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数列求和公开课教案 (1)


《数列求和复习》教学设计
开课时间:2016/12/22 一、学情分析: 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、 通项公式、求和公式,同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本 节课作为一节复习课, 将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前 n 项和, 从而 培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计: 本节课设计的指导思想是:讲究效率,加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切 入点,引导学生进行探索、讨论,注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点,然后剖析 需要解决的问题,在例题中巩固相应方法,再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解,从 而较好地完成知识的建构,更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法: (1)诱导思维法:使学生对知识进行主动建构,有利于调动学生的主动性和积极性, 发挥其创造性; (2)讲练结合法:可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点。 三、教学设计: 1、教材的地位与作用: 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一, 属于高考命题中常考的内容; 另一个 面, 数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。 化归与转化思想是本课时的重点数 学思想方法, 化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想, 即把数学中待解决 或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,选择恰当的方法进行变换、转 化, 归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上, 最终解决原问题的一种数学思想 方法;化归思想是解决数学问题的基本思想,解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点: 教学重点:根据数列通项求数列的前 n 项,本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点:解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标: (1)知识与技能: 会根据通项公式选择求和的方法,并能运用分组求和与裂项法求数列的前 n 项。 (2)过程与方法: ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力; ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习, 提高学生分析问题和解决问题的能力, 使不同 层次的学生的能力都能得到提高。 (3)情感、态度与价值观: ①通过对数列的通项公式的分析和探究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神; ②通过对数列通项和数列求和问题的分析和探究,使学生养成细心观察、认真分析、 善于总结的良好思维习惯;
1

开课人:洪来春

四、教学过程: 教 一、复习引入 (一)巩固: 求下列数列的前 n 项和: 学 步 骤 教 学 活 动 设计意图

学生练习,教师提问 充分发挥学生 学习的能动性 , 以学生为主体 , 展开课堂教学 教师提问,学生回答

____ (1) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? __________
(2)

1 1 2 1 n ? ( ) ??? ( ) ? __________ _ 2 2 2
2

(3) sin

1? ? sin 2 ? ? ?? sin 2 89? ? __________

(4) 1

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? .?? ? (n ? n ) ? __________ _ 2 4 8 2

(5)

1 1 1 1 ? ? ? ?? ? __________ 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1)

(6) 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ? __________ (二)总结 数列求和的常用方法 1、公式法 等差数列前 n 项和 Sn=

n( a1 ? a n ) n(n ? 1) d = na1 ? 2 2

?na1 , q ? 1 ? 等比数列前 n 项和 Sn= ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1? q ? 1? q ,q ? 1 ?
2、倒序相加法: 3、分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 4、裂项相消:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式, 相加过程消去中间项,只剩有限项再求和. 常见的拆项公式 1 1 1 (1) = - ; n? n +1? n n+1 (2) 1 ? 1 1 1 - ? =2? 2n - 1 2n +1?; ? (2n ? 1)(2n ? 1) 1 n+ n+1 = n+1- n.

通过学生对几 种常见的求和 方法的归纳、 总 结 , 简单回忆各方 法的应用背景 . 把遗忘的知识 点形成了一个 完整的知识体 系

(3)

5、错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列 对应项 相乘构成的数列求和.

2

二、例题选讲: 例 1、 (2013·新课标Ⅰ高考文科·T17)

已知等差数列 {an }的前n项和sn 满足s3 ? 0, s5 ? 5 ( 1 )求{an }的通项公式
(2)求数列 { 1 }的前n项和 a 2 n?1a 2 n?1


【解题指南】 (Ⅰ)利用 及公差,利用

S 3 ? 0 , S 5 ? 5 求出等差数列的首项

an ? a1 ? (n ? 1)d 求出 {an } 的通项公式;

? ? 1 ? ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 ? ? (Ⅱ)将(Ⅰ)中的通项公式,代入到 中,利用
裂项相消法求前 n 项和. 【 解 析 】( Ⅰ ) 设 数 列

学生思考,讨论后,教 师重点讲解对通项的处 理,以及消去的项和留 下的项的处理 教师小结: 1、注意点:使用裂项 相消法求和时,要注意 正负项相消时,消去了 哪些项, 保留了哪些项, 切不可漏写未被消去的 项,未被消去的项有前 后对称的特点. 2、常见的拆项公式 1 1 (1) ?n-n+k?; ? ? 1 = ? 2n -1? ? 2n +1? 1 ? 1? 1 - ; 2?2n-1 2n+1? (3) ( 1 1 = k n+ n+k -

综合应用所学 知识,求出通 项, 能由通项特 点选择方法

{an } 的 公 差 为 d , 则 (2)

主要是复习裂 项法的基本操 作

S n ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

.

?3a1 ? 3d ? 0 ?a ? 1 解( 1 )由已知可得 , 解得? 1 ? ?d ? ?1 ?5a1 ? 10d ? ?5
故an ? 2 ? n
( 2 ) 由 ( 1 ) 知

n+k 1 1 n). = n? n +k? k

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) a 2 n?1a 2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1 ,

学生练习、讨论,教师 提问、引导

? ? 1 设数列? ?的前n项和Tn ? a 2 n ?1 a 2 n?1 ?
Tn ? 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ? ? ??? ? ? )? 2 ?1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n

例 2、 (2016·北京卷) 已 知

?an ?

是 等 差 数 列 ,

{bn }

是 等 比 数 列 , 且

b2 ? 3, b3 ? 9, a1 ? b1 , a14 ? b4

3

(1)求数列 {an },{bn }的通项公式 (2)设cn ? an ? bn , 求数列 {c n }的前n项和
b 解:由 {bn }是等比数列知 q ? 3 ? 3, b1 ? 1, 所以bn ? 3n?1 b2
多媒体显示题目 学生先独立思考,后讨 论,最后教师由学生的 回答概括出各种解法。

教师小结: 分组求和法 a14 ? a1 27 ? 1 一个数列的通项公式是 d? ? ? 2, a n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 14 ? 1 13 由若干个等差数列或等 比数列或可求和的数列 (2)cn ? an ? bn ? (1 ? 3 ? 5 ? ??? 2n - 1 ) ? ( 1 ? 3 ? 9 ? ??? 3n-1) 组成,则求和时可用分 组求和法,分别求和后 n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 3n 3n ? 1 2 再相加减. ? ? ?n ?

{an }是等差数列, a1 ? b1 ? 1 ,a14 ? b4 ? 33 ? 27,

通过例题题, 让 学生能分析和 式的特点, 灵活 选择合适的方 法—分组求和。

巩固所学方法

2

1? 3

2

(机动题)例 3、 (2012·浙江高考文科改编·T19)已知数列 { an }的前 n 项和为 sn , 且 sn ? 满足 bn ? 2 n?1 ,n∈N﹡. (1)求 an (2)求数列{ an ? bn }的前 n 项和 Tn . 【解题提示】 (1)利用

n ? n2 , n∈N﹡, 数列{ bn } 2

an , Sn 的关系求解, (2)数列{an·bn}

的通项符合等差与等比数列乘积的形式 ,故可用错位相减法求 出. 【解析】 (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ;



n ? 2时,an ? Sn ? Sn ?1 ?

n 2 ? n (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? ?n 2 2 ,

故数列

?an ? 的通项公式为 a n ? n

(2)Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ??? (n ? 1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1 (1)

2Tn ? 0 ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n (2)

( 1 ) ( - 2)得 - Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? 2n?1 ? n ? 2n
4

? Tn ?

1 ? 2n ? n ? 2n 1? 2
让学生从具体 实例中发现结 论。 符合学生认 识规律 , 并在结 论的发现过程 中培养学生的 思维能力。 启发、 引导学生 归纳总结 , 一方 面了解学生对 本堂课的接受 情况 , 另一方面 培养学生的归 纳总结能力。 使 知识系统化 , 条 理化。

Tn ? 1 ? 2n ? n ? 2n ? 1 ? (n ? 1) ? 2n
通过教师点拨,学生自 主完成。

三、小结 1、分组求和: 若

教师引导学生小结

an ? bn ? cn ? d n ,其中 {bn },{cn },{d n ) 均为可求和数列,则

可分别求和后再合并; 2、裂项法求和的几个注意点:项数与系数 3、求和思想——转化与化归思想 数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等 方法,把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运 算求解的形式,达到求和的目的. 四、课后作业 学案

通过作业题的 变式训练 , 达到 引起学生积极 思维的目的 , 提 高分析问题、 解 决问题能力。 从 而达到培养学 生养成 “题后思 考” 的习惯和提 高数学能力的 效果。

五、板书设计 课题:数列求和 1 公式法 等差数列前 n 项和: 等比数列前 n 项和: 2、倒序相加法 3、分组求和法 4、裂项相消法 5、错位相减法 五、课后反思:
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例1

例3

例2

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