kl800.com省心范文网

矩阵运算法则


矩阵的 转置、乘法(初等变换)、逆

内容提要
? ? ? ? ? 矩阵的下列运算的性质与应用 乘法 转置 初等变换 逆

乘法
定义
设矩阵 A ? ?aij ?m?n , B ? ?bij ?s?n ,那么


?c ?

矩阵A与矩阵 B的乘积是一个 m ? n矩阵 C ?
ij m?n

,其中 cij ? ai 1b1 j ? ai 2b2 j ? ? ? ais bsj=? aik bkj
k?1

(i ? 1, 2, ?, m; j ? 1, 2, ?, n) .并把此乘积记作 C=AB

由定义,一个1×s行矩阵与一个s×1 列矩阵的乘积是一个一阶方阵,也就是一个数:

? b1 j ? ? ? ? b2 j ? ?ai 1 , ai 2 ,?, ais ?? ? ? ai 1b1 j ? ai 2b2 j ? ? ? ais bsj ?? ? ?b ? ? sj ? n ? ? aik bkj ? cij
k ?1

定义5中矩阵C(=AB)的元素cij是矩阵A 的 第i 行元素与矩阵B的第j 列对应元素乘积之和. 注意 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等 于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才 能相乘.

矩阵的乘法满足下述运算规律
1. ( AB)C ? A( BC ) 结合律 2. A( B ? C ) ? AB ? AC
( B ? C ) A ? BA ? CA 分配律

3. ? ( AB ) ? (?A)B ? A(?B).

矩阵的幂

A 是一个n 阶矩阵, k 是一个正整数,规定
k个

Ak ? ? AA ? ? A ? ? ? ?
矩阵的幂满足规律

Ak Al ? Ak ? l ,
其中 k , l 为正整数.

?A ? ? A
k l

kl

.

对于两个 n 阶矩阵 A与 B,一般说

( AB)k ? Ak B k .
例8
? ?1 0 ? ? 0 ?2 ?? ? ? ?0 0 ?
? ?k 0 ? 0? 1 ? ? ? 0? ? 0 ?k 2 ? ? ? ?? ?? ? ? ?0 0 ? ?n ? ? ?
k

0? ? ? 0? ? ? ?? ? ? ?k n? ?

矩阵的转置 定义 把矩阵 A 的行列( 按原顺序互换 )互换所 得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵,以AT表示。 即 A=(aij)m×n,AT=(aji)n×m
? a11 ?a 21 ? A? ? ?? ? ? ? am1 a12 a22 ?? am 2 a1n ? ? ?? a2 n ? ?? ?? ? ? ?? amn ? ? ??

? a11 ?a 12 T ? A ? ? ?? ? ? ? a1n

a21 a22 ?? a2 n

?? am1 ? ?? am 2 ? ? ?? ?? ? ? ?? amn ? ?

? 1 ?1 ? ? ? 例 若 A ? ?0 1 ?, ?2 3 ? ? ?
( AT )T ? A

? 1 0 2? 则A ? ? ? ? 1 1 3? ?. ? ?
T

矩阵的转置满足下述运算规律

1.
2.

( A ? B)T ? AT ? BT

3.

(?A)T ? ?AT

4.

( AB)T ? BT AT

(ABC)T=CTBTAT
对于多个矩阵相乘,有 ? A A ? A ?T ? A T ? A T A T 1 2 t t 2 1

证明:设 A ? aij


? ?

AB ? C ? ?cij ?m?n , B T AT ? D ? ?d ij ?n?m .
c ji ?

? ? , B ? b , ij m? s s?n
s k ?1

由矩阵的乘法定义,有

? a j1 ? ? ? T T 而B 的第i行为 ?b1i , ? , bsi ?, A 的第j列为 ? ? ?, ?a ? s s ? js ? 因此 d ? ? bki a jk ? ? a jk bki , ij
jk

?a

bki ,

k ?1

所以 d ? c ij ji

?i ? 1,2,? , n; j ? 1,2,? , m ?,

k ?1

即D=CT,亦即BTAT=(AB)T.

方阵的行列式

定义 由 n 阶矩阵 A 的元素(按原来的位置)

构成的行列式, 称为方阵 A 的行列式,
记作A .
(其中A, B是n阶矩阵, ?为数)

方阵的行列式运算满足下述规律 :

1.

AT ? A

2.

?A ? ? A
n

3.

AB ? A B

? a11 ? 1. 设A ? ? a 21 ?a ? 31

a12 a 22 a 32

a13 ? ? a 23 ?, 那么 a 33 ? ?

a11 A ? a 21 a 31
? a 11 ? T A ? ? a12 ?a ? 13
于是
T T

a12 a 22 a 32
a 21 a 22 a 23

a13 a 23 a 33
a 31 ? ? a 32 ?, a 33 ? ?
T

a 11 A ? a 12 a 13 a 11 AT ? a 12 a 13

a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33

A ? A ? A.

2. 设 A 为 3 阶矩阵, ?为数,

那么

? ?a11 ?a12 ? ?A ? ? ?a 21 ?a 22 ? ?a ? 31 ?a 32
于是

?a13 ? ? ?a 23 ? ?a 33 ? ?

?a11 ?a12 ?a13 ?A ? ?a 21 ?a 22 ?a 23 ?a 31 ?a 32 ?a 33

?a11 ?a12 ?a13 ?A ? ?a 21 ?a 22 ?a 23 ?a 31 ?a 32 ?a 33
a11 a12 ? ? 3 a 21 a 22 a 31 a 32 a13 a 23 ? ?3 A . a 33

初等矩阵 & 初等变换
三种初等变换
?1. 对调两行或两列; ? ? 2. 以数 k ? 0 乘某行或某列; ? 3. 以数 k 乘某行(列)加到另一 行(列)上去. ?

Recall 练习

1设

A=

?a1, 1 a1, 2 a1, 3? ? ? ? ? ?a ? a a ? 2, 1 2, 2 2, 3? ? ? ? ? ?a ? a a ? 3, 1 3, 2 3, 3?
0? ? ? 0? ? ? 1? ? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0 0 1 0 0? ? ? 0? ? ? 1?

计算并总结规律。

(1)

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 1 0

A

(2)

A

(3)

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 0 1

0? ? ? 1? A ? ? 0?

(4)

A

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 0 1

0? ? ? 1? ? ? 0?

(5)

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 k 0

0? ? ? 0? ? ? 1?

(6) A

?1 ? ? ?l ? ? ?0

0 1 0

0? ? ? A 0? ? ? 1?

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 1 0

0? ? ? 0? ? ? 1?

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0
?1 ? ? ?l ? ? ?0

0 0 1
0 1 0

0? ? ? 1? ? ? 0?
0? ? ? 0? ? ? 1?

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 k 0

0? ? ? 0? ? ? 1?

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0
? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 1 0
0 0 1

0? ? ? 0? ? ? 1?
0? ? ? 1? ? ? 0?

A

?a1, 1 a1, 2 a1, 3? ? ? ? ? ?a ? a a ? 2, 1 2, 2 2, 3? ? ? ? ? ?a ? a a ? 3, 1 3, 2 3, 3?

A

?a1, 1 a1, 2 a1, 3? ? ? ? ? ?a ? a a ? 3, 1 3, 2 3, 3? ? ? ? ? ?a ? a a ? 2, 1 2, 2 2, 3?

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0
?1 ? ? ?l ? ? ?0

0 k 0
0 1 0

0? ? ? 0? ? ? 1?
0? ? ? 0? ? ? 1?

A

? a1, 1 ? ? ?k a ? 2, 1 ? ? ?a ? 3, 1

a1, 2 k a2, 2 a3, 2

a1, 3 ? ? ? k a2, 3? ? ? ? a3, 3 ? ?

A

a1, 1 a1, 2 a1, 3 ? ? ? ? ? ? ?l a ???a ? l a a l a a ??? ??? ? 1, 1 2, 1 1, 2 2, 2 1, 3 2, 3? ? ? ? ? ? ? a3, 1 a3, 2 a3, 3 ? ?

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 0 1

0? ? ? 1? ? ? 0?

A

?a1, 1 a1, 2 a1, 3? ? ? ? ? ?a ? a a ? 3, 1 3, 2 3, 3? ? ? ? ? ?a ? a a ? 2, 1 2, 2 2, 3? ?a1, 1 a1, 3 a1, 2? ? ? ? ? ?a ? a a ? 2, 1 2, 3 2, 2? ? ? ? ? ?a ? a a ? 3, 1 3, 3 3, 2?

A

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 0 1

0? ? ? 1? ? ? 0?

初等矩阵的概念
定义 由单位 E矩阵经过一次初等变换得到 的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.
?1. 对调两行或两列; ? ? 2. 以数 k ? 0 乘某行或某列; ? 3. 以数 k 乘某行(列)加到另一 行(列)上去. ?

1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行,即 ( ri ? r j ),得初等方阵
?1 ? ? ? ? 0 ???1 ? ? 1 ? ? E (i , j ) ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1??? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第i 行 ? ? ? ? ? ? ? ? 第 j行 ? ? 1? ?

第i 列

第j列

用 m 阶初等矩阵 Em ( i , j ) 左乘 A ? (aij )m?n,得 ? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? ? ? ? ? ?a a j 2 ? a jn ?? 第 i 行 j1 ? ? ? ? ? Em ( i , j ) A ? ? ? ?a ? a ? a i2 in ? 第 j 行 ? i1 ? ? ? ? ? ? ?a ? a ? a ? m1 m2 mn ?
相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换 :把 A 的第 i 行与第 j 行对调 ( ri ? r j ).

类似地, 以 n 阶初等矩阵 E n ( i , j ) 右乘矩阵 A, j列 i列
? a11 ? a1 j ? a1i ? a1n ? ? ? ? a21 ? a2 j ? a2 i ? a2 n ? AEn ( i , j ) ? ? ? ? ? ?? ? ? ?a ? ? a ? a ? a mj mi mn ? ? m1
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 : 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci ? c j ).

2、以数 k ? 0 乘某行或某列

以数k ? 0乘单位矩阵的第 i行( ri ? k ),得初等 矩阵E ( i ( k )).
第i 列
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? E ( i ( k )) ? ? k ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1? ? ?

?第i 行

以 Em ( i ( k )) 左乘矩阵 A, ? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? ? ? ? ? Em ( i ( k )) A ? ? kai 1 kai 2 ? kain ? ? 第 i 行 ? ? ? ? ? ? ? ?a ? a ? a ? m1 m2 mn ?
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 ( ri ? k );

以 E n (i(k)) 右乘矩阵 A,其结果相当于以 数 k 乘 A 的第 i 列(ci ? k ).

3、以数k ? 0乘某行 (列)加到另一行 (列)上去

以 k 乘 E 的第j 行加到第i 行上(ri ? krj ) 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第j 列上(cj ? kci ), ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第i行 1 ? k ? ? E ( ij ( k )) ? ? ? ? ? ? ? 第j行 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ?

以 Em ( ij( k )) 左乘矩阵 A,
? a11 ? ? ? ? a ? ka j1 ? i1 ? Em ( ij ( k )) A ? ? ? a j1 ? ? ? ? a ? m1 a12 ? ai 2 ? ka j 2 ? a j2 ? am 2 ? ? ? ? ? ain ? a jn ? ? ? ? ? a jn ? ? ? ? ? amn ? ? ? a1n

相当于把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 ( ri ? kr j ).

类似地,以 En ( ij ( k )) 右乘矩阵 A,其结果相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j 列上 (c j ? kci ).

AEn ( ij ( k )) ? a11 ? a1i ? ka1 j ? a1 j ? a1n ? ? ? ? a21 ? a2 i ? ka2 j ? a2 j ? a2 n ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?a ? ? a ? ka ? a ? a mi mj mj mn ? ? m1

Inverse Matrix

按照矩阵的乘法,线性方程组

?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? b , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?am 1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? bm .
可表示为矩阵的乘积 Ax = b 的形式,其中 ? a11 a12 ? a1n ? ? x1 ? ? b1 ? ? ? ? ? ? ? ? a21 a22 ? a2 n ? ? x2 ? ? b2 ? A?? , x?? ?, b?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? x b a ? a ? n? ? m? ? m1 m 2 mn ?
如果 m=n, 可考虑 x=b/A

一、概念的引入
在数的运算中,当数a ? 0 时, 有

aa ? a a ? 1,
其中 a ?1 ? 1 为 a 的倒数, (或称 a 的逆); a 在矩阵的运算中, 单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1。 因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩 阵的概念。

?1

?1

二、逆矩阵的概念和性质
定义 使得 对于 n 阶矩阵 A ,如果存在 n 阶矩阵 B

AB ? BA ? E ,

则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的一个

逆矩阵.
例 设

? 1 ? 1? ? 1 2 1 2? A?? ?, B ? ? ?, ?1 1 ? ? ? 1 2 1 2?

? AB ? BA ? E ,

? B是A的一个逆矩阵 .

说明 若 A 是可逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的.

事实上若设 B 和 C 是 A 的逆矩阵, 则有
AB ? BA ? E , AC ? CA ? E ,

可得 B ? EB ? ?CA?B ? C ? AB ? ? CE ? C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的。 A的逆记为

A ,即 AA-1=A-1A=E。

?1

例 解

? 2 1? ? , 求A的逆阵. 设 A?? ? ? 1 0?


?a b? B?? ? 是 A 的逆矩阵, ?c d?

利用待定系数法


? 2 1 ?? a b ? ? 1 0 ? AB ? ? ?? ?? ? ? ? ? 1 0 ?? c d ? ? 0 1 ? ? 2a ? c 2b ? d ? ? 1 0 ? ?? ??? ? ? b ? ? 0 1? ? ?a

? 2a ? c ? 1, ? 2b ? d ? 0 , ? ?? ? ? a ? 0, ? ? ? b ? 1,
又因为

? a ? 0, ?b ? ?1, ? ?? ? c ? 1, ? ? d ? 2.

AB

BA

? 2 1 ?? 0 ? 1 ? ? 0 ? 1 ?? 2 1 ? ? 1 0 ? ?, ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? 1 0 ?? 1 2 ? ? 1 2 ?? ? 1 0 ? ? 0 1 ?
所以

? 0 ? 1? A ?? ?. ?1 2 ?
?1

矩阵可逆的充要条件与逆矩阵的求法

矩阵A的伴随矩阵
? A11 ? A 12 ? ? A ? ? ? ? ? A1n A21 A22 ? A2n ? ? ? ? An1 ? ? An 2 ? ? ? ? Ann ?

AA ? A E
A A ? A E.
?

?

Aij为行列式 A 中元素aij的代数余子式.
?a1, 1 a1, 2 a1, 3? ? ? ? ? ?a ? ? 2, 1 a2, 2 a2, 3? ? ? ? ? ?a a3, 2 a3, 3? 3 , 1 ? ?

? A11 ? 的伴随矩阵 ? A12 ?A ? 13

A21 A22 A23

A31 ? ? A32 ? A33 ? ?

A? A ? A E . AA? ? A E 先就 3 阶矩阵给出证明. 证 设 ? a11 a12 a13 ?? A11 A21 A31 ? ? b11 b12 b13 ? ? ?? ? ? ? ? AA ? ? a 21 a 22 a 23 ?? A12 A22 A32 ? ? ? b21 b22 b23 ? ?a ?? A ? ?b ? a a A A b b 32 33 ? ? 13 23 33 ? 32 33 ? ? 31 ? 31 于是有 b11 ? a11 A11 ? a12 A12 ? a13 A13 ? A

b23 ? a21 A31 ? a22 A32 ? a23 A33 ? 0 b31 ? 0, b32 ? 0, b33 ? A .
?A ? ? 因此 AA ? ? 0 ?0 ? 0 A 0 0? ? 0 ? ? A E. A? ?

b12 ? a11 A21 ? a12 A22 ? a13 A23 = 0 b13 ? a11 A31 ? a12 A32 ? a13 A33 = 0 b21 ? a21 A11 ? a22 A12 ? a23 A13 = 0 b22 ? a21 A21 ? a22 A22 ? a23 A23 ? A

同理可证, A? A ? A E .

证 设 A = ( a i j )n×n , 记AA? ? (bij ), 也就是
? a11 ? ? a 21 ?? ? ?a ? n1 a12 a 22 ? an 2 ? a1 n ?? A11 ?? ? a 2 n ?? A12 ? ? ?? ? ?? ? ? a nn ? ?? A1 n A21 A22 ? A2 n ? An 1 ? ? b11 ? ? ? An 2 ? ? b21 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? Ann ? ? ? bn 1 ? b1 n ? ? b22 ? b2 n ? ? ? ?? ? bn 2 ? bnn ? ? b12

于是有
?A bij ? ai 1 Aj 1 ? ai 2 Aj 2 ? ??ain Ajn ? ? ?0 当 i ? j时 . 当 i ? j时 .

因此
AA? ? A E

同理可证,
A? A ? A E .

定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A ? 0 ,且 1 ? ?1 A ? A, A
其中A?为矩阵A的伴随矩阵.

证明 若 A 可逆,即有A?1使AA ?1 ? E .

故 A ? A?1 ? E ? 1,

所以 A ? 0.

当 A ? 0时,

当 A ? 0时,
? a11 a12 ? a1n ? ? A11 A21 ? An1 ? ? ?? ? a a22 ? a2 n ? ? A12 A22 ? An 2 ? ? ? 21 AA ? ? a A ? a A ? ? ?? a A? 11 ? 12 ? 12 ? ? 1n A 1n ? ? ? 11 ? ? ? ? ?a a ? a ? ?? ?A A ? A ? ? ? ? ?? 2 a A nn ? 1n nn ? a n1A n? ? a 2 nA ? A
n1 n1 n2 n2 nn nn

? A ? ? ?? ? ? ?

A

O

?

O
A

? ? ? ?, ? A? ?

? ? A A AA? ? A? A ? A E ? A ? A ? E , A A

按逆矩阵的定义得

A A ? . A
?1

?

证毕

奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A ? 0时, A称为奇异矩阵,当 A ? 0时, A称为 非奇异矩阵.
由此可得A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵.

推论 证明

若AB ? E ?或BA ? E ?, 则B ? A?1 .
A ? B ? E ? 1,

故 A ? 0,

因而A?1存在, 于是
B ? EB ? A?1 A B ? A?1 ? AB? ? A ? 1 E ? A ?1 .

?

?

证毕

逆矩阵的运算性质

?1? 若A可逆, 则A 亦可逆, 且?A
?1

?1 ?1

?

? A.

?2? 若A可逆, 数? ? 0, 则?A可逆, 且
??A? ? A?1 .
?1

1

?

?3? 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆, 且
?A B ??1 ? B ?1 A ?1
证明

? AB??B?1 A?1 ? ? A?BB?1 ?A?1
?1 ? AEA ?1 ? AA ? E ,

?1 ?1 ?1 ? ? ? AB ? B A .

推广

?1 ?1 ?1 ?A1 A2 ?Am??1 ? Am ? A2 A1 .

?4? 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 ?A
T

T ?1

? ? ?A ? .
?1 T

证明

? A ?A
T

?1 T

? ? ? A A?
?1 ?1 T

T

? E T ? E,

? ?A

T ?1

?

? ?A

?.
?1 k

另外, 当 A ? 0时, 定义 A ? E,
0

A

?k

? ?A

?.

?k为正整数?

当 A ? 0, ? , ?为整数时, 有 A A ?A
? ? ? ??

,
?1

?A ?

? ?

? A?? .

?5? 若A可逆,则有 A ? A .
?1

证明

? AA ?1 ? E

? A A ?1 ? 1

因此 A ? A .
?1

?1

三、逆矩阵的求法
例1

? 1 2 3? ? ? 求方阵 A ? ? 2 2 1 ? 的逆矩阵. ? 3 4 3? ? ? 1 2 3

?1 ? A 存在. ? 0 , 解 ? A?2 2 1 3 4 3

A11 ?

2 1 4 3

? 2,

A12 ? ?

2 1 3 3

? ?3,

同理可得

A13 ? 2, A21 ? 6, A22 ? ?6, A23 ? 2,

A31 ? ?4, A32 ? 5, A33 ? ?2,



6 ? 4? ? 2 ? ? ? A ? ? ? 3 ? 6 5 ?, ? 2 ? 2 ? 2 ? ?
A21 A22 A23 A31 ? ? A32 ? A33 ? ?



A ?1

? A11 1 ? 1 ? ? A ? ? A12 A? A ? A13

6 ? 4? ? 2 ? 1? ? ?? 3 ? 6 5 ? 2? ? 2 2 ? 2 ? ?

3 ? 2? ? 1 ? ? ? ? ? 3 2 ? 3 5 2 ?. ? 1 ? 1 ? 1 ? ?

例2

?1 ? ?0 已知A ? ? 0 ? ?0 ?0 ?
因 A ? 5! ? 0,

0 0 0 0? ? 2 0 0 0? ?1 ? 0 3 0 0 求A . ? 0 0 4 0? ? 0 0 0 5?
故A?1存在.



由伴随矩阵法得 A?1 ? A? A ,

0 0 0 0 ? ?2? 3?4?5 ? ? 1? 3 ? 4 ? 5 0 0 0 ? ? 0 1? ? 0 0 1? 2 ? 4 ? 5 0 0 ? ? 5! ? 0 0 1? 2 ? 3 ? 5 0 ? ? 0 ? 0 ? 0 0 0 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?
?1 ? ?0 ? ?0 ? ?0 ?0 ? 0 1 2 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 14 0 0 ? ? 0 ? 0 ?. ? 0 ? 1 5? ?

另一种常用的求矩阵逆的方法
? 伴随矩阵的方法理论上完善,但计算量 大 ? 下面用矩阵的初等(行)变换来求 ? 先讲方法,后介绍其中的道理(也可课 后思考)

逆矩阵的求法
? 若矩阵A可逆,则矩阵A总可以经过一系列 初等行变换化为单位矩阵。
如果把同样的变换施加在单位矩阵上,得 到的就是A的逆矩阵。 因此,我们通常把矩阵A与单位矩阵I并列, 构成一个n×2n矩阵,记作[A E],再经过初等 行变换化为[E A-1],这样就得到了A-1。

?

?

? 1 2 3? ? ? ?1 设 A ? 2 2 1 , 求 A . 例1 ? ? ? 3 4 3? ? ? ? 1 2 3 1 0 0? ? ? ?A E ? ? ? 2 2 1 0 1 0? ? 3 4 3 0 0 1? ? ? 1 2 3 1 0 0 ? ? r ?r r2 ? 2r1 ? ? 1 2 ? 0 ? 2 ? 5 ? 2 1 0? r3 ? 3r1 ? 0 ? 2 ? 6 ? 3 0 1 ? r3 ? r2 ? ?



r1 ? r2

r3 ? r2
r1 ? 2r3

r2 ? 5r3

?1 ? ?0 ?0 ? ?1 ? ?0 ?0 ?

0 ? 2 ? 1 1 0 ? r1 ? 2r3 ? ? 2 ? 5 ? 2 1 0? r2 ? 5r3 ? 0 ? 1 ? 1 ? 1 1? 0 0 1 3 ? 2? r ? ? 2 ( ? 2) ? 2 0 3 6 ? 5? r3 ? ( ? 1) ? 0 ?1 ?1 ?1 1 ?

3 ? 2? ?1 0 0 1 r2 ? ( ? 2)? 3 5 ? ?3 ?0 1 0 ? ? 2 2 ? r3 ? ( ? 1) ? 1 ? 1? ?0 0 1 1 3 ? 2? ? 1 ? 3 5 ? ?1 ? A ? ?? ?3 ?. 2 ? ? 2 1 ? 1? ? 1

利用矩阵求解方程

按照矩阵的乘法,线性方程组

?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? b , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?am 1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? bm .
可表示为矩阵的乘积 Ax = b 的形式,其中 ? a11 a12 ? a1n ? ? x1 ? ? b1 ? ? ? ? ? ? ? ? a21 a22 ? a2 n ? ? x2 ? ? b2 ? A?? , x?? ?, b?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? x b a ? a ? n? ? m? ? m1 m 2 mn ?

如果 m=n, 可考虑 x=b/A

A Ax ? A b ? Ex ? A b ? x ? A b

?1

?1

?1

?1

例: 求解线性方程组

? x1 ? ?2 x1 ?3x ? 1

?2 x2 ?2 x2 ?4 x2

?3 x3 ? x3 ?3 x3

? ?2 ? ? 1 0

? 1 2 3? ? ? 设 A ? ? 2 2 1?, X = ? 3 4 3? ? ?
?1

? x1 ? ? ?2 ? ? ? ? ? x , B ? 1 . 2 ? ? ? ? ?x ? ? 0? ? 3? ? ?
?1

先求得 A , 则 X ? A B.

X?A B
? 1 ? 3 ? ?? ? 2 ? 1 ? ?2 ? ? ? 2 ? ? 5 ?? ? ?3 1 ? 2 ?? ? ? ? 1 ?1 ? ? 0 ? 3

?1

?1? ? ? ?? 0 ? ? ?1 ? ? ?

反思

理论分析

二、初等矩阵的应用
定理1 设 A 是一个 m ? n 矩阵,对 A 施行一 次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵;对 A 施行一次初等列变换,相当于 在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
初等变换 初等矩阵

初等逆变换

初等逆矩阵

变换 ri ? rj 的逆变换是其本身, 则 E ( i , j ) ?1 ? E ( i , j ) ;
1 变换 ri ? k 的逆变换为 ri ? , k 1 ?1 则 E ( i ( k )) ? E ( i ( )); k

变换 ri ? krj 的逆变换为ri ? ( ? k )rj, 则 E ( ij ( k ))?1 ? E ( ij ( ? k )) .

定理2 设A为可逆方阵,则存在有限个初等 方阵 P1 , P2 ,?, Pl , 使A ? P1 P2 ? Pl . 证
? A ~ E , 故 E 经有限次初等变换可变A,

即存在有限个初等方阵P1 , P2 ,?, Pl , 使
P1 P2 ? Pr EPr ?1 ? Pl ? A


A ? P1 P2 ? Pl .

推论 m ? n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q , 使 PAQ ? B .

利用初等变换求逆阵的方法:

当 A ? 0时,由 A ? P1 P2 ? Pl,有

Pl P ? P A ? E , 及 ?
1 ?1 Pl ?1 Pl ? ? P ?1 1 ?A E?

?1

?1 l ?1

?1 1

1 ?1 ?1 Pl ?1 Pl ? ? P E ? A , ?1 1

1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? ?Pl?1 Pl? ? P A P P ? P ?1 1 l l ?1 1 E?

? ?E

A

?1

?

即对 n ? 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换, 当把 A 变成 E 时,原来的 E 就变成 A?1 .

利用初等行变换求逆阵 的方法,还可用于求 矩阵A?1 B .

?


A?1 ( A B) ? ( E A?1 B)

( A B)
初等行变换

E A ?1 B

例2 求矩阵 X , 使 ?1 2 ? A ? ?2 2 ?3 4 ? 解

AX ? B,其中 3? ? 2 5? ? ? ? 1 ?, B ? ? 3 1 ?. ? 4 3? 3? ? ? ?

若 A 可逆,则 X ? A?1 B.
? 1 2 3 2 5? ? ? ( A B) ? ? 2 2 1 3 1 ? ? 3 4 3 4 3? ? ?

r2 ? 2r1

r3 ? 3r1
r1 ? r2

3 2 5 ? ?1 2 ? ? ?0 ? 2 ? 5 ?1 ? 9 ? ? 0 ? 2 ? 6 ? 2 ? 12 ? ? ? ? 1 0 ? 2 1 ? 4? ? ? ? 0 ? 2 ? 5 ? 1 ? 9? ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ? 0 3 2 ? ?1 0 ? ? 4 6 ? ?0 ? 2 0 ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ?

r3 ? r2
r1 ? 2r3

r2 ? 5r3

r1 ? 2r3

r2 ? 5r3

0 3 2 ? ?1 0 ? ? 4 6 ? ?0 ? 2 0 ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ?

2 ? r2 ? ( ? 2) ? 1 0 0 3 ? ? ? 0 1 0 ? 2 ? 3 ?, r3 ? ( ? 1) ? ? 3 ? ?0 0 1 1 ? 2 ? ? 3 ? ? X ? ? ? 2 ? 3 ?. ? 1 ? 3 ? ?

? A? 如果要求Y ? CA , 则可对矩阵? ?作初等列变换, ?C ? ? A ? 列变换 ? E ? ? ? ? ?1 ? , 即可得 Y ? CA?1 . ? C? ? CA ?
?1

也可改为对( AT , C T ) 作初等行变换, (A , C )
T T

列变换

( E , ( A ) C ),

T ?1

T

即可得 Y T ? ( A?1 )T CT ? ( AT )?1 CT ,
即可求得 Y .

例3

?2 ? ?0 已知 n 方阵 A ? ? 0 ? ?? ?0 ?

2 2 ? 2? ? 1 1 ? 1? 0 1 ? 1 ?, ? ? ? ?? 0 0 ? 1? ?
n i , j ?1

求 A 中所有元素的代数余子 式之和 ? Aij .


? A ? 2 ? 0,

? A 可逆.

且 A ? AA .
*

?1

?2 ? ?0 ?A E? ? ? 0 ? ?? ?0 ?
? ?1 ? ?0 ?? ? ?0 ?0 ?

2 2 ? 2 1 0 0 ? 0? ? 1 1 ? 1 0 1 0 ? 0? 0 1 ? 1 0 0 1 ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0 0 ? 1 0 0 0 ? 1? ?
0 1 ? 0 0 1 0 ? 0 ?1 2 0 ? 0 0 1 ? ? ? ? ? 1 0 0 0 ? 0 1 0 0 ? 0? ? ?1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1? ? 0 1 ? ? 0 ?

例1.
┌ 设A=│ └ 解: ┌ 3 -1 1 │ └ 2 -1 0 3 2 -1 ┐ │,求A-1 -1 ┘ 1 -1 ┐②+(-2)×① │ ─→ 0 1 ┘ 1 -1 ┐ │─→ 2 -3 ┘

0 ┐①+(-1)×② ┌ 1 0 │ ─→ │ 1 ┘ └ 2 -1 0

┌ 1 0 1 -1 ┐②×(-1)┌ 1 │ │─→│ └ 0 -1 -2 3 ┘ └ 0 1 -1 则A-1=

1

2 -3

二、解矩阵方程 解矩阵方程AX=B,即求矩阵X满足此等式。 如果矩阵A可逆,把等式两边左乘A-1,即得 A-1AX=A-1B,于是X=A-1B 因此,先求出A-1,再做矩阵的乘法即可。
例4. 解矩阵方程AX=B,其中 -2 1 0 5 -1 A= 1 -2 1 ,B= -2 3 0 1 -2 1 4

解:
┌ -2 1 │ 1 -2 └ 0 1 ┌ 1 │ 0 └ 0 ┌ 1 │ 0 └ 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 0 ┐ 0 │─→ 1 ┘ 0 ┐ 1 │─→ 3 ┘

-2 1 1 -2 0 -4 0 1 0 0 0 1

-3/4 -1/2 -1/4 ┐ -1/2 -1 -1/2 │ -1/4 -1/2 -3/4 ┘

A-1=-1/4

3 2 1 2 4 2 1 2 3

3 2 1 ∴ X=A-1B=-1/4 2 4 2 1 2 3
12 7 4 18 4 17

5 -1 -2 3 1 4

=-1/4

练习 2 个
? Page 174. 5 请用三种方法
1. 先求系数矩阵的逆矩阵, 用伴随矩阵的方法 求逆矩阵 2. 也先求系数矩阵的逆矩阵, 但用矩阵的初等 变换的方法求逆矩阵 3. 用Gauss消元法,请用矩阵的方式表示肖元 过程

2 求下列初等矩阵的逆矩阵
( 1)

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0
? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 1 0
0 k 0

0? ? ? 0? ? ? 1?
0? ? ? 0? ? ? 1?

(2)

? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 0 1

0? ? ? 1? ? ? 0?

(3)

(4)

?1 ? ? ?l ? ? ?0

0 1 0

0? ? ? 0? ? ? 1?


赞助商链接

矩阵及其运算

n 矩阵 A ? (aij ) 的乘积(即数乘)定义如下: é la l a12 11 êê l a21 l a22 l A = Al = êêê l am1 l am 2 ? 运算法则: 1). (??...

第2章 矩阵及其运算

第2章 矩阵及其运算 - 第二章 矩阵及其运算 一、矩阵的概念与几类特殊方阵 (一)矩阵及相关概念 1.矩阵 m ? n 个数 aij 排成 m 行 n 列的表格 a 12...

矩阵的概念、运算(一)

矩阵的加法;2、数与矩阵的乘法;3、矩阵的乘法; 4、方阵的多项式 5、矩阵的转置 二、教学目的 掌握各种矩阵运算运算法则及其基本性质,并能熟练地进行矩阵的各种...

矩阵的概念和运算

1。4 矩阵的概念和运算 教学要求 : (1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。 (2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 ...

矩阵的求导运算

矩阵的求导运算 - 矩阵导数问题 1 矩阵 对标量 x 求导 相当于矩阵中每个元素对 x 求导 2 标量 y 对矩阵 X 求导 注意与上面不同,这次括号内是求偏导,对 ...

矩阵的求导运算

矩阵的求导运算 - 矩阵导数问题 1 矩阵 = ()对标量 x 求导 相当于矩阵中每个元素对 x 求导 11 () 12 () 1 () ? ( ) ( ) () 21 22 2...

矩阵的各种运算详解

矩阵的各种运算详解 - 一、矩阵的线性运算 定义 1 设有两个 矩阵 和 ,矩阵 与 的和记作 , 规定为 注:只有两个矩阵是同型矩阵时,才能进行矩阵的加法运算....

第3章 矩阵及其运算

第3章 矩阵及其运算 - 第3章 3.1 基本要求、 基本要求、重点难点 矩阵及其运算 基本要求: 1.1.掌握矩阵的定义. 2.2.掌握矩阵运算法则. 3.3.掌握伴随...

矩阵的简单运算公式

矩阵的简单运算公式 - 矩阵运算 (一) 矩阵的线性运算 特殊乘法: ( A ? B)2 ? A2 ? AB ? BA ? B 2 (二) 关于逆矩阵运算规律 ?1 ?1 ( 1 )...

矩阵及其运算

2 2 矩阵加法满足的运算规则是什么? 设 A, B, C, O 都是 m ? n 矩阵,不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律: A + B = B + A; 2....