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广东省七校联合体2017届高三上学期第二次联考考试理数试题Word版含答案.doc


数学科目
第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ?0,1 ? ,集合 B ? ?x | x ? a? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 1 B. a ? 1
x



C. a ? 0

D. a ? 0 )

2.命题: “ ?x0 ? 0 ,使 2 0 ? x0 ? a ? ? 0 ” ,这个命题的否定是( A. ?x ? 0 ,使 2x ? x ? a ? ? 1 C. ?x ? 0 ,使 2x ? x ? a ? ? 1 B. ?x ? 0 ,使 2x ? x ? a ? ? 1 D. ?x ? 0 , 2x ? x ? a ? ? 1

3.已知 ? a ? i ??1 ? bi ? ? 2i (其中 a , b 均为实数, i 为虚数单位) ,则 a ? bi 等于( A.2 B. 2 C.1 D.1 或 2



4.设公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 2 ? a2 ? a3 ? ,则

S7 等于( S4



A.

7 4

B.

14 5
x

C.7
2

D.14 )

5.若函数 f ? x ? ? 2 ? a x ? 2a 的零点在区间 ? 0,1? 上,则 a 的取值范围是( A. ? ??,

? ?

1? ? 2?

B. ? ??,1?

C. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

D. ?1, ?? ?

6.函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 ? ? 0 ? ? ? 像重合,则 ? ? ( A. ) C.

? ?

??

?? ? ? 个单位后,与函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图 2? 6? ?

? 12

B.

? 6

? 3

D.

5? 12


7. 等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 的首项都是 1,公差公比都是 2,则 ba1 ba3 ba5 ? ( A.64 B.32 C.256 D.4096 )

8. 由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, y ? 3 所围成的平面图形的面积为(

A.

32 9

B. 2 ? ln 3

C. 4 ? ln 3

D. 4 ? ln 3

9. 已知 P 是 ABC 所在平面内一点,PB ? PC ? 2PA ? 0 , 现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内, 则黄豆落在 PBC 内的概率是: ( A. ) D.

??? ? ??? ?

??? ?

?

1 4

B.

1 3

C.

1 2

2 3

10.把 A, B, C , D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且 A, B 两件玩 具不能分给同一个人,则不同的分法有( A.36 种 11. 若 x ? ? 0, A. B.30 种 C.24 种 )

D.18 种 )

? ?? ? ?? ? , y ? ? 0, ? ,且 tan 2x ? 3tan ? x ? y ? ,则 x ? y 的可能取值是( ? 2? ? 2?
B.

? 12

? 4

C.

? 3

D.

7? 12
2

? ? 1 ?? 2 12. 已知点 P 为函数 f ? x ? ? ln x 的图象上任意一点, 点 Q 为圆 ? x ? ? e ? ? ? ? y ? 1 上任 e ?? ? ?
意一点,则线段 PQ 的长度的最小值为( )

A.

e ? e2 ? 1 e

B.

2e2 ? 1 ? e e

C.

e2 ? 1 ? e e

D. e ?

1 ?1 e

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上 13.

?

2

0

?

4 ? x2 ? x dx 的值等于_____________.

?

? x?0 ? 14.已知实数 x, y 满足 ? y ? 0 ,若目标函数 z ? x ? y 的最大值为 a ,最小值为 b ,则 ?x ? 2 y ? 2 ?
a ? b ? _____________.

DB ? _____________. 15.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则 AC ?

??? ? ??? ?

2 16.已知函数 f ? x ? ? x x ? a ,若存在 x ??1, 2? ,使得 f ? x ? ? 2 ,则实数 a 的取值范围是

_____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分为 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? ? ? ? 0 ? ? ? (1)求 ? 的值; (2)若 f

? ?

??

?? ? ? ,且 f ? ? ? 2 . 2? ?3?

8 ?? ?? ? ?? ? ? f ? ?? ? ? ,? ? ? ? 0, ? ,求 f ? 2? ? ? . 5 ? 2? ? 6?

18.(本题满分为 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项之积为 Tn ,且 log 2 Tn ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
* * (2)设 bn ? ? an ? 1 n ? N ,数列 ?bn ? 的前 n 项之和为 Sn .若对任意的 n ? N ,总有

n ? n ? 1? , n ? N* . 2

?

?

Sn?1 ? Sn ,求实数 ? 的取值范围.
19.(本题满分为 12 分)

AB ? BC ? 2 ,过 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别是 AD, DD 1 的中点,

A1、C1、B 三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体

ABCD ? AC 1 1D 1 ,且这个几何体的体积为
(1)求证: EF / / 平面 A 1 BC1 ; (2)求 A 1 A 的长;

40 . 3

(3)在线段 BC1 上是否存在点 P ,使直线 A 1P 与 C1 D 垂直,如果存在,求线段 A 1P 的长, 如果不存在,请说明理由.

20.(本题满分为 12 分) 如图,某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD ,其中 BMN 是半径为 1 百 米的扇形,?ABC ?

2? . 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路: 在弧 MN 上选一点 P 3

(异于 M , N 两点) ,过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ .问:点 P 选择在何处时,才能使 得修建的小路 MP 与 PQ 及 QD 的总长最小?并说明理由.

21.(本题满分为 12 分)
2 2 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ln x ? ax ? 2 .

?

?

(1)当 a ? ?1 时,求 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ,且函数 g ? x ? 有且仅有一个零点,若

?

?

e?2 ? x ? e ,

g ? x ? ? m ,求 m 的取值范围.
请考生在22题,23题,二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? a ? a cos ? ( ? 为参数,实数 a ? 0 ,曲线 y ? a sin ? ?

? x ? b cos ? ( ? 为参数,实数 b ? 0 ) .在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极 C2 : ? ? y ? b ? b sin ?
坐标系中,射线 l : ? ? ? ? ? ? 0,0 ? ? ? 点.当 ? ? 0 时, OA ? 1 ;当 ? ? (1)求 a , b 的值; (2)求 2 OA ? OA ?OB 的最大值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ?1 的最大值为 k . (1)求 k 的值; (2)若 a, b, c ? R,
2

? ?

??

? 与 C1 交于 O、A 两点,与 C2 交于 O、B 两 2?

?
2

时, OB ? 2 .

a2 ? c2 ? b 2 ? k ,求 b ? a ? c ? 的最大值. 2

参考答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 C 5 C 6 C 7 D 8 D 9 C 10 B 11 A 12 C

二、填空题 13. ? ? 2 三、解答题 17.解: (1)∵ f ? 14. 1 15. ?

3 2

16.

5? ? ?1,

?? ? ?? ? ?? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 ,∴ sin ? ? ? ? ? 1 , ?3? ?3 ? ?3 ?

? ?? ? ? ? 2sin ? cos ? 2 cos ? sin ? 6 6 ? 6 6? ? 8 ? 4 cos ? sin ? 2 cos ? ? 6 5
? 2sin ? cos ? 2 cos ? sin
∴ cos ? ? ∵ ? ? ? 0,

?

?

4 . . . . . . . . . . . . . . .8 分 5

? ?

??

? ,∴ 2?
2 2

3 ?4? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 5 ?5?
∴ f ? 2? ?

? ?

??

? ?? 3 4 48 ? . . . . . . . . 12 ? ? 2sin ? 2? ? ? ? ? 2sin 2? ? 4sin ? cos ? ? 4 ? ? ? 6? 6 6? 5 5 25 ?

分 18.解: (1)由 log 2 Tn ? 所以 Tn ?1 ? 2
? n ?1?? n ? 2 ?
2

n? n ?1? n ? n ? 1? , n ? N * ,得 Tn ? 2 2 , 2

?n ? N

*

, n ? 2? ,
n? n ?1? 2 ?

n? n ?1?

T 2 2 所以 an ? n ? ? n ?1?? n ? 2? ? 2 Tn ?1 2 2

? n ?1?? n ? 2 ?
2

? 2n ?1 , n ? N * , n ? 2 .

又 a1 ? T1 ? 20 ? 1 ,所以 an ? 2n?1 , n ? N * . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 (2)由 bn ? ?an ?1 ? ? 2n?1 ?1 ,得 Sn ? ? ? 所以 S n ?1 ? S n ? 2

1 ? 2n ? n ? ? 2n ? 1? ? ? n , 1? 2
1 , 2n

?

n ?1

? 1? ? ? ? n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? ? n ? 2n ? ? 1 ? ? ?

因为对任意的 n ? N ,
*

1 1 ?1 ? ? ,故所求的 l 取值范围是 ? , ?? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 n 2 2 ?2 ?

分 19.解: (1) 在长方体 ABCD ? A 可知 AB / / D1C1 , AB ? D1C1 , 由四边形 ABC1D1 1B 1C1D 1 中, 是平行四边形,所以 AD1 / /BC1 .因为 E , F 分别是 AD, DD1 的中点,所以 AD1 / / EF ,则

EF / / BC1 ,
EF / / 平面 A1BC1 . 又 EF ? 面 A . . . . . . . . . . .4 分 1 BC1 , BC1 ? 面 A 1 BC1 ,则
(2)∵

1 1 10 40 VABCD ? A1C1D1 ? VABCD ?A1B1C1D1 ? VB ?A1B1C 1 ? 2 ? 2 ? AA1 ? ? ? 2? 2? AA1 ? AA1 ? , 3 2 3 3
∴ AA . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 1 ?4. (3)在平面 CC1D1D 中作 D1Q ? C1D 交 CC1 于 Q ,过 Q 作 QP / /CB 交 BC1 于点 P ,则

A1P ? C1D .
因为 A1 D1 ? 平面 CC1D1D, C1D ? 平面 CC1D1D ,∴ C1D ? A 1D 1 ,而

QP / /CB, CB / / A1D1 ,∴ QP / / A1D1 ,

又∵ A 1D 1?D 1Q ? D 1 ,∴ C1 D ? 平面 A 1 PQC1 , 且 A1P ? 平面 A 1 P ? C1 D , 1 PQC1 ,∴ A ∵ ?D1C1Q ? Rt ?C1CD ,∴

C1Q D1C1 ,∴ C1Q ? 1 ,又∵ PQ / / BC ,∴ ? CD C1C

PQ ?

1 1 BC ? . 4 2

∵四边形 A 1 PQD 1 为直角梯形,且高 D 1Q ? 5 ,∴

1? 29 ? A1 P ? ? 2 ? ? ? 5 ? . . . . . . . . . . 12 分 2? 2 ?
20.解:连接 BP ,过 P 作 PP 1 ? BC 垂足为 Q 1 ? BC 垂足为 P 1 ,过 Q 作 QQ 1, 设 ?PBP 1 ?? ?0 ?? ? 若0 ?? ? 若? ? 若

2

? ?

2? ? 2? ?? , ? , MP ? 3 ? 3

?
2

,在 Rt ?PBP 1 ? sin ? , BP 1 ? cos ? , 1 中, PP

?
2

,则 PP 1 ? sin ? , BP 1 ? cos ? ,

?
2

?? ?

2? ,则 PP 1 ? sin ? , BP 1 ? cos ?? ? ? ? ? ? cos? , 3

∴ PQ ? 2 ? cos ? ?

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 sin ? . 3 3 2 3 sin ? ,CQ ? sin ? , 3 3

在 Rt ?QBQ1 中, QQ1 ? PP 1 ? sin ? ,CQ1 ?

DQ ? 2 ?

2 3 sin ? ………………………………6 分 3

所以总路径长 f

?? ? ?

2? 2? ? ? ? ? 4 ? cos ? ? 3 sin ? ? 0 ? ? ? 3 3 ?

? . . . . . . . . . . . . .8 分 ?, ?

?? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 f ? ?? ? ? sin ? ? 3 cos ? ? 1 ? 2sin ? ? ? ? ? 1 . 3? ?
令 f ? ?? ? ? 0, ? ? 当

?
2

,当 0 ? ? ?

?
2

时, f ? ?? ? ? 0 ,

?
2

?? ?

2? 时, f ? ?? ? ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 3

所以当 ? ?

?
2

时,总路径最短.

答:当 BP ? BC 时,总路径最短. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分
2 2 21.解: (1)当 a ? ?1 时, f ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? 2 定义域为 ? 0, ??? ,

?

?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 f ? ? x ? ? ? 2x ? 2? ln x ? ? x ? 2? ? 2x . ∴ f ? ?1? ? ?3 ,又 f ?1? ? 1, f ? x ? 在 1, f ?1? 处的切线方程 3x ? y ? 4 ? 0 . . . . . . . . . . . .4 分
2 2 (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 x ln x ? ax ? 2 ? x ? 2 ,即

?

?

?

?

a?

1 ? ? x ? 2 ??ln x 1 ? ? x ? 2 ??ln x ,令 h ? x ? ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 x x

1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7分 x2 x x2 x2 2 ?x ? 2 令 t ? x ? ? 1 ? x ? 2 ln x, t ? ? x ? ? ?1 ? ? ,∵ t ? ? x ? ? 0, t ? x ? 在 ? 0, ??? 上是减函数, x x
则 h? ? x ? ? ? 又∵ t ?1? ? h? ?1? ? 0 ,所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, ∴ h ? x ?max ? h ?1? ? 1 ,因为 a ? 0 ,所以当函数 g ? x ? 有且仅有一个零点时,

a ? 1. . . . . . . . . . . .9 分
2 2 当 a ? 1, g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x , 若 e?2 ?x ?e g , x? ? ? m

?

?

, 只需证明 g ? x ?max ? m ,

g? ? x ? ? ? x ?1??3 ? 2ln x ? ,令 g? ? x ? ? 0 得 x ? 1 或 x ? e 2 ,又∵ e?2 ? x ? e ,
∴函数 g ? x ? 在 ? e , e
?2

?

3

? ?

?

3 2

? ? ?3 ? 2 ? 上单调递增,在 ? e ,1? 上单调递减,在 ?1, e ? 上单调递增,又 ? ? ?

3 ? ? ?3 ? 1 ?3 2 g ? e ? ? ? e ? 2e 2 , g ? e ? ? 2e 2 ? 3e , 2 ? ?

∵ g ?e

? ?

?

3 2

? 2 ? ? g ? e ? , g ? x ?max ? g ? e ? ? 2e ? 3e ,∴ ?

m ? 2e2 ? 3e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分
2 2 22.解: (1) C1 的普通方程为: ? x ? a ? ? y ? a ,其极坐标方程为 ? ? 2a cos ? , 2

由题可得当 ? ? 0 时, OA ? ? ? 1 ,∴ a ?
2

1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 2

C2 的普通方程为: x 2 ? ? y ? b ? ? b 2 ,其极坐标方程为 ? ? 2b sin ? ,
由题可得当 ? ?

?
2

时, OB ? ? ? 2 ,∴ b ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

(2)由①可得 C1 , C2 的方程分别为 ? ? cos ? , ? ? 2sin ? ,

?? 2 ? 2 OA ? OA ?OB ? 2cos2 ? ? 2sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2? ? 1 ? 2 sin ? 2? ? ? ? 1 , 4? ?
∵ 2? ? 当 2? ?

?
?

?? ? ? 5? ? ? ? ? , ? ,∴ 2 sin ? 2? ? ? ? 1的最大值为 2 ? 1 , 4 ?4 4 ? 4? ?
4 ?

?
2

,? ?

?
8

时取到. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分.

? ? x ? 3, ? x ? 1? ? 23.解: (1) 由于 f ? x ? ? ??3 x ? 1, ? ?1 ? x ? 1? , 所以 k ? f ? x ?max ? f ? ?1? ? 2 . . . . . . . . . . 5 ? x ? 3, ? x ? 1? ?
分 (2)由已知

a2 ? c2 ? b 2 ? 2 ,有 ? a 2 ? b 2 ? ? ? b 2 ? c 2 ? ? 4 , 2

2 2 2 2 因为 a ? b ? 2ab (当 a ? b 取等号) , b ? c ? 2bc (当 b ? c 取等号) ,
2 2 2 2 所以 a ? b ? b ? c ? 4 ? 2 ? ab ? bc ? ,即 ab ? bc ? 2 ,

?

? ?

?

故? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 ?b ? a ? c ? ? ? max ? 2 .


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