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数学必修五_数列复习_图文

数列复习课

一、知识要点

数列的定义:
按一定顺序排列的一列数。

数列的分类:
1.按项数分 有穷数列 无穷数列 2.按项的大小分 递增数列 递减数列 摆动数列

常数列

一、知识要点
[等差(比)数列的定义] 如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差(比) 等 于同一个常数,那么这个数列就叫做等差(比)数 列。 [等差(比)数列的判定方法] ? ? a 1、定义法:对于数列 ,若 an?1 ? an ? d (常数), n an ?1 ( ? q ) 则数列 ?an ? 是等差(比)数列。
an

2.等差(比)中项:对于数列?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 (a 2 n ?1 ? an ? an ? 2 ) 则数列 ?a ? 是等差(比)数列。 n n a ? An ? B ( a ? A ? q 且A ? 0) n 3.通项公式法: n
2 n 4.前n项和公式法: Sn ? An ? Bn(Sn ? A ? q ? A且A ? 0)

一、知识要点
[等差(比)数列的性质]

{ n}是公差为d的等差数列

a

{bn}是公比为q的等比数列

性质1: an=am+(n-m)d
性质2:若an-k,an,an+k是{an}中 的三项, 则2an=an-k+an+k

性质1:

bm ? bn q m?n

性质2:若bn-k,bn,bn+k是{bn}
2 的三项,则 n = n-k? n+k

b b

b

性质3: 若n+m=p+q

性质3:若n+m=p+q

则am+an=ap+aq

则bn· bm=bp· bq,

性质4:从原数列中取出偶数项组 性质4:从原数列中取出偶数 成的新数列公差为2d.(可推广) 项,组成的新数列公比 2 为 q .(可推广) 性质5 : 若{cn} 是公差为 d′的等差 性质5:若{dn}是公比为q′的 数 列 , 则 数 列 {an+cn} 是 公 差 为 等比数列 , 则数列 {bn?dn} 是公 d+d′的等差数列。 比为q· q′的等比数列.

{ n}是公差为d的等差数列

a

{bn}是公比为q的等比数列

性质6:数列{an}的前n项和为Sn 性质6:数列{an}的前n项和为Sn

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,? ? ? Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,? ? ?
成等比数列.

成等差数列. 性质7:数列{an}的前n项和为Sn

Sn?m ? Sn ? ndSm

性质7:数列{an}的前n项和为S
n S ? S ? q Sm n n? m n

等差(比)数列的增减性: 1.等差数列 (前多少项和最大或最小) (1)d>0,递增数列, (2)d<0,递减数列 (3)d=0,常数列 2.等比数列 (1)q<0,摆动数列 (2)q=1,常数列 (3) a1 ? 0 ,0<q<1,递减数列 (4) a1 ? 0 ,q>1, 递增数列 (5) a1 ? 0 ,0<q<1,递增数列 (6) a1 ? 0 ,q>1, 递减数列

二、【题型剖析】
【题型1】等差(比)数列的基本运算
已知数列 ?an ? 是等差数列, a3 ? 18 , a7 ? 10 。 (1)求数列的通项 an 。 (2)数列 ?an ?的前多少项 和 最大,最大值是多少? (3) an ? log2 bn ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列。

.(1)设公差为d,则 ?a3 ? a1 ? 2d ? 18 ? a1 ? 22  得 ? , ? an ? 22 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 24 ? ? d ? ?2 ?a7 ? a1 ? 6d ? 10

(2)由an ? 24 ? 2n ? 0得n ? 12, 前 ? 12项和与前11项和最大,值为 12(22 ? 0) S11 ? S12 ? ? 132 2 24?2 n

(3)an ? log 2 bn ? 24 ? 2n,  ?bn ? 2 , 24?2( n?1) bn?1 2 1 ? ? 24?2n ? ,  数列 ? ?bn ? 是等比数列 bn 2 4

【题型1】等差(比)数列的基本运算
a n = 33,则n是( C ) A.48 B.49

1 练习:等差数列{an}中,已知a 1= ,a 2 + a 5 =4 3

C.50

D.51

练习:等比数列{an}中,若 2 = 2, 6 = 32, 求

a

a

a14

【题型2】等差数列的前n项和
例题:在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数? 求它们的和。 解:在三位正整数的集合里,5的倍数中最小是100,然 后是105、110、115…即它们组成一个以100为首项,5为 公差的等差数列,最大的是995 设共有n项,即,a1 =100 ,d = 5 , an =995 由 an ? a1 ? (n ? 1)d 得 995 =100 + 5(n-1) 即 n =180 180 (100 ? 995 ) S 180? ? 98550 2
所以在三位正整数的集合中5的倍数有180个,它们的 和是98550 变式:在三位正整数的集合中有多少个个位不是0且是 5的倍数的数?求它们的和

【题型2】等差(比)数列的前n项和
练习:等差数列{an}中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 则此数列前20项的和等于( B ) A.160 B.180 C.200 ① D.220

解: a1 ? a 2 ? a 3 ?

?24

a18 ?a19 ?a 20 ? 78



(a1 ?a 20 ) ? (a 2 ?a19 ) ? (a 3 ?a18 ) ? 54 ① + ② 得:

?a1?a20 ?a2 ?a19 ?a3?a18

? 3(a1 ?a 20 ) ? 54

20(a1 ? a 20 ) 20 *18 ? ? 180 ? (a1 ?a 20 ) ? 18 ?s 20 ? 2 2

例3.在数列?an ?中,a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an 求S2008
a6k ?1 ? 1, a6 k ? 2 ? 3, a6 k ?3 ? 2, a6 k ? 4 ? ?1, a6 k ?5 ? ?3, a6 k ? 6 ? ?2
S2008 ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a2008 ? (a1 ? a2 ? a3 ? ???a6 ) ? (a7 ? a8 ? ???a12 ) ? ??? ? (a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? ??? ? a6 k ? 6 ) ? ??? ?(a1999 ? a2000 ? ??? ? a2004 ) ? a2005 ? a2006 ? a2007 ? a2008 ? a2005 ? a2006 ? a2007 ? a2008 ? a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? a6 k ? 3 ? a6 k ? 4 =5

练习

求S ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ... ? (2n ? 1) x n ?1.

(1)当x ? 0时, s ? 1.
(2)x=1时,Sn=n2 (3)x≠1时 S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x· S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
2 x(1 ? xn ?1) ? 1? ? (2n ? 1) xn 1? x

二、【题型剖析】
例题:已知数列{an}的前n项和

【题型3】求等差(比)数列的通项公式
s n ?n ?3
2



an

解:当

n?2


2

2 ? a n ? s n ?s n?1 ? (n ?3) ? ?(n ?1) ?3? ? ? 2n ?1

当 n ?1 时

a1 ? 1



s1 ? 4

所以上面的通式不适合 n ? 1
所以:
?4 (n ? 1) an? ? ?2n ? 1 (n ? 2)



练习:已知数列{an}的前n项和

s n ? 3n ? 2



an

【题型3】求等差(比)数列的通项公式
练习1:设等差数列{an}的前n项和公式是Sn ? 5n2 ? 3n a n ? 10n ? 2 求它的通项公式__________ 练习2:设等差数列{an}的前n项和公式是 Sn ? 5 ? 1
n
n ?1 a ? 4 ? 5 n 求它的通项公式__________

an ?1 ? 3 an a1 ? 2 , 练习3: 已知数列 {an } 中,
n

求通项公式 an 。

an ? 2 ? 3

n ( n ?1) 2



二、【题型剖析】
例题:已知等差数列{an} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ,求a 1+ a 12 及S12 解:由等差数列性质易知:

【题型4】等差(比)数列性质的灵活应用

a2 + a11 = a3 + a10 = a1+ a12
∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2(a1+ a12)=36 ∴ a1+ a12 =18, S =108
12

【题型4】等差(比)数列性质的灵活应用
练习: 在等比数列{an}中,且a >0,
n

a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _6

.

2.在等比数列{an}中,a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____

二、【题型剖析】
例题:已知数列 { an } 是等差数列,bn= 3an + 4,证明 数列 { bn } 是等差数列。

【题型5】等差数列的判定与证明

证明: 因为数列 {an} 是等差数列数列 又因为bn= 3an + 4 ,

设数列{an} 的公差为d(d为常数)即an+1 - an=d 所以bn+1 – bn = (3an+1 + 4)-(3an + 4) = 3(an+1- an)=3d 所以数列 { bn }是等差数列

bn+1= 3an+1 + 4

二、【题型剖析】

【题型5】等差(比)数列的判定与证明
例题.已知数列 { a n } 中,a 1 = -2 且 a n + 1 = sn, (1) 求证: { a n } 是等比数列;(2) 求通项公式。 解: (1)略 (2) 由 a 1 = -2 且公比 q = 2 ∴ a n = (- 2 ) × 2 n - 1 = - 2 n 故 { a n } 的通项公式为 a n = -2 n

【题型5】数列的应用
例某人,公元2000 年参加工作,打算购一套 50万元商品房, 请你帮他解决下列问题:

方案 1:从 2001 年开始每年年初到银行存入 3万元,银行的

年利率为1.98% ,且保持不变,按复利计算(即上年利息要计入下 年的本金生息),在2010 年年底,可以从银行里取到多少钱?
方案 2:若在2001 年初向 银行贷款50 万先购房,银行贷款的 年利率为4.425% ,按复利计算,要求从贷款开始到 2010年要分10 年还清,每年年底等额归还且每年1次,他每年至少要还多少钱 呢?

他每年年初至少要存多少钱? 若想在 2010 年年底能够存足 50 万,

例 2 解: ⑴按复利计算存 10 年本息和(即从银行里取到钱)为: 3× (1 ? 1.98%)10 +3× (1 ? 1.98%) 9 +…+3× (1 ? 1.98%)1 3 ? (1 ? 1.98%)[1 ? (1 ? 1.98%)10 ] = ≈33.51(万元) 1 ? (1 ? 1.98%) 设每年存入 x 万元,在 2010 年年底能够存足 50 万则: (1 ? 1.98%) ? [1 ? (1 ? 1.98%)10 ] ? x ? 50 1 ? (1 ? 1.98%) 解得 x=4.48(万元)

例 2 解: ⑵50 万元 10 年产生本息和与每年存入 x 的本息和相等, 故有购房款 50 万元十年的本息和:50 (1 ? 4.425%)10 每年存入 x 万元的本息和:
10 1 ? ( 1 ? 4 . 425 %) x· (1 ? 4.425%)9 +x· (1 ? 4.425%)8 +…+x= ·x 1 ? (1 ? 4.425%) 10 1 ? (1 ? 4.425%) 10 从而有 50 (1 ? 4.425%) = ·x 1 ? (1 ? 4.425%) 解得:x=6.29(万元) , 10 年共付:62.9 万元
王新敞
奎屯 新疆

三、归纳小结 主要内容:
本节课主要复习了等差(比)数列的概念、等 差(比)数列的通项公式与前n项和公式, 以及一些相关的性质

应当掌握:
1、基本方法:掌握等差(比)数列通项公式 和前n项和公式;

2、利用性质:掌握等差(比)数列的重要 性质;掌握一些比较有效的技巧;


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