积的最大值及此时 ? 的值。

A C P

θ

O

B

19. (满分 14 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑 物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系: C(x)=

k (0 ? x ? 10), 若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f ( x) 为隔 3x ? 5

热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 (1)求 k 的值及 f ( x ) 的表达式。 (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x ) 达到最小,并求最小值。

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20. (满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) ( x ? 0) x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 0 ? a ?

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性 2

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参考答案 一、选择题 1.B 解析:因为集合 N={-1,0,1,2},所以 M∩N={-1,0}. 2.D 3.B 4.D 解析:∵ c ∥ d 且 a, b 不共线,∴存在唯一实数 λ 使 c ? ? d ,∴ ka ? b ? ? a ? ?b ,
? ?k=λ , ∴? ?1=-λ , ? ? ?k=-1, ∴? ?λ =-1. ?

?

? ?

? ?

?

? ?

? ?

?

?

故选 D.

5.A π π π π π 6.C 解析:cosA=sin( -A)>sinB, -A,B 都是锐角,则 -A>B,A+B< ,C> . 2 2 2 2 2 7.A 解析:∵

y? ? 2x ? a

x?0

?a

,∴ a ? 1 , (0, b) 在切线 x ? y ? 1 ? 0 ,∴ b ? 1
2 2

8.D 解析:据题意知:f(x)+f(-x)=lg( x +1-ax)+lg( x +1+ax)=0, 2 2 2 2 2 2 2 即 lg[( x +1) -(ax) ]=lg[(1-a )x +1]=0,即(1-a )x =0,而 x 不恒为 0, 2 则必有 1-a =0?a=±1,代入检验,函数定义域均关于原点对称. 9.A 解析:设函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) ,由函数的最大值为 2 知 A=2,又由函数图象知 5π 2π 1 π 该函数的周期 T=4?( - )=4π ,所以 ω = ,将点(0,1)代入得 φ = ,所 3 3 2 6 1 π 以 f(x)=2sin( x+ ) . 2 6 10.C 解析:设 Q(x ,y ) , OQ =(x ,y ) , OP = (? ,sin ? ) ,∵ OQ = m ? OP + n

??? ?

??? ?

??? ?

??

??? ?

?

1 ? 1? ?π ? ?π ? ∴(x ,y )=?2, ? ? (? ,sin ? ) +? ,0?= (2? , sin ? ) +? ,0?= 3 ? 2? ?3 ? ? ? 2 (2? ?

? 1

, sin ? ) , 3 2

? ? x ? 2? ? ? 1 x ? 1 ? 3 ?? ? y ? sin( ? ) ,所以最大值为 ,周期为 4π . 2 2 2 6 ? y ? 1 sin ? ? ? 2
二、填空题 11. ( ,1]

? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 12.∵( a +λ b )⊥ b ,∴( a +λ b )? b = a ? b +λ b =1+5λ =0,∴λ =- . 5
a b 4 b 13.易知 A=45°,由正弦定理 = 得 = ,解得 b=2 6. sinA sinB sin45° sin60°
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2 3

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14.a<0 三、解答题 15.解: (1)由题意可知, S ?

1 3 ? ab sin C ? ? 2ab cos C ? tan C ? 3 ? C ? ; 2 4 3

sin A ? sin B ? sin A ? sin(? ? C ? A) ? sin A ? sin( 2? ? A) (2) 3 ? sin A ? 3 cos A ? 1 sin A ? 3sin( A ? ? ) ? 3 2 2 6
当△ABC 为等边三角形的时候 sin A ? sin B 取得最大值

3。

16.解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

2 5 5 , , cos? ? ? 5 5

又 ? ? (0,

?
2

) ,∴ sin ? ?

2 5 5 . , cos? ? 5 5
2

(2) f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) ?
2

1 2

3 2

? x ? R,?sin x ?[?1,1] ,当 sin x ?
值 ?3 。所以,值域为 [ ?3, ]

1 3 1 , f ( x) 有最小 , f ( x ) 有最大值 ;当 sin x ? ? 2 2

3 2

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 ,∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 , 17. (1)由题意,得 ? c ?c ? 3 ? ?a
∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 2

(2)设 A.B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2
2

2 2 2 ∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 5 上,∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 .

18.解: (1)? CP // OB,??CPO ? ?POB ? 60? ? ? ,??OCP ? 120? ,
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?OPC 中,

OC OP 2sin(60? ? ? ) 4 ,?OC ? ? ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? ) sin120? sin120? 3

(2) S ?

1 1 4 4 OC ? OP ? sin ? ? ? sin(60? ? ? ) ? 2sin ? ? sin ? sin(60? ? ? ) 2 2 3 3

? ?

4 3 1 2 1 1 sin ? ( cos ? ? sin ? ) ? 2sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin 2? ? cos 2? ? 2 2 3 3 3 3 2 3 1 1 2 1 2 1 ( sin 2? ? cos 2? ) ? ? sin(2? ? 30?) ? (或 ? cos(2? ? 60?) ? ) 2 3 2 3 3 3 3 3

因此,当 2? ? 30? ? 90? ,即 ? ? 30? 时, Smax ?

2 1 3 ? ? 3 3 3
k . 3x ? 5

19.解: (1)设隔热层厚度为 x(cm) ,由题设,每年能源消耗费用为 C ( x) ? 再由 C (0) ? 8 ,得 k ? 40 , 因此 C ( x) ?

40 ,而建造费用为 C1 ( x) ? 6 x 3x ? 5

最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

f ( x) ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?
(2) f '( x) ? 6 ? 去) .

40 800 ? 6x ? ? 6 x(0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5

25 2400 2400 ) ?0 ,即 ? 6 .解得 x ? 5 , x ? ? (舍 ,令 f '( x 2 2 3 (3x ? 5) (3x ? 5)

当 0 ? x ? 5 时, f '( x) ? 0 , 当 5 ? x ? 10 时, f '( x) ? 0 , 故 x ? 5 是 f ( x ) 的最小 值点,对应的最小值为 f (5) ? 6 ? 5 ? 达到最小值 70 万元。 20 . 解: ( 1 )当 a ? ?1 时 , f ( x) ? ln x ? x ?

800 ? 70 。即当隔热层修建 5cm 厚时, 总费用 15 ? 5 2 ? 1 (x ? 0) ? 2 ,则 f (2) ? ln 2 ,又 x

f '( x) ?

1 2 x2 ? x ? 2 ?1? 2 ? ) 的切线斜率为 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 2 ,f ( 2 ) 处 x x x2

f '(2) ? 1,因此,切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2 ,即 y ? x ? ln 2
( 2 ) f '( x) ?

1 1 ? a ?ax 2 ? x ? a ? 1 ?a? 2 ? ( x ? 0) , 设 g ( x) ? ? a 2 x ? x? a? 1, 2 x x x

( x ? 0) ,则 f '( x)与g ( x) 符号相同。
①若 a ? 0 , g ( x) ? x ? 1, x ? 0 ,

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当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ? f '( x) ? 0 ? f ( x)在(1, ??) 上单调递增; 当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ? f '( x) ? 0 ? f ( x)在(0,1] 上单调递减。 ②若 a ? 0 ,则 f '( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ,
2 即 ?ax ? x ? a ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ? 1。 a

当a ?

1 时, x1 ? x2 ? 1, g ( x) ? 0 恒成立, 2

即 f '( x) ? 0 恒成立,因此 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减; 当0 ? a ?

1 1 时, ? 1 ? 1 。可列表如下: 2 a

x
f '( x)(与 g ( x) 符号
一致)

(0,1)

1 (1, ? 1) a

1 ( ? 1, ?? ) a

?


?


?


f ( x)

综上所述:当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 单调递增;

1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减; 2 1 1 1 当 0 ? a ? 时, f ( x ) 在 (0,1) 和 ( ? 1, ?? ) 上单调递减,在 (1, ? 1) 上单调递增。 2 a a
当a ?

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