kl800.com省心范文网

山东省聊城市莘县高中2016届高三上学期第二次段考数学试卷(理科)


2015-2016 学年山东省聊城市莘县高中高三(上)第二次段考数 学试卷(理科)
一、本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|3+2x﹣x2>0},N={x|x>a},若 M?N,则实数 a 的取值范围是( ) A.[3,+∞)B. 3 + C 1 D 1 ∞ ∞ ∞ ( , ) . (﹣ ,﹣ ] . (﹣ ,﹣ )

2.复数

的共轭复数 =(

)

A.1+2i B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i 3.已知 a<0,b<﹣1,那么下列不等式成立的是( A. B. C. ) D.

4.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.若命题 p:?x∈R,x2﹣2x﹣1>0,则命题?p:?x∈R,x2﹣2x﹣1<0 C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

5.设 f(x)=

,且 f(1)=6,则 f(f(﹣2) )的值为(

)

A.18

B.12

C.

D.

6.等比数列{an}前 n 项的积为 Tn,若 a3a6a18 是一个确定的常数,那么数列 T10,T13,T17, T25 中也是常数的项是( ) A.T10 B.T13 C.T17 D.T25 7.与定积分 A. C.| sin dx B. dx 相等的是( |sin |dx )

sin dx| D.以上结论都不对

8.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图 ) 象如图所示,△ EFG 是边长为 2 的等边三角形,则 f(1)的值为(

A.

B.

C.

D.

9.函数 y=ln

的图象大致为(

)

A.

B.

C.

D.

10.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称.若 对任意的 x,y∈R,不等式 f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0 恒成立,则当 x>3 时,x2+y2 ) 的取值范围是( A. 3 7 B 9 D. ( , ) . ( ,25) C. (13,49) (9,49)

二.本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题纸相应位置. 11.已知不等式 ax2﹣bx+c>0 的解集为(﹣ ,2) ,对于 a,b,c 有以下结论: (1)a>0; (2)b>0; (3)c>0; (4)a+b+c>0; (5)a﹣b+c>0,其中正确讨论的序号为__________.

12.已知角 α 终边上一点 P(﹣4,3) ,求



值.__________.

13.已知向量 =(1,﹣3) , =(2,﹣1) , =(m+1,m﹣2) ,若点 A、B、C 能构成 三角形,则实数 m 应满足的条件是__________.

14.公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,则有





仍成

等比数列,且公比为 4100;类比上述结论,在公差为 3 的等差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和,则有__________也成等差数列,该等差数列的公差为__________. 15.对定义在区间 D 上的函数 f(x)和 g(x) ,如果对任意 x∈D,都有|f(x)﹣g(x)|≤1 成立,那么称函数 f(x)在区间 D 上可被 g(x)替代,D 称为“替代区间”.给出以下命题: ①f(x)=x2+1 在区间(﹣∞,+∞)上可被 g(x)=x2+ 替代; ②f(x)=x 可被 g(x)=1﹣ 替代的一个“替代区间”为 ;

③f(x)=lnx 在区间[1,e]可被 g(x)=x﹣b 替代,则 e﹣2≤b≤2; 其中真命题的有__________.

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.函数 f(x)=lg(x2﹣2x﹣3)的定义域为集合 A,函数 g(x)=2x﹣a(x≤2)的值域为 集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 B∩?UA=?,求实数 a 的取值范围. 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,且满足 cos2A﹣ cos2B= (1)求角 B 的值; (2)若 且 b≤a,求 的取值范围.

18. 已知向量 , (1)求 f(x)解析式及单调递增区间; (2)若 (3)若 f(x)= ,求 ,求函数 f(x)的最大值和最小值; 的值.

; 令

19.已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N*) ,a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1,3 后 顺次成为等比数列{bn}的前三项.

(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (Ⅱ)设 的最小值. 20. (13 分)如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l(宽度不计) ,切点为 M,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面 直角坐标系,若池边 AE 满足函数 y=﹣x2+2(0≤x≤ )的图象,且点 M 到边 OA 距离为 . (1)当 t= 时,求直路 l 所在的直线方程; (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少? ,若 恒成立,求 c

21. (14 分)已知函数 f(x)= x3+x2+ax+1 在(﹣1,0)上有两个极值点 x1,x2,且 x1< x2. (1)求实数 a 的取值范围; (2)证明:当﹣ <x<0 时,f(x)> .

2015-2016 学年山东省聊城市莘县高中高三(上)第二次 段考数学试卷(理科)
一、本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|3+2x﹣x2>0},N={x|x>a},若 M?N,则实数 a 的取值范围是( ) A.[3,+∞)B. C. (3,+∞) (﹣∞,﹣1] D. (﹣∞,﹣1) 【考点】集合的包含关系判断及应用;一元二次不等式的解法. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】集合 M 为一个二次不等式的解集,先解出,再由 M?N 利用数轴求解. 【解答】解:M={x|3+2x﹣x2>0}={x|x2﹣2x﹣3<0}=(﹣1,3) , 因为 M?N 所以 a≤﹣1 故选 C

【点评】本题考查集合的关系、解二次不等式及数形结合思想,属基本运算的考查.

2.复数

的共轭复数 =(

)

A.1+2i B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题. 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得 z,即可求得它的共轭复数 . 【解答】解:∵复数 = = =1+2i,∴它的共轭复数 =1﹣2i,

故选 B. 【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算 性质,属于基础题. 3.已知 a<0,b<﹣1,那么下列不等式成立的是( A. B. C. ) D.

【考点】不等关系与不等式. 【专题】证明题. 【分析】由<0,b<﹣1 结合不等式的性质可得 0> >a 且 >0,进而得到答案. >a.

【解答】解:因为 a<0,b<﹣1,所以 b2>1,所以 0>

因为 a<0,b<﹣1,所以 >0. 故选 D. 【点评】 解决此类问题的关键是熟悉比较大小的方法 (作差、 作商) 以及不等式的有关性质. 4.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.若命题 p:?x∈R,x2﹣2x﹣1>0,则命题?p:?x∈R,x2﹣2x﹣1<0 C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 【考点】四种命题. 【专题】简易逻辑. 【分析】A,写出它的否命题,即可判定真假; B,写出命题 p 的否定¬p; C,判定原命题的真假性,即可得出它的逆否命题的真假性; D,由“x=﹣1”得出“x2﹣5x﹣6=0”成立,判定命题是否正确. 【解答】解:对于 A,否命题是“若 x2≠1,则 x≠1”,∴A 错误; 对于 B,命题 p 的否定¬p:?x∈R,x2﹣2x﹣1≤0,∴B 错误; 对于 C,命题“若 x=y,则 sinx=siny”是真命题,∴它的逆否命题是真命题,∴C 正确; 对于 D,“x=﹣1”时,“x2﹣5x﹣6=0”,∴是充分条件,∴D 错误; 故选:C. 【点评】本题通过命题真假的判定,考查了四种命题之间的关系,也考查了一定的逻辑思维 能力,是基础题.

5.设 f(x)=

,且 f(1)=6,则 f(f(﹣2) )的值为(

)

A.18

B.12

C.

D.

【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】题目给出了分段函数,先由已知的 f(1)=6 求得 t 的值,把 t 代回函数解析式后再 求 f(﹣2) ,最后求 f(f(﹣2) )的值. 【解答】解:因为 f(x)= 由 f(1)=6,得:2(t+1)=6,所以 t=2, 所以 , ,

则 f(﹣2)= 所以 f(f(﹣2) )=f(log36)=

, .

故选 B. 【点评】本题考查了分段函数,考查了对数的运算性质,注意分段函数的函数值要分段求, 此题是中低档题. 6.等比数列{an}前 n 项的积为 Tn,若 a3a6a18 是一个确定的常数,那么数列 T10,T13,T17, T25 中也是常数的项是( ) A.T10 B.T13 C.T17 D.T25 【考点】等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的通项公式、同底数幂的乘法法则化简 a3?a6?a12 =a73 是一个确定的 常数,列举出 T13 的各项,利用 等比数列的性质得到 T13 =a713,即可得到 T13 为常数. 【解答】解:由 a3?a6?a18=a1q2?a1q5?a1 q17=(a1 q8)3 = 则 T17=a1?a2…a17 =(a1?a17) (a2?a16) (a3?a15) (a4?a14) (a5 ?a13) (a6?a12)?( a7?a11)?(a8?a10) a9= , 为常数,所以 a9 为常数,

为常数. 故选 C. 【点评】 此题主要考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值, 要求学生掌握等比数列 的性质,是一道中档题.

7.与定积分 A. C.| sin dx B.

dx 相等的是( |sin |dx

)

sin dx| D.以上结论都不对

【考点】定积分. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】根据二倍角公式,化简原函数,即可求出答案. 【解答】解: dx= dx= |sin |dx,

故选:B. 【点评】本题考查了二倍角公式,以及定积分的意义,属于基础题. 8.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图 ) 象如图所示,△ EFG 是边长为 2 的等边三角形,则 f(1)的值为(

A.

B.

C.

D.

【考点】余弦函数的奇偶性;余弦函数的图象. 【专题】计算题. 【分析】由 f(x)=Acos(ωx+φ)为奇函数,利用奇函数的性质可得 f(0)=Acosφ=0 结合 已知 0<φ<π,可求 φ= ,再由△ EFG 是边长为 2 的等边三角形,可得 =A,结合

图象可得,函数的周期 T=4,根据周期公式可得 ω,从而可得 f(x) ,代入可求 f(1) . 【解答】解:∵f(x)=Acos(ωx+φ)为奇函数 ∴f(0)=Acosφ=0 ∵0<φ<π∴φ= ∴f(x)=Acos(ωx )=﹣Asinωx =A

∵△EFG 是边长为 2 的等边三角形,则

又∵函数的周期 T=2FG=4,根据周期公式可得,ω= ∴f(x)=﹣Asin x=﹣

则 f(1)= 故选 D 【点评】本题中的重要性质要注意灵活运用:若奇函数的定义域包括 0,则 f(0)=0;解决 本题的另一关键是要由△ EFG 是边长为 2 的等边三角形,及三角形与函数图象之间的关系 得到 =A,这也是本题的难点所在.

9.函数 y=ln

的图象大致为(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】化简函数的解析式为 ln(1﹣

) ,求出它的定义域为(0,+∞) ,y<0,且 y

是(0,+∞)上的增函数,结合所给的选项,得出结论. 【解答】解:∵函数 y=ln x>0, 故函数的定义域为(0,+∞) . 再由 0<1﹣ <1,可得 y<0,且 y 是(0,+∞)上的增函数, =ln =ln(1﹣ ) ,由 1﹣ >0 可得

故选 C. 【点评】本题主要考查函数的图象特征,函数的定义域和单调性的应用,属于基础题. 10.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称.若 对任意的 x,y∈R,不等式 f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0 恒成立,则当 x>3 时,x2+y2 ) 的取值范围是( A. D. (3,7) B. (9,25) C. (13,49) (9,49) 【考点】函数单调性的性质;奇偶函数图象的对称性. 【专题】综合题;压轴题;转化思想. 【分析】由函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,结合图象平移的知识可知函数 y=f (x)的图象关于点(0,0)对称,从而可知函数 y=f(x)为奇函数,由 f(x2﹣6x+21)+f (y2﹣8y)<0 恒成立,可把问题转化为(x﹣3)2+(y﹣4)2<4,借助于的有关知识可求 【解答】解:∵函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称 ∴函数 y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数 y=f(x)为奇函数,则 f(﹣x)=﹣f (x) 又∵f(x)是定义在 R 上的增函数且 f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0 恒成立 ∴(x2﹣6x+21)<﹣f(y2﹣8y)=f(8y﹣y2 )恒成立 ∴x2﹣6x+21<8y﹣y2 ∴(x﹣3)2+(y﹣4)2<4 恒成立 设 M (x,y) ,则当 x>3 时,M 表示以(3,4)为圆心 2 为半径的右半圆内的任意一点, 2 2 则 x +y 表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方 由图可知,最短距离为 OA= ,最大距离 OB=OC+BC=5+2=7 2 2 ∴13<x +y <49 故选 C

【点评】本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识,解决问题的 关键是把“数”的问题转化为“形”的问题,借助于图形的几何意义减少了运算量,体现“数形 结合:及”转化”的思想在解题中的应用. 二.本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题纸相应位置. 11.已知不等式 ax2﹣bx+c>0 的解集为(﹣ ,2) ,对于 a,b,c 有以下结论: (1)a>0; (2)b>0; (3)c>0; (4)a+b+c>0; (5)a﹣b+c>0,其中正确讨论的序号为(3) (5) . 【考点】命题的真假判断与应用;一元二次不等式的解法. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)利用不等式 ax2﹣bx+c>0 的解集为(﹣ ,2) ,可知 a<0,可判断(1) ; (2)与(3)依题意,﹣ 与 2 为方程 ax2﹣bx+c=0 的两个根,结合(1)可判断(2)与(3) ; (4)令 f(x)=ax2﹣bx+c,则 y=f(x)为开口向下的抛物线,其对称轴 x= (﹣1)=a+b+c<0,可判断(4) ; (5)不等式 ax2﹣bx+c>0 的解集为(﹣ ,2) ,可知 f(1)=a﹣b+c>0,可判断(5) . 【解答】解:∵不等式 ax2﹣bx+c>0 的解集为(﹣ ,2) , ∴a<0,故(1)错误; 依题意,﹣ 与 2 为方程 ax2﹣bx+c=0 的两个根, = ,可知 f



,由①②得 b= a<0,c=﹣2a>0,故(2)错误, (3)正确

令 f(x)=ax2﹣bx+c,则 y=f(x)为开口向下的抛物线,其对称轴 x= 则 f(﹣1)=a+b+c<f(﹣ )=0,故(4)错误;

= ,

∵不等式 ax2﹣bx+c>0 的解集为(﹣ ,2) , ∴f(1)=a﹣b+c>0,故(5)正确. 故答案为: (3) (5) . 【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查方程思想、构造函数思想与综合运算求解能 力,属于中档题.

12.已知角 α 终边上一点 P(﹣4,3) ,求

的值.﹣ .

【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【专题】计算题. 【分析】利用角 α 终边上一点 P 的坐标求得 tanα 的值,然后利用诱导公式对原式化简整理 后,把 tanα 的值代入即可求得答案. 【解答】解:∵



故答案为:﹣ 【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用,诱导公式的化简求值.注意利用 好三角函数中平方关系,倒数关系和商数关系. 13.已知向量 =(1,﹣3) , =(2,﹣1) , =(m+1,m﹣2) ,若点 A、B、C 能构成 三角形,则实数 m 应满足的条件是 m≠1. 【考点】平行向量与共线向量;平面向量共线(平行)的坐标表示. 【专题】计算题. 【分析】若点 A、B、C 能构成三角形,则 A,B,C 三点不共线,我们求出 A,B,C 三点 共线时 m 的取值范围,其补集即为 A、B、C 能构成三角形时,实数 m 应满足的条件. 【解答】解:若点 A、B、C 不能构成三角形,则只能共线. ∵ = = ﹣ ﹣ =(2,﹣1)﹣(1,﹣3)=(1,2) , =(m+1,m﹣2)﹣(1,﹣3)=(m,m+1) .

假设 A、B、C 三点共线, 则 1×(m+1)﹣2m=0,即 m=1. ∴若 A、B、C 三点能构成三角形,则 m≠1. 故答案:m≠1 【点评】本题考查的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示,平行向量与共线向量,如 果从正面进行解答,需要复杂的分类讨论,故根据正难则反的原则,先确定 A,B,C 三点 共线时 m 的取值范围,进而得到答案是解答本题的关键.

14.公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,则有





仍成

等比数列,且公比为 4100;类比上述结论,在公差为 3 的等差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和,则有 S20﹣S10,S30﹣S20,S40﹣S30 也成等差数列,该等差数列的公差为 300. 【考点】归纳推理;等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】 等差数列与等比数列有很多地方相似, 因此可以类比等比数列的性质猜想等差数列 的性质, 因此商的关第与差的关系正好与等比数列的二级运算及等差数列的一级运算可以类 比,因此我们可以大胆猜想,数列 S20﹣S10,S30﹣S20,S40﹣S30 也是等差数列.再根据等 差数列的定义求出公差即可. 【解答】解:由等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积, 则有 , , 仍成等比数列,且公比为 4100;

我们可以类比推断出: S20﹣S10,S30﹣S20,S40﹣S30 也构成等差数列 公差为 100d=300; 故答案为:S20﹣S10,S30﹣S20,S40﹣S30,300 【点评】类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 15.对定义在区间 D 上的函数 f(x)和 g(x) ,如果对任意 x∈D,都有|f(x)﹣g(x)|≤1 成立,那么称函数 f(x)在区间 D 上可被 g(x)替代,D 称为“替代区间”.给出以下命题: ①f(x)=x2+1 在区间(﹣∞,+∞)上可被 g(x)=x2+ 替代; ②f(x)=x 可被 g(x)=1﹣ 替代的一个“替代区间”为 ;

③f(x)=lnx 在区间[1,e]可被 g(x)=x﹣b 替代,则 e﹣2≤b≤2; 其中真命题的有①②③. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】新定义;转化思想. 【分析】注要考查了新型定义的理解,利用所给的定义分别判断①②③是否符合,得出结 论. 【解答】解:①中|f(x)﹣g(x)|= ≤1,故 f(x)=x2+1 在区间(﹣∞,+∞)上可被 g(x) =x2+ 替代,故正确; ②中|f(x)﹣g(x)|=x+ =x+ ﹣1∈[0, ], ﹣1,x∈[ , ],记 h(x)=x+ ﹣1,x∈[ , ],易得 h(x)

所以|f(x)﹣g(x)|≤1,故正确;

③中,|f(x)﹣g(x)|=|lnx﹣x+b|≤1 等价于 x﹣lnx﹣1≤b≤x﹣lnx+1 对任意 x∈ [1,e]恒成立, 易得(x﹣lnx+1)min=2, (x﹣lnx﹣1)max=e﹣2,故 e﹣2≤b≤2,正确; 故答案为:①②③. 【点评】考查了对新概念的理解能力和对问题的分析转换能力,学生应对定义透彻理解. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.函数 f(x)=lg(x2﹣2x﹣3)的定义域为集合 A,函数 g(x)=2x﹣a(x≤2)的值域为 集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 B∩?UA=?,求实数 a 的取值范围. 【考点】对数函数的定义域;交、并、补集的混合运算;函数的值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (I)利用一元二次不等式的解法即可化简集合 A,利用指数函数的单调性即可化简 B. (II)利用集合的运算性质可得 B?A,即可得出 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)A={x|x2﹣2x﹣3>0}={x|(x﹣3) (x+1)>0}={x|x<﹣1 或 x>3}, 2 B={y|﹣a<y≤2 ﹣a}. (Ⅱ)∵满足 B∩?UA=?,∴B?A, ∴4﹣a<﹣1 或﹣a≥3, 解得 a≤﹣3 或 a>5,即 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3)∪(5,+∞) . 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、指数函数的单调性、集合的运算性质,属于中 档题. 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,且满足 cos2A﹣ cos2B= (1)求角 B 的值; (2)若 且 b≤a,求 的取值范围.

【考点】正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】解三角形. 【分析】 (1) 由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin2A﹣2cos2B= ﹣2sin2A, 求得 cos2B 的值,可得 cosB 的值,从而求得 B 的值. (2)由 b= ≤a,可得 B=60°.再由正弦定理可得. 【解答】解: (1)在△ ABC 中, ∵cos2A﹣cos2B= =2( cosA+ sinA) ( cosA﹣ sinA)

=2( cos2A﹣ sin2A)= cos2A﹣ sin2A= ﹣2sin2A. 又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣(2cos2B﹣1)=2﹣2sin2A﹣2cos2B, ∴2﹣2sin2A﹣2cos2B= ﹣2sin2A,∴cos2B= ,∴cosB=± ,

∴B=



. ≤a,∴B= ,

(2)∵b=

由正弦

=

=

=

=2,得 a=2sinA,c=2sinC,

故 a﹣ c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin( 因为 b≤a,所以 所以 a﹣ c= ≤A< sin(A﹣ , )∈[ ≤A﹣ ,

﹣A)= sinA﹣ < ) . ,

cosA=

sin(A﹣

) ,

【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,三角恒等变换,属于中档题.

18. 已知向量 , (1)求 f(x)解析式及单调递增区间; (2)若 (3)若 f(x)= ,求 ,求函数 f(x)的最大值和最小值; 的值.

; 令

【考点】平面向量的综合题;三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性;三角函 数的最值. 【专题】综合题. 【分析】 (1)由向量 ,知 = = + +2[ ],由此能求出 f(x)解析式及单调递增区 间. (2)由 f(x)=2+2cos(x+ f(x)=2+2cos(x+ ) , ,知 ,由此能求出

)的最大值和最小值.

(3)由 f(x)= ,知 的值. 【解答】解: (1)∵向量

,由此能够求出

, ∴ = = + ] =2+2cos(x+ ) , ,k∈Z, ,k∈Z, ) , ],k∈Z. , +2[

增区间是:﹣π+2kπ ∴

∴f(x)解析式为 f(x)=2+2cos(x+ 单调递增区间是[﹣ (2)∵f(x)=2+2cos(x+ ∴ ∴当 当 , 时,f(x)=2+2cos(x+ 时,f(x)=2+2cos(x+ ,﹣ ) ,

)有最大值 2+ )有最小值 2﹣

; . , .

(3)∵f(x)= ,∴ 所以

【点评】本题考查平面向量的综合应用,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真 审题,仔细解答,注意三角函数恒等式的灵活运用,合理地进行等价转化. 19.已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N*) ,a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1,3 后 顺次成为等比数列{bn}的前三项. (Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn;

(Ⅱ)设

,若

恒成立,求 c

的最小值. 【考点】数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和. 【专题】综合题. 【分析】 (Ⅰ)设 d、q 分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比,a1=1.由题可知,a1=1, a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后得 2,2,+d,4+2d 是等比数列{bn}的前三项,从而 可得(2+d)2=2(4+2d) ,根据 an+1>an,可确定公差的值,从而可求数列{an}的通项,进 q {b 而可得公比 ,故可求 n}的通项公式 (Ⅱ)表示出 ,利用错位相减法求和,即可

求得 c 的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)设 d、q 分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比,a1=1. 由题可知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后得 2,2,+d,4+2d 是等比数列{bn} 的前三项, ∴(2+d)2=2(4+2d)?d=±2. ∵an+1>an, ∴d>0. ∴d=2, ∴an=2n﹣1(n∈N*) . 由此可得 b1=2,b2=4,q=2, ∴bn=2n(n∈N*) . (Ⅱ) ,①



.②

①﹣②,得

= +2(

+

+…+

)﹣



∴Tn=3﹣ ∴Tn+

. ﹣ =3﹣ ≤2, 恒成立的最小整数值为 c=2.

∴满足条件

【点评】本题以等差数列与等比数列为载体,考查数列通项公式的求解,考查数列与不等式 的综合,考查错位相减法求数列的和,综合性强 20. (13 分)如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l(宽度不计) ,切点为

M,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面 直角坐标系,若池边 AE 满足函数 y=﹣x2+2(0≤x≤ )的图象,且点 M 到边 OA 距离为 . (1)当 t= 时,求直路 l 所在的直线方程; (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?

【考点】基本不等式;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】不等式的解法及应用;直线与圆. 【分析】 (Ⅰ) 求当 t= 时, 直路 l 所在的直线方程, 即求抛物线 y=﹣x2+2 (0≤x≤ ) 在 x=

时的切线方程,利用求函数的导函数得到切线的斜率,运用点斜式写切线方程; (Ⅱ)求出 x=t 时的抛物线 y=﹣x2+2(0≤x≤ )的切线方程,进一步求出切线截正方形在 直线右上方的长度,利用三角形面积公式写出面积,得到的面积是关于 t 的函数,利用导数 分析面积函数在(0<t< )上的极大值,也就是最大值. 【解答】解: (I)∵y=﹣x2+2,∴y′=﹣2x, ∴过点 M(t,﹣t2+2)的切线的斜率为﹣2t, 所以,过点 M 的切线方程为 y﹣(﹣t2+2)=﹣2t(x﹣t) , 2 即 y=﹣2tx+t +2, 当 t= 时,切线 l 的方程为 y=﹣ x+ ,

即当 t= 时,直路 l 所在的直线方程为 12x+9y﹣22=0; (Ⅱ)由(I)知,切线 l 的方程为 y=﹣2tx+t2+2, 令 y=2,得 x= ,故切线 l 与线段 AB 交点为 F( 令 y=0,得 x= ,故切线 l 与线段 OC 交点为( ) , ) .

地块 OABC 在切线 l 右上部分为三角形 FBG,如图,

则地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积为 S= (2﹣

×2=4﹣t﹣ =4﹣ ) (t+ )

≤2.当且仅当 t=1 时,取等号. ∴当 t=100 米时, 地块 OABC 在直路 l 不含游泳池那侧的面积最大, 最大值为 20000 平方米. 【点评】本题考查了函数模型的选择与应用,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利 用导数求函数的最值,在实际问题中,函数在定义域内仅含一个极值,该极值往往就是最 值.属中档题型. 21. (14 分)已知函数 f(x)= x3+x2+ax+1 在(﹣1,0)上有两个极值点 x1,x2,且 x1< x2. (1)求实数 a 的取值范围; (2)证明:当﹣ <x<0 时,f(x)> .

【考点】利用导数研究函数的极值. 【专题】计算题;综合法;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)求导数知方程 2x2+2x+a=0 在(﹣1,0)上有两不等实根,可得

,即可求出实数 a 的取值范围;

f x2) = x23+x22+ax2+1> x23+x22+x2+1, = x3+x2+ x+1, (2) 确定 ax2> x2, 可得 ( 设h (x) x∈(﹣ ,0) ,h(x)在(﹣ ,0)递增,即可证明结论. 【解答】 (1)解:∵f(x)= x3+x2+ax+1, ∴f′(x)=2x2+2x+a,由题意知方程 2x2+2x+a=0 在(﹣1,0)上有两不等实根, 设 g(x)=2x2+2x+a,其图象的对称轴为直线 x=﹣ ,

故有

,解得 0<a< .

(2)证明:由题意知 x2 是方程 2x2+2x+a=0 的大根,从而 x2∈(﹣ ,0) , 由于 0<a< ,∴ax2> x2, ∴f(x2)= x23+x22+ax2+1> x23+x22+x2+1. 设 h(x)= x3+x2+ x+1,x∈(﹣ ,0) ,

h′(x)=2(x+ )2+ >0, ∴h(x)在(﹣ ,0)递增, ∴h(x)>h(﹣ )= ,即 f(x2)> 成立.

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题.


高三数学-如东中学2016届高三上学期第二次段考数学试卷.doc

高三数学-如东中学2016届高三上学期第二次段考数学试卷 - 2015-2016 学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三(上)第二次 段考数学试卷 一、填空题: 1.已知集合 A...

...2018学年高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Word....doc

山东省聊城外国语学校2017-2018学年高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。山东省聊城外国语学校 2017-2018 学年高三上学期...

2018届高三上学期第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析.doc

2018届高三上学期第二次考数学试卷(理科) Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2018届高三上学期第二次考数学试卷(理科) Word版含解析 ...

...外国语学校2015届高三数学上学期第二次段考试卷 理(....doc

山东省聊城外国语学校2015届高三数学上学期第二次段考试卷 理(含解析) - 文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 山东省聊城外国语学校 2015 届...

...大联考2016届高三上学期第二次段考数学试卷(理科)(b....doc

河南省天一大联考2016届高三上学期第二次段考数学试卷(理科)(b卷) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年河南省天一大联考高三(上)第二次段考...

...2018学年高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Word....doc

山东省枣庄八中2017-2018学年高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。山东省枣庄八中 2017-2018 学年高三上学期第二次段考...

...八中2019届高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Wor....doc

山东省枣庄八中2019届高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析 - 山东省枣庄八中 2018-2019 学年高三上学期第二次段考数学试卷 金 榜题名,高考必胜!...

山东省枣庄八中2015届高三数学上学期第二次段考试卷 理....doc

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 山东省枣庄八中 2015 届高三上学期第二次段考数学试卷(理科)一、选择题(每小题 5 分,共 50 分;每题...

安徽省合肥八中2016届高三上学期第二次段考数学理试卷.doc

安徽省合肥八中2016届高三上学期第二次段考数学试卷_高中教育_教育专区。合肥八中 2015-2016 学年上学期高三第二次段考 数学(理科)试卷考试说明:1.试卷结构:...

广东省广州实验中学2016届高三数学上学期第二次段考试....doc

广东省广州实验中学2016届高三数学上学期第二次段考试卷理(含解析) - 2015-2016 学年广东省广州实验中学高三(上)第二次段考数学试卷 (理科) 一、选择题(本大...

...一中2017届高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Wor....doc

暂无评价|0人阅读|0次下载 广东省佛山一中2017届高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年广东省佛山一中高三...

...2018学年高三上学期第二次段考数学试卷(理科)(b卷) ....doc

河南省天一大联考2017-2018学年高三上学期第二次段考数学试卷(理科)(b卷) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2017-2018 学年河南省天一大联考高三(上)第...

...大联考2019届高三上学期第二次段考数学试卷(理科)(b....doc

河南省天一大联考2019届高三上学期第二次段考数学试卷(理科)(b卷) Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。河南省天一大联考2019届高三上学期第二次段考数学试卷...

...一中2019届高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Wor....doc

广东省佛山一中2019届高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析

...2019学年高三上学期第二次段考数学试卷(理科)(b卷) ....doc

河南省天一大联考2018-2019学年高三上学期第二次段考数学试卷(理科)(b卷) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2018-2019 学年河南省天一大联考高三(上)第...

...一中2017届高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Wor....doc

福建省泉州市南安一中2017届高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年福建省泉州市南安一中高三(上)第二次段...

...中学2019届高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Wor....doc

河南省鹤壁市高级中学2019届高三上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含

...2016届高三上学期第二次阶段性考试理科数学试卷.doc

广东省广州实验中学2016届高三上学期第二次阶段性考试理科数学试卷_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 广东实验中学高三上学期第二次阶段考试题 理科数学本试卷分...

...中学2016届高三上学期第二次阶段考试理科数学试卷.doc

广东省汕头市澄海凤翔中学2016届高三上学期第二次阶段考试理科数学试卷_高中教育_教育专区。凤翔中学 2015-2016 学年度第二次阶段考试 高三级理科数学试卷注意:本卷...

...中学2015届高三上学期第二次段考数学试卷(理科).doc

广东省汕头市澄海凤翔中学 2015 届高三上学期第二次段考数学 试卷(理科)一、