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2013届高三数学上册第一次月考试题1


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2012-2013 学年度高三第一次月考试卷

数学(理科)
考试范围:集合与简易逻辑、函数;考试时间:120 分钟;命题人:古交一中数学组

注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆 ?
? x ? 3 cos ? ? y ? 5 sin ?
3 5
(? 是参数 ) 的离心率是(



A.

B.

4 5

C.

9 25

D.

16 25

2.直线 ?

?x ?1? t ?y ?1? t

( t 为参数)的倾斜角的大小为(
? 4 ? 2


3? 4

A. ?

? 4

B.

C.

D.

3.已知点 P 的极坐标是 (1, ? ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( A. ? ? 1 B. ? ? cos ?
2 2

) 。
1 cos ?

C. ? ? ?

1 cos ?

D. ? ?

4.已知圆的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 .在以原点为极点, x 轴正半轴为极轴的 极坐标系中,该圆的方程为( A. ? ? 2 co s ? B. ? ? 2 sin ? ) C. ? ? ? 2 co s ? ) D. D. ? ? ? 2 sin ?

5.不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 1 0 的解集是( A.[-5,7] B.[-4,6] C.

? ?? , ?5? ? ?7, ?? ?

? ?? , ? 4 ? ? ?6, ?? ?

6.在同一坐标系中,将曲线 y ? 2 sin 3 x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是( )
?x ? 3x' ? A ? 1 ' y ?y ? 2 ?
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?x ' ? 3x ? B ? 1 ' y ?y ? 2 ?

?x ? 3x' ? C ? ?y ? 2y' ?

?x ' ? 3x ? D ? ?y' ? 2y ?

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7.以平面直角坐标系的原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线
?x ? ? ? ?x ? ? 7 cos ? 7 s in ?

( ? 为参数, ? ? R )上的点到曲线 ? co s ? ? ? sin ? ? 4 ( ? , ? ? R ) 的最 ) B.2 2 - 7 C.1 D.2 2 )

短距离是( A.0

8.若不等式|ax+2|<4 的解集为(-1,3),则实数 a 等于( A.8 B.2 C.-4 D.-2 9.在直角坐标系 x O y 中,直线 l 的参数方程为 ?
? x ? t, ?y ? 4?t

( t 为参数) .以原点 O 为极点,以
? 4

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4

2 s in (? ?

) ,则直

线 l 和曲线 C 的公共点有( A. 0 个 B. 1 个

) C. 2 个 D.无数个

10.已知过曲线
角为
?
4

?

x ? 3 co s? y ? 4 sin ?

?? 为 参 数 , 0
)

? ? ? ?

? 上一点 P 与原点 O 的直线 PO 的倾斜

,则 P 点坐标是(

A. (

3 2 2

,2 2 )

B. ( ?

12 5

,?

12 5

)

C. ? (

3 2 2

,? 2 2 ) D.( 1 2
5

,

12 5

)

11.函数 y =

x + 5x + 15 x ? 2

2

(x ≥0) 的最小值为(

)

A. 6

B. 7

C. 7
2

D. 9 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( )

12.不等式 | x + 3 | + | x -1 | ≥a - 3a

A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[-2,5] D.(-∞,-1]∪[4,+∞)

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.对于实数 x, y ,若
x ? 1, y ? 1 x? 2y

,则

的最大值为
y x



14 . 已知点 P ( x,y )在曲线 ? 为
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? x ? ? 2 ? cos ? ? y ? s in ?

( ? 为参数) ,上,则

的取值范围


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15 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 下 , 曲 线 C 1 :

? x ? 2t ? 2 a ( t 为参数) 曲线 , ? ? y ? ?t

? x ? 2 cos ? C2 : ? ( ? 为参数).若曲线 C 1 、 C 2 有公共点,则实数 a 的取值 ? y ? 2 ? 2 s in ?

范围____________.
a ? x ?1 ? x ? 2 16 . 若 关 于 x 的 不 等 式 存在实数解,则实数 a 的取值范围



.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 设不等式
2 x - 1 <1

的解集为 M.

(I)求集合 M; (II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 18.(本小题满分 12 分)已知曲线 C1 的参数方程是 ?
? x ? 2 cos ? ? y ? 3 sin ?

(φ 为参数),以坐标

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2.正 三角形 ABC 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, π ) 3 (Ⅰ)求点 A、B、C 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| + |PB| + |PC| 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =| x - 2 | - | x - 5 | . (I)证明:-3≤ f ( x ) ≤3; (II)求不等式 f ( x ) ? x - 8x + 15 的解集.
2

2

2

2

20. (本小题满分 12 分) 在极坐标系中,过曲线 L : ? sin ? ? 2 a cos ? ( a ? 0 )
2

外 的 一 点 A(2 5 ,? ? ? )
? ? ?
4 (? ? R)

? ( 其 中 t a n ? 2,? 为 锐 角 ) 作 平 行 于

的直线 l 与曲线分别交于 B , C .

(1)写出曲线 L 和直线 l 的普通方程(以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建系);
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(2) 若 | AB |, | BC |, | AC | 成等比数列,求 a 的值.

21. (本小题满分 12 分) 在气象台 A 正南方向 200 千米处有一台风中心,它以每 小时 20 千米的速度向北偏东 45 方向移动, 距台风中心 160 千米以内的地方 都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后,气象台 A 所在地将遭受台 风影响?持续多长时间?(注: 14 ? 3 . 74 , 2 ? 1 . 41 )
?

22.(本小题满分 12 分) 已知:函数
(I)求不等式 f ( x ) ? 2 的解集

f (x) ? x ? 1 ? x ? 2

(II)对于任意的实数 a ( a ? 0 ) 和 b,不等式 a ? b ? a ? b ? a f (x) 恒成 立,求实数 x 的取值范围。

2012-2013 学年度 8 月份月考答案理科
一、选择题(60 分) 。 1 2 3 答案 B D C 二、填空题(20 分) 。 13.3 14.
[? 3 3

题号

4 B

5 D

6 B

7 B

8 D

9 B

10 D

11 B

12 A

,

3 3

]

15. 三、简答题(70 分) 。

16.

? ? ? , ? 3 ? ? ? 3, ? ? ?

17. (10 分)解: (I)由 | 2 x ? 1 |? 1得 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 1, 解 得 0 ? x ? 1 .
所以 M ? { x | 0 ? x ? 1} . (II)由(I)和 a , b ? M 可 知 0 < a < 1 , 0 < b < 1 ,
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所以 ( a b ? 1) ? ( a ? b ) ? ( a ? 1)( b ? 1) ? 0 . 故 a b ? 1 ? a ? b .
?
3

18.由已知可得: A(2cos

, sin 2

?
3

)

B(2cos(

?
3

?

2? 3

),2 sin (

?
3

?

2? 3

))



C(2cos(

?
3

?

4? 3

),2 sin (

?
3

?

4? 3

))

即: A( 1,

3)

B( ? 2 , ) , C( 1,? 3 ) 0

(2) 设 P(2cos ? ,3 S= 12cos 2 ? 因为 0 19. 解: (I)
? sin

sin ? ) ,令
2

S=|

PA |

2

? | PB |

2

? | PC |

2

,则

? 27 sin
2

? ? 12

=15 sin 2 ? +24

39 ? ? 1 ,所以 S 的取值范围是:[ 24 , ]

? ? 3, ? f ( x ) ? | x ? 2 | ? | x ? 5 |? ? 2 x ? 7 , ? 3, ?

x ? 2, 2 ? x ? 5, x ? 5.

当 2 ? x ? 5时 , ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 . (II)由(I)可知,

所以 ? 3 ? f ( x ) ? 3 .

………………6 分

当 x ? 2时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5 的解集为空集;
2
2 当 2 ? x ? 5时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ?

3 ? x ? 5}



当 x ? 5时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ? x ? 6} .
2
2 综上,不等式 f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ?

3 ? x ? 6} .

…………12 分

20. ⑴ y

2

? 2 ax , y ? x ? 2

? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 ? 2 ? y ? ?4 ? t 2 ? 2 ( t 为参数),代入 y ? 2 ax 得到 (2)直线 l 的参数方程为 ?
t
2

?2

2 ( 4 ? a )t ? 8 ( 4 ? a ) ? 0
2

,则有 t 1 ? t 2 ? 2 2 ( 4 ? a ), t 1 ? t 2 ? 8 ( 4 ? a )
2 2

因为 | BC | ? | AB |, | AC | ,所以 ( t 1 ? t 2 ) ? ( t 1 ? t 2 ) ? 4 t 1 ? t 2 ? t 1 ? t 2
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解得 a ? 1

21.解:解:如图,以气象台为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向,建立直角坐标系,则现 在台风中心 B 1 的坐标为(0,-200) 。根据题意,可知,t 小时后, B 的坐标为( 20 t cos 45 ? ,
? 200 ? 20 t sin 45 ? ) ,即( 10

2 t , ? 200 ? 10

2t ) ,因为以台风中心为圆心,以 160 千

米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以 B 在圆上或圆内时,气象台将受台风影 响。 所以令 | AB |? 160 ,即 (10
2 t ) ? ( ? 200 ? 10
2

2t )

2

? 160
10

2

整理得 t ? 10
2

2 t ? 36 ? 0 解得

10

2 ? 2 14 2

? t ?

2 ? 2 14 2

, 2 . 31 ? t ? 10 . 79

故大约 2 . 31 小时后,气象台 A 所在地将遭受台风影响,大约持续 8 . 48 个小时。 22. (1)[
1 5 , ] 2 2 1 5 , ] (提示:|2a|=| (a+b)+(a-b)| ? | a+b|+|a-b|) 2 2

(2)[

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