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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习:第4章 §2 2.1 实际问题中导数的意义]


第四章

§2

2.1

一、选择题 1.已知函数 y=f(x),x∈R,则 f′(x0)表示( A.自变量 x=x0 时对应的函数值 B.函数值 y 在 x=x0 时的瞬时变化率 C.函数值 y 在 x=x0 时的平均变化率 D.无意义 [答案] B [解析] 根据导数的几何意义知选 B. 2. 质点运动的速度 v(单位: m/s)是时间 t(单位: s)的函数, 且 v=v(t), 则 v′(1)表示( A.t=1s 时的速度 C.t=1s 时的位移 [答案] B [解析] v(t)的导数 v′(t)表示 t 时刻的加速度. 3.某汽车启动阶段的路程函数为 s(t)=2t3-5t2(t 表示时间),则 t=2 时,汽车的加速度 是( ) A.14 C.10 [答案] A [解析] 速度 v(t)=s′(t)=6t2-10t. 所以加速度 a(t)=v′(t)=12t-10,当 t=2 时,a(t)=14,即 t=2 时汽车的加速度为 14. 4.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如图所示, 那水瓶的形状是( ) B.4 D.6 B.t=1s 时的加速度 D.t=1s 时的平均速度 ) )

[答案] B [解析] 在曲线上任取一个横坐标为 h0 的点,则注水量 V 在 h0 到 h0+Δh 的平均变化率 ΔV ΔV 为 ,在 h0 处的导数为 V′= lim .由图像可知,随着 h0 的增大,曲线的切线的倾斜角 Δh Δx→0 Δh 越来越小,切线的斜率也就越来越小,即导数越来越小,那么在 Δh 不变的前提下,平均变 ΔV 化率 =ΔS,因此,水瓶中水面的面积会越来越小,故选 B. Δh

5.已知函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.-1<a<2 C.a>2 [答案] D [解析] f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),函数有极大值和极小值,则 f′(x)=0 有两个不等 实根,故 Δ=36a2-36×(a+2)>0,即 a2-a-2>0.所以 a<-1 或 a>2. 6.如图,设有定圆 C 和定点 O,当 l 从 l0 开始在平面上绕 O 匀速旋转(旋转角度不超过 90° )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,它的图像大致是( ) B.a<-1 D.a<-1 或 a>2

[答案] D [解析] 由于是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加,而中间时 段相对增速较快. 选项 A 表示面积的增速是常数,与实际不符; 选项 B 表示最后时段面积的增速较快,也与实际不符; 选项 C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快,与实际不符; 选项 D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段增速较快.符合实际. [点评] 函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来,导数的绝对值越大,函数变化越 快,函数图像就比较“陡峭”,反之,函数图像就“平缓”一些. 二、填空题 7. 人体血液中药物的质量浓度 c=f(t)(单位: mg/mL)随时间 t(单位: min)变化, 若 f′(2)

=0.3,则 f′(2)表示________. [答案] 服药 2 分钟后血液中药物的质量浓度以每分钟 0.3mg/mL 的速度增加. 8.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s=3t2+t,则速度 v=10 时 的时刻 t=________. [答案] 3 2

[解析] s′=6t+1,则 v(t)=6t+1,设 6t+1=10, 3 则 t= . 2 9.火箭竖直向上发射.熄火时向上速度达到 100m/s.则熄火后________秒后火箭速度为 零(g 取 10m/s2). [答案] 10 1 [解析] 由已知,得火箭的运动方程为 h(t)=100t- gt2,∴h′(t)=100-gt. 2 100 令 h′(t)=0,即 100-gt=0,∴t= =10(s). g 即火箭熄火后 10s 速度变为零. 三、解答题 10.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如 果第 xh,原油的温度(单位:℃)为 f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第 2h 和第 6h 时,原油 温度的瞬时变化率,并说明它的意义. [答案] f ′(2)=-3,f ′(6)=5 [解析] 在第 2h 和 6h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f ′(2)和 f ′(6). ∵f ′(x)=2x-7. ∴f ′(2)=-3,f ′(6)=5. 在第 2h 与第 6h,原油温度的瞬时变化率分别为-3 和 5,它说明在第 2h 附近,原油温 度大约以 3℃/h 的速度下降;在第 6h 附近,原油温度大约为 5℃/h 的速度上升.

一、解答题 1 11.自由落体运动的方程为 s= gt2. 2 (1)求 t 从 3s 变到 3.1s 时,s 关于时间 t 的平均变化率,并解释它的实际意义; (2)求 s′(3). [答案] (1)3.05g m/s (2)3g m/s [解析] (1)Δs=s(3.1)-s(3)

1 1 = g×3.12- g×32=0.305g, 2 2 Δs Δt=0.1,∴ =3.05g(m/s). Δt 它表示从 t=3s 到 t=3.1s 这段时间内,自由落体运动的物体的平均速度为 3.05g(m/s). (2)s′=gt,∴s′(3)=3g(m/s),它表示自由落体运动的物体在 t=3s 时的瞬时速度为 3g(m/s). 12.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有 500g 氡气,那么 t 天后,氡气的剩余量为 A(t)=500×0.834t. (1)氡气的散发速度是多少? (2)A′(7)的值是什么(精确到 0.1)?它表示什么意义? [解析] (1)A′(t)=500×0.834t×ln0.834. (2)A′(7)=500×0.8347×ln0.834≈-25.5,它表示 7 天后氡气散发的瞬时速度. 13.一底面半径为 rcm,高为 hcm 的倒立圆锥容器,若以 ncm3/s 的速度向容器里注水, 求注水 ts 时水面上升的速率. [答案] 1 3 3nh2 1 · · cm/s 3 πr2 3 t2

[解析]

?h=r 设注水 ts 时,水面半径为 xcm,水面高度为 ycm,则有? π n= · x· y ?t· 3
2

y

x



从而得到 y 关于 t 的函数关系式为:y= 1 3 3nh2 1 从而 y′= · · , 3 πr2 3 t2 故注水 t 秒时水面上升的速率为: 1 3 3nh2 1 · · (cm/s). 3 πr2 3 t2

3 3nh2 3 · t, πr2

14.一个电路中,流过的电荷量 Q(单位:C)关于时间 t(单位:s)的函数为 Q(t)=3t2-lnt. (1)求当 t 从 1 变到 2 时,电荷量 Q 关于 t 的平均变化率,并解释它的实际意义; (2)求 Q′(2),并解释它的实际意义. [分析] (1)按平均变化率的公式计算平均变化率; (2)电荷量对于时间的导数是电流. [答案] (1)从 t=1s 到 t=2s 这段时间内,平均每秒经过该电路的电量为 8.31C,也就是

这段时间内电路的平均电流为 8.31A (2)Q′(2)=11.5 在 t=2s 这一时刻,每秒经过该电 路的电量为 11.5C,也就是这一时刻电路的电流为 11.5A [解析] (1)当 t 从 1 变到 2 时,电荷量从 Q(1)变到 Q(2),此时电荷量关于时间 t 的平均 Q?2?-Q?1? 3×22-ln2-?3×12-ln1? 变化率为 = ≈8.31, 它表示从 t=1s 到 t=2s 这段时间内, 1 2- 1 平均每秒经过该电路的电量为 8.31C,也就是这段时间内电路的平均电流为 8.31A. 1 (2)Q′(t)=6t- ,Q′(2)=11.5,它的实际意义是,在 t=2s 这一时刻,每秒经过该电 t 路的电量为 11.5C,也就是这一时刻电路的电流为 11.5A. 15.将 1kg 铁从 0℃加热到 t℃需要的热量 Q(单位:J):Q(t)=0.000297t2+0.4409t. (1)当 t 从 10 变到 20 时函数值 Q 关于 t 的平均变化率是多少?它的实际意义是什么? (2)求 Q′(100),并解释它的实际意义. [答案] (1)0.4498 表示在铁块的温度从 10℃增加到 20℃的过程中,平均每增加 1℃, 需要吸收热量 0.449 8J (2)Q′(100)=0.5003 表示在铁块的温度为 100℃这一时刻每增加

1℃,需要吸收热量 0.5003J Q?20?-Q?10? [解析] (1)当 t 从 10 变到 20 时, 函数值 Q 关于 t 的平均变化率为 =0.4498, 20-10 它表示在铁块的温度从 10℃增加到 20℃的过程中, 平均每增加 1℃, 需要吸收热量 0.449 8J. (2)Q′(t)=0.000594t+0.4409,则 Q′(100)=0.5003,它表示在铁块的温度为 100℃这 一时刻每增加 1℃,需要吸收热量 0.5003J. [点评] 率. 平均变化率是指某一时间段的平均变化量,而导数是指某一时刻的瞬时变化


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