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2010年北京东城区高考二模数学文科试题(word版含解析)


学年度第二学期综合练习( 北京市东城区 2009-2010 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 1. 已知复数 z = ( a ? 1) + i ,若 z 是纯虚数,则实数 a 等于( B ) A. 2 B. 1 C. 0 D. ?1

2. 设集合 M = x 0 < x ≤ 3 , N = x 0 < x ≤ 1 ,那么“ a ∈ M ”是“ a ∈ N ”的( B ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

{

}

{

}

则下列命题中正确的是 A ) ( 3. 已知 m ,n 为两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面, A . m / / n, m ⊥ α ? n ⊥ α C. m ⊥ α , m ⊥ n ? n // α B. α // β , m ? α , n ? β ? m // n D. m ? α , n ? α , m // β , n // β ? α // β

4. 若曲线 y = 2 x 2 的一条切线 l 与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直,则切线 l 的方程为( D ) A. x + 4 y + 3 = 0 5.已知函数 f ( x) = ? 为 A. 4 6. 已知双曲线 B. 3 C. 2 D. 1 B. x + 4 y ? 9 = 0 C. 4 x ? y + 3 = 0 D. 4 x ? y ? 2 = 0

?8 x ? 8, x ≤ 1, g ( x) = log 2 x ,则 f ( x ) 与 g ( x ) 两函数图象的交点个数 ?0, x > 1,
( C )

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 A 在双曲线上,且 a2 b2
5 = ,则双曲线的离心率等于( A ) AF2 3
B. 3 C.

AF2 ⊥ x 轴,若
A. 2

AF1

2

D.

3

?(a ? 2) x, x ≥ 2, ? 7. 若函数 f ( x) = ? 1 x 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围是( B ) ?( 2 ) ? 1, x < 2. ?
A. ( ?∞, 2) B. ( ?∞,

13 ] 8

C. (0, 2)

D. [

13 , 2) 8

8. 已知数列 {an } 中, a1 = b ( b > 0 ) an +1 = ? , 于( A. 14 C ) B. 15 C. 16

1 * (n∈N ) ,能使 an = b 的 n 可以等 an + 1
D. 17

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡相应位置的横线 上。 9. 命题“ ?x0 ∈ R , e
x0

> x0 ”的否定是

. ,b = .

10.已知向量 a = (1,1) , a ? b = 3 , a + b = 13 ,则 a =

11. 在直角坐标系 xOy 中,设集合 ? = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ,在区域 ? 内任取一点

{

}

P ( x, y ) ,则满足 x + y ≤ 1 的概率等于



12. 已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成, 根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是 13. 执行如图所示的程序框图,输出的 T = . .

第 12 题图 14. 已知函数 f ( x ) = sin ω x , g ( x ) = sin(2 x +

第 13 题图

π
2

) ,有下列命题:

①当 ω = 2 时, f ( x ) g ( x ) 的最小正周期是 ②当 ω = 1 时, f ( x ) + g ( x) 的最大值为

π
2



9 ; 8

③当 ω = 2 时,将函数 f ( x ) 的图象向左平移 其中正确命题的序号是

π
2

可以得到函数 g ( x ) 的图象.

(把你认为正确的命题的序号都填上) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a = 2 , cos B = (Ⅰ)若 b = 3 ,求 sin A 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ?ABC = 3 ,求 b , c 的值 .
21 世纪教

4 . 5

16. (本小题满分 13 分)

cm , 随机抽取 100 名学生, 测得他们的身高 (单位: ) 按照区间 [160,165) , [165,170) ,
. [170,175) , [175,180) , [180,185] 分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图) (Ⅰ)求频率分布直方图中 x 的值及身高在 170 cm 以上的学生人数; (Ⅱ)将身高在 [170,175) , [175,180) , [180,185] 区间内的学生依次记为 A , B ,

C 三个组,用分层抽样的方法从三个组中抽取 6 人,求从这三个组分别抽取的学生人数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,要从 6 名学生中抽取 2 人,用列举法计算 B 组中至少有 1 人
被抽中的概率.

17. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PD = DC = 4 , PD ⊥ 平面 ABCD ,

AD = 2 , E 为 PC 的中点.
(Ⅰ)求证: AD ⊥ PC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? PDE 的体积; (Ⅲ) AC 边上是否存在一点 M ,使得 PA // 平面 EDM ,若存在,求出 AM 的长;若 不存在,请说明理由.
P

E

D

C

A

B

18. (本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q > 1 , 4 2 是 a1 和 a4 的一个等比中项, a2 和 a3 的等差中 项为 6 ,若数列 {bn } 满足 bn = log 2 an ( n ∈ N* ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {anbn } 的前 n 项和 S n .

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的短轴长为 2 , 且与抛物线 y 2 = 4 3 x 有共同的焦 2 a b

点,椭圆 C 的左顶点为 A,右顶点为 B ,点 P 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AP ,

BP 与直线 y = 3 分别交于 G , H 两点.
(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 GH 的长度的最小值; (Ⅲ)在线段 GH 的长度取得最小值时,椭圆 C 上是否存在一点 T ,使得 ?TPA 的面积 为 1 ,若存在求出点 T 的坐标,若不存在,说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ln x + x 2 ? ax . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在其定义域上为增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 an = 1 +

1 ( n ∈ N* ) ,求证: n

2 2 3( a1 + a2 + L + an ) ? a12 ? a2 ? L ? an < ln( n + 1) + 2n .

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

学年度第二学期综合练习( 北京市东城区 2009-2010 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案 (文科) 高三数学参考答案 文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. ?x ∈ R , e x ≤ x 10. 2 , 5 11.

12. 11π 13. 20 14. ①② 注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 cos B =

1 2

4 ,又 0 < B < π , 5 3 所以 sin B = 1 ? cos 2 B = .……………………………………2 分 5 a sin B 2 由正弦定理,得 sin A = = .……………………………………6 分 b 5 1 (Ⅱ)因为 S ?ABC = ac sin B = 3 , 2 1 3 所以 × 2c × = 3 . 2 5 所以 c = 5 .……………………………………………………………………9 分
由余弦定理,得 b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B

= 2 2 + 52 ? 2 × 2 × 5 ×

= 13 .

4 5

所以 b = 13 . ……………………………………………………………………13 分 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知

5 x = 1 ? 5 × (0.07 + 0.04 + 0.02 + 0.01)

1 [1 ? 5 × 0.14] = 0.06 .……………………………………3 分 5 身高在 170 cm 以上的学生人数为
所以 x = .……………………………5 分 100 × (0.06 × 5 + 0.04 × 5 + 0.02 × 5) = 60 (人) (Ⅱ) A , B , C 三组的人数分别为 30 人, 20 人, 10 人. 因此应该从 A , B , C 三组中每组各抽取

30 ×

6 6 6 , , .…………………8 分 = 3 (人) 20 × = 2 (人) 10 × = 1 (人) 60 60 60

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 A 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 , B 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,

C 组的1 位同学为 C1 ,则从 6 名学生中抽取 2 人有15 种可能:
( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , C1 ) ,( A2 , A3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , C1 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A3 , C1 ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , C1 ) , ( B2 , C1 ) .
其中 B 组的 2 位学生至少有 1 人被抽中有 9 种可能:

( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , C1 ) , ( B2 , C1 ) .
所以 B 组中至少有 1 人被抽中的概率为 P = 17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 PD ⊥ 平面 ABCD , 所以 PD ⊥ AD .………………………………………………………………2 分 又因为 ABCD 是矩形, 所以 AD ⊥ CD . ………………………………………………………………3 分 因为 PD I CD = D , 所以 AD ⊥ 平面 PCD . 又因为 PC ? 平面 PCD , 所以 AD ⊥ PC . ………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)解:因为 AD ⊥ 平面 PCD , 所以 AD 是三棱锥 A ? PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点,且 PD = DC = 4 , 所以 S ?PDE = 又 AD = 2 , 所以 VA? PDE =

9 3 = . ……………………………13 分 15 5

1 1 1 S ?PDC = × ( × 4 × 4) = 4 .………………………………………7 分 2 2 2
P

1 1 8 ………9 分 AD ? S ?PDE = × 2 × 4 = . 3 3 3
D M A

E

(Ⅲ)取 AC 中点 M ,连结 EM , DM , 因为 E 为 PC 的中点, M 是 AC 的中点, 所以 EM / / PA . 又因为 EM ? 平面 EDM , PA ? 平面 EDM ,
C

B

所以 PA // 平面 EDM .…………………………………………………12 分 所以 AM =

1 AC = 5 . 2

即在 AC 边上存在一点 M ,使得 PA // 平面 EDM , AM 的长为 5 . …………………………………………………………14 分 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 4 2 是 a1 和 a4 的一个等比中项, 所以 a1 ? a4 = (4 2) = 32 .
2

由题意可得 ?

?a2 ? a3 = 32, …………………………………………………………2 分 ?a2 + a3 = 12.

因为 q > 1 ,所以 a3 > a2 . 解得 ?

?a2 = 4, ……………………………………………………………………4 分 ?a3 = 8.
a3 = 2. a2

所以 q =

故数列 {an } 的通项公式 an = 2 n .………………………………………………6 分 ,所以 anbn = n ? 2 n . (Ⅱ)由于 bn = log 2 an ( n ∈ N* )

S n = 1 ? 2 + 2 ? 2 2 + 3 ? 23 + L + ( n ? 1) ? 2n ?1 + n ? 2n . 2 S n = 1 ? 2 2 + 2 ? 23 + L + ( n ? 1) ? 2n + n ? 2n +1 .
①-②得 ? S n = 1 ? 2 + 2 2 + 23 + L + 2 n ? n ? 2 n +1

① ②

=

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n +1 . 1? 2

所以 S n = 2 ? 2 n +1 + n ? 2 n +1 .…………………………………………………………13 分 19. (本小题满分 13 分) 解: (I)由已知得,抛物线的焦点为 ( 3, 0) ,则 c = 由 a 2 ? b 2 = c 2 ,可得 a 2 = 4 .

3 ,又 b = 1 .

故椭圆 C 的方程为

x2 + y 2 = 1 .…………………………………………4 分 4

(Ⅱ)直线 AP 的斜率 k 显然存在,且 k > 0 ,故可设直线 AP 的方程为 y = k ( x + 2) ,从 而 G ( ? 2, 3) .

3 k

? y = k ( x + 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 + 4k ) x + 16k x + 16k ? 4 = 0 .………………………………6 分 2 ? + y = 1. ?4
设 P ( x1 , y1 ) ,则 ( ?2) x1 =

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k . 所以 x1 = ,从而 y1 = . 2 2 1 + 4k 1 + 4k 1 + 4k 2

即 P(

2 ? 8k 2 4k , ), 又 B (2, 0) , 2 1 + 4k 1 + 4 k 2 1 . 4k
得?

则直线 PB 的斜率为 ?

1 ? ? y = ? ( x ? 2), 由? 4k ? y = 3. ?
所以 H ( ?12 k + 2,3) . 故 | GH |=

? x = ?12k + 2, ? y = 3.

3 3 ? 2 + 12k ? 2 = + 12k ? 4 . k k

又k > 0, 当且仅当

3 3 + 12k ≥ 2 ?12k = 12 . k k

3 1 = 12k ,即 k = 时等号成立. k 2 1 所以当 k = 时,线段 GH 的长度取最小值 8 .…………………………………………8 分 2 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 GH 的长度取最小值时, k = . 2
则直线 AP 的方程为 x ? 2 y + 2 = 0 ,此时 P (0,1) , | AP |= 5 .

若椭圆 C 上存在点 T ,使得 ?TPA 的面积等于 1 ,则点 T 到直线 AP 的距离等于

2 5 , 5

所以 T 在平行于 AP 且与 AP 距离等于

2 5 的直线 l 上. 5

设直线 l : y =

1 x+t. 2

1 ? ? y = 2 x + t, ? 则由 ? 2 ? x + y 2 = 1. ?4 ?

得 x + 2tx + 2t ? 2 = 0 .………………………………………10 分
2 2

? = 4t 2 ? 8(t 2 ? 1) ≥ 0 .即 t 2 ≤ 2 .
由平行线间的距离公式,得 解得 t = 0 或 t = 2 (舍去) . 可求得 T ( 2,

| 2 ? 2t | 2 5 = , 5 5

2 2 ) 或 T ( ? 2, ? ) .…………………………………………13 分 2 2

20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) = ln x + x 2 ? ax 则 f ' ( x) =

( x > 0) ,

1 + 2 x ? a ( x > 0) .………………………………………………3 分 x

因为函数 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上是单调增函数, 所以 f ' ( x ) ≥ 0 在 (0, +∞ ) 上恒成立.

1 + 2 x ? a ≥ 0 在 (0, +∞ ) 上恒成立. x 1 所以 + 2x ≥ a . x 1 因为当 x > 0 时, + 2 x ≥ 2 2 , x
即 当且仅当

1 2 时等号成立. = 2x ,即 x = x 2

所以 a ≤ 2 2 时. 故实数 a 的取值范围是 (?∞, 2 2] .…………………………………………………7 分 (Ⅱ)令 a = 3 ,则 f ( x ) = ln x + x 2 ? 3 x .

f ' ( x) =

2 x 2 ? 3 x + 1 (2 x ? 1)( x ? 1) 1 = . + 2x ? 3 = x x x

' 当 x > 1 时, f ( x ) > 0 ,

所以 f ( x ) 在 (1, +∞ ) 上是增函数.

1 n 1 1 1 所以 ln(1 + ) + (1 + ) 2 ? 3(1 + ) > ?2 . n n n 1 1 1 所以 3(1 + ) ? (1 + ) 2 < 2 + ln(1 + ) . n n n 1 2 即 3an ? an < 2 + ln(1 + ) .…………………………………………………10 分 n
所以 f (1 + ) > f (1) = ?2 . 所以 3a1 ? a12 < 2 + ln(1 + 1) ,

1 2 3a2 ? a2 < 2 + ln(1 + ) , 2 1 2 3a3 ? a3 < 2 + ln(1 + ) , 3
……

1 2 3an ? an < 2 + ln(1 + ) . n
2 2 所以 3( a1 + a2 + L + an ) ? a12 ? a2 ? L ? an 2 2 = (3a1 ? a12 ) + (3a2 ? a2 ) + L + (3an ? an )

2 3 n +1 < (2 + ln ) + (2 + ln ) + L + (2 + ln ) 1 2 n
< 2n + ln( n + 1) .
故所证不等式成立.……………………………………………………………14 分


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