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陕西省西安市长安区第一中学2014届高三数学上学期第一次模拟考试试题


陕西省西安市长安区第一中学 2014 届高三上学期第一次模拟考试 数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 100 分 钟. 第Ⅰ卷 选择题 (共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) i 1. 复数 ( i 为虚数单位)的虚部是( ) 1 ? 2i
1 A. i 5

B. ?

1 5

1 C. ? i 5

D.

1 5

2. 执行右面的框图,若输出结果为

1 ,则输入的实数 x 的值是 2
C.

A.

3 2

B.

1 4

2 2

D. 2

3.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x ? y, 则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. B.函数 f ( x) ? tan x 的定义域为 {x | x ? k? , k ? Z} . C.命题“ ?x ? R, 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x ? R, 均有 “

x2 ? x ? 1 ? 0 ” .

a x ? 1 垂直”的必要不充分条件. 4 4.要得到函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象沿 x 轴(
D.“ a ? 2 ”是“直线 y ? ?ax ? 2 与 y ? A.向右平移 C.向右平移

)

? 个单位 4 ? 个单位 2

B.向左平移 D.向左平移

? 个单位 4 ? 个单位 2

5. 设 (5 x ?

1 x

) n 的展开式的各项系数和为 M ,二项式系数和为 N ,若 M ? N ? 240 ,则

展开式中 x 的系数为 A. ?150 B. 150 C. 300 D. ?300

?log 2 x, x ? 0 ? 6. 已知函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 1 ? 2 ?

1

A. ? 1,0)(0,1 ( ? ) C. ? 1,0)( , ?) ( ?1? 7. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

B. ? ?, 1 ? 1 ? ?) ( ? )( , D. ? ?, 1 ? 0,1 ( ? )( )

?
4

将 ), ( x ? R , ? ? 0) 的最小正周期为 ? , y ? f (x) 的图像向

左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是

A.

? 2

B.

3? 8

C.

? 4

D.

? 8

? x ? 2 ? 0, ? 8. 已知点 P( x, y ) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动, Z ? x ? y 的取值 则 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
范围是( ) B.[-1,2] C.[-2,1] D.[1,2]

A.[-2,-1]

9. 定义两种运算: a ? b ? ( ) A.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 10. 若关于 x 的方程

a 2 ? b 2 , a ? b ? (a ? b) 2 ,则函数 f ? x ? ?

2? x 2 ? ? x ? 2?

B.是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

| x| ? kx2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为 x?4 1 1 A. (0,1) B. ( ,1) C. ( , ??) D. (1, ??) 4 4 第Ⅱ卷 非选择题 (共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
11. 已知椭圆 x ? ky ? 3k (k ? 0)的一个焦点与抛物线y ? 12 x 的焦点重合, 则该椭圆 的离心率是 .
2 2 2

12. 2 ?1 ? 2, 2 ?1? 3 ? 3 ? 4, 2 ?1? 3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 6, 2 ?1? 3 ? 5 ? 7 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8, … 依此
1 2 3 4

类推,第 n 个等式为

.

13. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三

? ? ? 14.已知向量 a ? ( x, 2), b ? (4, y ), c ? ( x, y )( x ? 0, y ? 0) , ? ? ? 若 a // b 则 c 的最小值为 .
15. 设矩形区域 ? 由直线 x ? ?

角形,则这个几何体的体积为

.

?
2

和 y ? ?1 所围成的平面图形,区

11 题图

2

域 D 是由余弦函数 y ? cos x 、 x ? ?

?
2

及 y ? ?1 所围成的平面图形.在区域 ? 内随 .

机的抛掷一粒豆子,则该豆子落在区域 D 的概率是

三.解答题:本大题 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 已 知 平 面 向 量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos x,sin x) , c ? (sin ? , ? cos ? ) , 其 中

?

?

?

(1)求 ? 的值;

? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,且函数 f ( x) ? (a ? b) cos x ? (b ? c)sin x 的图象过点 ( ,1) . 6

(2)将函数 y ? f (x) 图象上各点的横坐标变为原来的的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

y ? g (x) 的图象,求函数 y ? g (x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值. 2
17. (本小题满分 15 分) 某企业招聘工作人员,设置 A 、 B 、 C 三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、 丁、戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加 A 组测试,丙、丁两人各自独立 参加 B 组测试.已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 试的概率均为

?

1 ,丙、丁两人各自通过测 3

1 .戊参加 C 组测试,C 组共有 6 道试题,戊会其中 4 题.戊只能且必须 2

选择 4 题作答,答对 3 题则竞聘成功. (Ⅰ)求戊竞聘成功的概率; (Ⅱ)求参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数的概率; (Ⅲ)记 A 、 B 组测试通过的总人数为 ? ,求 ? 的分布列和期望. 18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD ∥ BC , ?ADC ? 90? , 平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA ? PD ? 2 ,

BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2

(Ⅰ)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)若 M 为棱 PC 的中点,求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值; P

M D Q A C B
3

19. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 , 椭 圆 的 短 轴 端 点 与 双 曲 线 2 a b 2

y2 ? x 2 =1 的焦点重合,过点 P(4,0) 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两 2
点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围; 20. (本小题满分 18 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2ln x, g ( x) ? xe .(a ? R, e ? 2.71828?) (I)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 在区间 (0, ) 无零点,求 a 的最小值; (III)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e ? , 在 ? 0, e ? 上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2) 使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.
1? x

1 2

长安一中高 2011 级高三第一次模考试卷 数学理科参考答案 一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 B 5 B 6 A 7 D 8 B 9 A 10 C

二、填空题: 每小题 5 分,共 25 分.

3? 2 n 2 . 11. ; ;12. 2 ×1×3×??(2n-1)=(n+1)·?(2n-1)·2n
8?? 3 ;14.4 6 三、解答题
13. 15. P ?

2?? . 2?
????????1 分

16. (1) ? a ? b ? cos ? cos x ? sin ? sin x ? cos( ? ? x)

? ?

? ? ??? x b ? c ? cos x sin ? ? sin x cos ? ? sin( x? ? ) ? ???????????2 分 ? ? ? ? ? f ( x) ? (a ? b) cos x ? (b ? c) sin x ? cos(? ? x) cos x ? sin(? ? x)sin x

4

? cos(? ? x ? x) ? cos(2 x ? ? ) , 即 f ( x) ? cos(2 x ? ? )
∴ f ( ) ? cos(

???????????4 分

?

?

6 3 而0 ?? ?? ,
∴? ?

? ?) ? 1,

?
3



???????????6 分

(2)由(1)得, f ( x) ? cos(2 x ? 于是 g ( x) ? cos(2( x) ? 即 g ( x) ? cos( x ? 当 x ? [0, 所以

?
3

),

?

1 2

?
3

),
???????????9 分

?
2

3

).

] 时, ?

?
3

? x?

?
3

?

?
6

, ???????????11 分

1 ? ? cos( x ? ) ? 1 , 2 3

即当 x ? 0 时, g ( x) 取得最小值 当x?

?
3

1 , 2
????????13 分

时, g ( x) 取得最大值 1 .

17.解: (I) 设戊竞聘成功为 A 事件,则

P ? A? =

4 3 1 C4 +C4 C2 1+8 3 = = C64 15 5

????4 分

(Ⅱ)设“参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数”为 B 事件

1 2 ?1? 1 1 3 7 p ? B? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 2 ? 3 3 4 36
(Ⅲ) ? 可取 0,1,2,3,4

2

???5 分

?
P

0

1

2

3

4

4 36

12 36

13 36

6 36

1 36

E? ?
18.证明:

5 (注:每个概率 1 分,列表 1 分,期望 1 分)????6 分 3

(Ⅰ)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.
5

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC=

?????6 分

z P M D Q A x B C y

1 AD,Q 为 AD 的中点∴ BC // DQ 且 BC= DQ, 2

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即 QB⊥AD. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ????6 分 (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. (注:不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分)

????8 分

如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则 Q (0, 0, 0) , A(1,0,0) , P (0, 0, 3) ,

B(0, 3, 0) , C (?1, 3, 0)
1 3 3 M (? , , ) 2 2 2 ??? ? ???? ? 1 3 3 ∴ AP ? (?1,0, 3), BM ? (? , ? , ) 2 2 2 设异面直线 AP 与 BM 所成角为 ? ??? ???? ? ? ??? ???? ? ? AP ? BM 2 ? ? 则 cos? ? | cos ? AP, BM ?|?| ??? ???? | = 7 | AP || BM | 7 2 ∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为 ????8 分, 7 7 (注:用传统方法相应给分,找角 2 分,求解 2 分) c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b 2 ??2 分 19.解(Ⅰ)解:由题意知 e ? ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 4 a 2 3 a a
∵M 是 PC 中点,∴ 又双曲线的焦点坐标为 0, ? 3 , b= 3 ,
y2 x2 ? ?1 4 3

?

?

??????3 分

b ∴ a 2 ? 4, 2 ? 3

故椭圆的方程为

??????6 分

(Ⅱ)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4)
? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? 4 ? 3 ?1 ?

6

由 ? ? (?32k 2 ) 2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ?

1 4

????9 分

设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 ,x1 x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2 ????7 分

??? ??? ? ? 64k 2 -12 32k 2 87 2 2 ? OA ? OB =x1 x2 +y1 y2 = ?1+k 2 ? ? - 4k ? + 16k = 25- 2 ?11 分 2 2 4k +3 4k +3 4k +3

0 ? k2<

1 87 87 87 ,? - 2 <- ,????9 分 4 3 4k +3 4
??? ??? ? ? ? 13 ? OA ? OB 的取值范围是 ? -4, ? ? 4?
????15 分

??? ??? ? 13 ? ? ? OA ? OB ? ? -4, ? ? 4?

20、解: (I)当 a ? 1时, f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x, 则f ?( x) ? 1 ? 由 f ?( x) ? 0, 得x ? 2; 由 f ?( x) ? 0, 得0 ? x ? 2.

2 , ????2 分 x
????3 分 ????4 分

故 f ( x)的单调减区间为? 0, 2? , 单调增区间为? 2, ?? ? . (II)∵函数 f ( x)在(0, ) 上无零点,

1 2 1 ∴对任意的 x ? (0, ), f ( x) ? 0 恒成立,或者 f ( x) ? 0 恒成立, 2 1 因为 f ( x) ? 0在区间(0, ) 上恒成立不可能, 2 1 2ln x 所以对 x ? (0, ), a ? 2 ? 恒成立. ??6 分 2 x ?1 2ln x 1 令 l ( x) ? 2 ? , x ? (0, ), x ?1 2

2 2 ( x ? 1) ? 2ln x 2ln x ? ? 2 x 则 l ?( x) ? ? x ? , 2 ( x ? 1) ( x ? 1)2
2 1 ? 2, x ? (0, ), x 2 2 2 ?2(1 ? x) 则m?( x) ? ? 2 ? ? ? 0, x x x2 再令m( x) ? 2 ln x ?

????7 分

7

1 1 故m( x)在(0, )上为减函数, 于是m( x) ? m( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0, 2 2 ????9 分 1 所以l ?( x) ? 0, 故l ( x)在(0, )上为增函数, 2

1 所以l ( x) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2, 2 2 ln x 故要使a ? 2 ? 恒成立, 只要a ? ? 2 ? 4 ln 2, ?? ? , x ?1
综上,若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 则a的最小值为2 ? 4ln 2. ????11 分 (III) g ?( x) ? e
1? x

1 2

? xe1? x ? (1 ? x)e1? x ,

当x ? (0,1)时, g ?( x) ? 0, 函数g( x)单调递增; 当x ? ?1, e ?时, g ?( x) ? 0, 函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e ? e1?e ? 0,
所以,函数 g ( x)在 ? 0, e? 上的值域为? 0,1?. ????12 分

当a ? 2时, 不合题意;

当a ? 2时, f ?( x) ? 2 ? a ? 当x ?
故0 ?

2 (2 ? a) x ? 2 ? ? x x

(2 ? a)( x ? x

2 ) 2 ? a , x ? ? 0, e ?

2 时, f ?( x) ? 0.由题意得, f ( x)在 ? 0, e ? 上不单调, 2?a
2 2 ? e,即a ? 2 ? 2?a e
① ????14 分

此时,当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

x

(0,

2 ) 2?a


2 2?a
0 最小值

? 2 ? , e? ? ?2?a ?
+

f ?( x)
f ( x)

又因为当x ? 0时, f ( x) ? ??, f( 2 2 ) ? a ? 2 ln , f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2, 所以,当且仅当a满足下列条件 : 2?a 2?a

8

2 2 ? ? ) ? 0, ?a ? 2 ln ? 0??? ?f( 即? 2?a ? 2?a ? f (e) ? 1, ?(2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? 1?? ? ?
经验证②对任意 a ? (??, 2 ? ) 恒成立. 由③式解得: a ? 2 ?

2 e

3 . e ?1
? ?



????16 分

综合①④可知,当 a ? ? ??, 2 ?

3 ? ? 时, 对任意给定的x0 ? ? 0, e? , e ? 1?

在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 立????18 分

9


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