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江西省宜春市2017届高三第二次模拟考试数学(理)


江西省宜春市 2017 届高三第二次模拟考试 数学试卷(理科)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? (1 ? i) ? i 3 的共轭复数是( A. ? 1 ? i 2. 若集合 A ? {x | A.2 或 2 3.命题“ ?x ? 0 , A . ?x ? 0 , B. 1 ? i C. ? 1 ? i )

D. 1 ? i )

x ? x 2 ? 2 , x ? R} , B ? {1, m} ,若 A ? B ,则 m 的值为(
B. ? 1 或 2 C.2 ) D. ? 1

x?2 ? 0 ”的否定是( x
B. ? x ? 0 ,

x?2 ?0 x

x?2 ?0 x

C. ? x ? 0 , 0 ? x ? 2

D. ? x ? 0 , 0 ? x ? 2 )

4.各项均为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 10, S12 ? 130 ,则 S8 ? ( A. ? 30 B.40 C.40 或 ? 30 D.40 或 ? 50

5.我国古代数学典籍《九章算术》 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题: “今有垣厚十尺,两鼠对穿, 初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出 结果 n ? ( )

A.4

B.5

C.2

D.3 )

6.一个四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角三角形,则该几何体的体积为(

A.

2 2 3

B.

4 3

C. 2
?

D.4

7.已知数列 {an } 是等差数列, a1 ? cot585 , a6 ? 11a1 ,设 S n 为数列 {(?1) n an } 的前 n 项和,则

S 2017 ? (
A.3022

) B. ? 3022 C.2017 D. ? 2017

8.若 ( x ?
3

a 1 n ) 的展开式中含有常数项,且 n 的最小值为 a ,则 ? a 2 ? x 2 dx ? ( ?a x



A.0

B.

686 3

C.

49? 2

D. 49?

9.将一个质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现 的点数为 a ,第二次出现的点数为 b ,若已知出现了点数 5,则使不等式 a ? b ? 3 ? 0 成立的事件发 生的概率为( A. ) B.

33 36

3 4

C.

9 11

D.

5 18

10.已知 A, B 分别为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左、 右焦点, 不同两点 P, Q 在双曲线 C a2 b2 16

上,且关于 x 轴对称,设直线 AP, BQ 的斜率分别为 ? , ? ,则当 离心率为( A. 5 ) B. 3 C. 2 D. 2 2

??

? ?? 取最大值时,双曲线 C 的

11.已知向量 OA 与 OB 的夹角为 ? ,| OA |? 2 ,| OB |? 1 ,OP ? t OA ,OQ ? (1 ? t )OB ,| PQ | 在

1 时, cos ? 的取值范围为( ) 4 1 1 1 1 1 1 A. (? ,0) B. (? ,? ) C. ( ,1) D. ( ? , ) 2 2 4 4 2 4 12.已知 f ( x) 是定义域为 (0,??) 的单调函数,若对任意的 x ? (0,??) ,都有 f [ f ( x) ? log1 x] ? 4 ,

t 0 时取最小值,当 0 ? t 0 ?

3

且方程 | f ( x) ? 3 |? x ? 6 x ? 9 x ? 4 ? a 在区间 [0,3] 上有两解,则实数 a 的取值范围是(
3 2



A. 0 ? a ? 5

B. a ? 5

C. 0 ? a ? 5

D. a ? 5

第Ⅱ卷 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量 a ? (1, x) , b ? (1, x ? 1) ,若 (a ? 2b) ? a ,则 | a ? 2b |? . 14.已知圆 x ? y ? 1和圆外一点 P(1,2) ,过点 P 作圆的切线,则切线方程为.
2 2

15.在三棱锥 P ? ABC 中, PA, PB, PC 两两互相垂直,且 AB ? 4, AC ? 5 ,则 BC 的取值范围是.

16.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,其图象关于点 (1,0) 中心对称,其导函数为 f ' ( x) ,当 x ? 1 时,

( x ? 1)[ f ( x) ? ( x ? 1) f ' ( x)] ? 0 ,则不等式 xf ( x ? 1) ? f (2) 的解集为.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 如图,某生态园将一块三角形地 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园,已知角 A 为 120? , AB, AC 的长度均大于 200 米,现在边界 AP, AQ 处建围墙,在 PQ 处围竹篱笆. (1)若围墙 AP 、 AQ 总长度为 200 米,如何可使得三角形地块 APQ 面积最大? (2)已知竹篱笆长为 50 3 米, AP 段围墙高 1 米, AQ 段围墙高 2 米,造价均为每平方米 100 元, 若 AP ? AQ ,求围墙总造价的取值范围.

18.在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中,甲、乙两班各有 6 名选手参赛,在第一轮笔试环节中, 评委将他们的笔试成绩作为样本数据,绘制成如图所示的茎叶图,为了增加结果的神秘感,主持人 故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩,只是告诉大家,如果某位选手的成绩高于 90 分(不 含 90 分) ,则直接“晋级”. (1)求乙班总分超过甲班的概率; (2)主持人最后宣布:甲班第六位选手的得分是 90 分,乙班第六位选手的得分是 97 分.若主持人 从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取 2 个,记抽取到“晋级”选手的总人数为 ? ,求 ? 的分布列 及数学期望.

19.如图 1,已知在菱形 ABCD 中, ?B ? 120 , E 为 AB 的中点,现将四边形 EBCD 沿 DC 折起
?

至 EBHD ,如图 2.

(1)求证: DE ? 面 ABE ; (2)若二面角 A ? DE ? H 的大小为

2? ,求平面 ABH 与平面 ADE 所成锐二面角的余弦值. 3
2

20.已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O ,离心率为双曲线 y ?

x2 ? 1 离心率的一半,直线 2

y ? x 被椭圆 E 截得的线段长为
个相异点,且 AP ? ? PB . (1)求椭圆 E 的方程;

4 10 .直线 l : y ? kx ? m 与 y 轴交于点 P ,与椭圆 E 交于 A, B 两 5

(2)是否存在实数 m ,使 OA ? ? OB ? 4OP ?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 21.设定义在区间 [ x1 , x2 ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象为 C , A( x1 , f ((x1 )) 、 B( x2 , f ((x2 )) ,且

M ( x, f ( x)) 为图象 C 上的任意一点, O 为坐标原点,当实数 ? 满足 x ? ?x1 ? (1 ? ? ) x2 时,记向量

ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB ,若 | MN |? k 恒成立,则称函数 y ? f ( x) 在区间 [ x1 , x2 ] 上可在标准 k 下
线性近似,其中 k 是一个确定的正数. (1)设函数 f ( x) ? x 在区间 [0,1] 上可在标准 k 下线性近似,求 k 的取值范围;
2

(2)已知函数 g ( x) ? ln x 的反函数为 h( x) ,函数 F ( x) ? [h( x)] ? x , (a ? 0) ,点 C ( x1 , F ((x1 )) 、
a

D( x2 , F ((x2 )) ,记直线 CD 的斜率为 ? ,若 x1 ? x2 ? 0 ,问:是否存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 F ' ( x0 ) ? ?

成立?若存在,求 x0 的取值范围;若不存在,请说明理由. 请考生在第 22、23 二题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一题计分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos? ( t 为参数,0 ? ? ? ? ) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正 ? y ? ?2 ? t sin ?

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 1 , l 与 C 交于不同的两点 P 1, P 2. (1)求 ? 的取值范围; (2)以 ? 为参数,求线段 P 1P 2 中点轨迹的参数方程.

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | . (1)解不等式 f ( x) ? 5 ; (2)若 f ( x) ? (log2 a) ? log
2

2

a 对任意实数 x 恒成立,求 a 的取值范围.

宜春市 2016~2017 学年第二学期期末统考 数学试卷答案(理)
一、选择题: 1 D 2 C 3 C 4 B 5 A 6 B 7 D 8 C 9 C 10 A 11 D 12 A

2

(3, 41)

二、填空题: 13.14. 3x ? 4 y ? 5 ? 0或x ? 115. 16. ? ??, ?1? ? ?1, ??? 三、解答题: 17.解:(1)设 AP ? x (米),则 AQ ? 200 ? x ,所以

S?APQ

1 3 ? 200 ? 2 ? x ? 200 ? x ? sin1200 ? ? ? ? 2500 3 (米 ) 2 4 ? 2 ?

2

当且仅当 x ? 200 ? x 时,取等号。即 AP ? AQ ? 100 (米), Smax ? 2500 3 (米 2) (2)由正弦定理 故围墙总造价

AP AQ PQ ? ? , 得 AP ? 100sin ?AQP, AQ ? 100sin ?APQ sin ?AQP sin ?APQ sin ?A

y ? 100 ? AP ? 2 AQ ? ? 100000 ? sin ?AQP ? 2sin ?APQ ? ? 10000 3 cos ?AQP
所以

因为 AP ? AQ ,

?
6

? ?AQP ?

?
3

,?

3 3 ? 3 cos ?AQP ? 2 2
?

15000? (元) 所以围墙总造价的取值范围为 5000 3,
18. 解: (1)甲班前 5 位选手的总分为 88 ? 89 ? 90 ? 91 ? 92 ? 450 , 乙班前 5 位选手的总分为 82 ? 84 ? 92 ? 91 ? 94 ? 443 , 若乙班总分超过甲班,则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为: (90,98) , (90,99) , (91,99) ,共三个, ∴乙班总分超过甲班的概率为 p ?

?

3 3 ? . 10 ? 10 100

(2) ? 的可能取值为 0,1,2,3,4,
2 2 P(? ? 0) ? C4 C2 ? 6 2 2 C6 C4 225 1 1 2 2 1 1 P(? ? 1) ? C2C4C2 ? C4 C4C2 ? 56 2 2 C6 C6 225 1 1 1 1 2 2 P(? ? 2) ? C2C4C4C2 ? C4 C4 ? 101 2 2 C6 C6 225 2 1 1 1 1 2 P(? ? 3) ? C2 C4C2 ? C2C4C4 ? 56 2 2 C6 C6 225

2 2 P(? ? 4) ? C2 C4 ? 6 2 2 C6 C6 225

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

6 56 101 225 225 225 6 56 101 56 6 E? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ?2 225 225 225 225 225 19. 证明:(1)∵四边形 ABCD 为菱形,且 ?B ? 1200 ,
? ?ABD 为正三角形,

56 225

6 225

∵ E 为 AB 的中点? DE ? AE, DE ? BE

? DE ? 面ABE

(注:三个条件中,每少一个扣 1 分)

(2)以点 E 为坐标原点,分别以线段 ED,EA 所在直线为 x,y 轴,再以过点 E 且垂直于平面 ADE 且 向上的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.

? DE ? 面ABE ,? ?AEB 为二面角 A-DE-H 的一个平面角,??AEB ?
设 AE =1 则 E ? 0, 0, 0 ? , A ? 0,1, 0 ? , B ? ? 0, ? ,

2? 3

? ?

1 3? ?, D 2 2 ? ?

?

3, 0, 0

?

由 DH ? 2EB 得 H

???? ?

??? ?

?

3, ?1, 3

?
3, ?2, 3

??? ? ? 3 3 ? ???? ? AB ? ? 0, ? , ? , AH ? ? 2 2 ? ? ?

?

?

? 3 3 ? z?0 ?? y ? 2 设平面 ABH 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? 2 ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0 ?
令 y ? 3 得 n ? ?1, 3,3

?

?

?
??

而平面 ADE 的一个法向量为 m ? ? 0, 0,1? 设平面 ABH 与平面 ADE 所成锐二面角的大小为 ?

? ?? n?m 3 13 3 13 ? 则 cos ? ? ? ?? ? . 13 13 n ?m

所以平面 ABH 与平面 ADE 所成锐二面角的余弦值为

3 13 13

20. 解(1)设椭圆的方程为

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

由题意可得

a 2 ? b2 3 ? ? a ? 2b a 2
5 5 5

a 5 a 5 4 10 将 y ? x 代入椭圆 E 得: x ? ? ? 2? 2 ? = ?a?2

y2 ? x 2 ? 1; 4 ??? ? ??? ? ??? ? (2) 假设存在实数 m,使 OA ? ? OB ? 4OP 则
所以椭圆 E 的方程为 由题意可得 P(0, m) , 当 m ? 0 时,

O、P 重合,

? ? 1 显然成立
当 m ? 0 时,由 AP ? ? PB 可得 OP ? OA ? ? OB ? OP ? OA ? ? OB ? ?1 ? ? ? OP 所以 ? ? 3 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 AP ? 3PB ,可得 x1 ? ?3x2 ① 把直线 y ? kx ? m 代入椭圆方程
2 2 2 可得 k ? 4 x ? 2kmx ? m ? 4 ? 0

??? ?

??? ?

?

?

所以 x1 ? x2 ?

?2km k2 ? 4

x1 ? x2 ?

m2 ? 4 ?? ② k2 ? 4
m2 ? 4 .......10分 1 ? m2

由①②可得,m 2 k 2 ? m 2 ? k 2 ? 4 ? 0 ? k 2 ?

?m

2

? 1, 否则m 2 k 2 ? m 2 ? k 2 ? 4 ? 0无意义 ?

2 2 2 2 2 2 由 ? ? 4m k ? 4 k ? 4 m ? 4 ? 0 ? k ? 4 ? m ? 0

?

??

?

2 m ?4 m 所以 k 2 ? 4 ? m2 ? m ? 4 ? 4 ? m2 ? ? 0 ? 1 ? m2 ? 4 2 2 2 2

?

?

1? m

1? m

综上可得: m 的取值范围是 (?2,?1) ? (1,2) ? {0} . 21.解: (1)由 x ? ? x1 ? ?1 ? ? ? x2 与 ON ? ? OA ? ?1 ? ? ? OB , 得 N 和 M 的横坐标相同。 对于区间 [0,1] 上的函数 f ( x) ? x , A(0,0), B(1,1) ,
2

????

??? ?

??? ?

则有 MN ? x ? x 2 ? ? ? x ?

???? ?

? ?

1? 1 ? ? , 2? 4

2

???? ? ???? ? ? 1? 1 ?1 ? ? MN ? ?0, ? ,再由 MN ? k 恒成立,可得 k ? .故 k 的取值范围为 ? , +? ? 4 ? 4? ?4 ?
(2)由题意知,

??

eax2 ? eax1 eax2 ? eax1 ? 1 令 G ? x ? ? F' ? x ? ? ? ? aeax ? x2 ? x1 x2 ? x1

.则

G ? x1 ? =ae G ? x2 ? =

ax1

eax2 ? eax1 eax1 ? a x ?x ? ?? ?a ? x2 ? x1 ? ? e ? 2 1 ? ? 1? ? ? x2 ? x1 x2 ? x1

eax2 ? a x ?x ?a ? x1 ? x2 ? ? e ? 1 2 ? ? 1? ? ? x2 ? x1
t t

令 ? ?t ? ? ?t ? e ?1 .则 ?' ?t ? ? ?1 ? e 当 t<0 时,

?' ?t ? ? 0 , ? ?t ? 单调递减;当 t>0 时, ?' ?t ? ? 0 , ? ?t ? 单调递增.

故当 t≠0 时,

? ?t ? ? ? ? 0? ? 0 0,即 ?t ? et ? 1 ? 0 , 又因为x1 ? x2 ? 0
a? x2 ? x1 ?

从而 ?a ? x2 ? x1 ? ? e

? 1 ? 0, ?a ? x1 ? x2 ? ? ea? x1 ? x2 ? ? 1 ? 0

所以 G ? x2 ? ? 0, G ? x1 ? ? 0 . 由零点存在性定理可得:存在 c ? ? x1 , x2 ? ,使得 G ? c ? ? 0

' 又G ? x? =a e ? 0 ,所以 G ? x ? 单调递增,故存在唯一的 c ,使得 G ? c ? ? 0 .
2 ax

? 1 eax2 ? eax1 ? 1 eax2 ? eax1 F' ? x0 ? ? ? 由 G ? c ? ? 0 ? c = ln .故当且仅当 x0 ? ? ln , x2 ? 时, a a( x2 ? x1 ) ? a a( x2 ? x1 ) ?
综上所述,存在

x0 ? ? x1, x2 ?

,使

F' ? x0 ? ? ?

成立,且

ax ax x0 的取值范围为 ? 1 ln e 2 ? e 1 , x ? ? 2? ? a a( x2 ? x1 ) ?

请考生在(22) 、 (23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. (22)解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ,将 ?
2 2

? x ? t cos? 2 2 代入 x ? y ? 1 得 y ? ? 2 ? t sin ? ?

t 2 ? 4t sin ? ? 3 ? 0 (*)
由 16sin
2

? ?12 ? 0 ,得 | sin ? |?
? 2?
3 , 3 );

3 ,又 0 ? ? ? ? , 2

所以, ? 的取值范围是 (

(2)由(*)可知,

? x ? t cos? t1 ? t 2 ? 2 sin ? ,代入 ? 中, 2 ? y ? ?2 ? t sin ? ? x ? sin 2? ? 2? ) ( ? 为参数, ? ? ? 3 3 ? y ? ?1 ? cos2?

整理得 P 1P 2 的中点的轨迹方程为 ?

23.(1)原不等式可化为: ?

? x ? ?1, ??1 ? x ? 2, ? x ? 2, 或? 或? ?1 ? 2 x ? 5, ?3 ? 5, ?2 x ? 1 ? 5.

解得: x ? ?2或x ? 3 ,所以解集为: (??, ?2) ? (3, ??) . (2)因为 | x ? 2 | ? | x ? 1|?| x ? 2 ? ( x ? 1) |? 3 , 所以 f ( x) ? 3 ,当 x ? ?1 时等号成立. 所以 f ( x)min ? 3 .

又 (log 2 a) ? log
2

2

a ? 3 ? (log 2 a)2 ? 2log 2 a ? 3 ? 0 ? ?1 ? log 2 a ? 3 ,



1 ?a?8. 2
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