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福建省三明市第一中学2015-2016学年高一数学下学期第一次月考试题


三明一中 2015-2016 学年下学期第一次月考试卷 高一数学
(考试时间:120 分钟 满分:100 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选 项符合题目要求,请把答案填在答题卷的相应位置上. 1.直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的斜率为( A. 1 B. ) D. 2 )

1 2

C. ?

1 2

2. 直线 l1 : 2 x ? y ? 4 与直线 l2 : x ? 2 y ? ?1 相交,其交点 P 的坐标为( A. (2,1) B. (1,1) C. (3, 2) D. ( , )

7 2 3 3

3. 如图, Rt ?O ' A ' B ' 是 ?OAB 的斜二测直观图,斜边 O ' A ' ? 2 ,则 ?OAB 的面积是( A.



2 2

y'

B. 1

C. 2

D. 2 2
O'

B' A'
第 3题

x'

4. 若直线经过 A(1, 0), B 4, 3 两点,则直线 AB 的倾斜角为( A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 120?

?

?



M 、 N 分别为棱 BC 、 5. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

D1 A1 B1

C1 N

CC1 的中点,则异面直线 MN 与 AC 所成的角为(
A. 30
?


A

D M B

C

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

?

6. 若 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,下列命题中,正确的是( A.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? C.若 m / /? , n / /? ,则 m / / n B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n D.若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? )



7. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( A. 12 B. 30 C. 32 D. 36

8.用与球心距离为 1 的平面去截半径为 2 的球,则截面面积为( A. 2? B. 3? C. 4? D. 9? )



9. 不论 a 为何值,直线 ax ? ? 2 ? a ? y ?1 ? 0 恒过定点为( A. ? 0, 0 ? B. ? 0,1? C. ?

?1 1? ,? ? ?2 2?

D. ? ?

? 1 1? ,? ? ? 2 2?


10. 若直线 x ? y ? 1 ? 0 和 ax ? 2 y ? 1 ? 0 互相平行,则两平行线之间的距离为(

1

A.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D.

3 2 4
) D. ? 3,1?
D1 A1 E F B1 D A P B C C1

11. 点 A ? 2, ?3? 关于直线 y ? ? x ? 1 的对称点为( A. ? 3, ?2? B. ? 4, ?1? C. ? 5,0 ?

EF 在棱 A1B1 上移动, 12. 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2,线段
点 P, Q 分别在棱 AD,CD 上移动,若 EF ? 1 , PD ? x , A 1 E ? y , CQ ? z , 则三棱锥 Q ? PEF 的体积( A.只与 x 有关 ) C.与 x , y 有关 D.与 x , y , z 无关

Q

B.只与 y 有关

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.请把答案写在答题卷相应位置上. 13.若圆台上底半径为 1,下底半径和高均为 4,则圆台的侧面积为 14. 已知 M ? ?2, ?1? , N ? a,3? ,且 MN ? 5 ,则实数 a ? 15.已知一个球的表面积为 36? cm ,则这个球的体积为
2

. .

cm3 .

16.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n / /? ,则 m ? n ③若 m / /? , n ? ? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 ②若 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? m ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n ,则 m ? ? .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 8 分) 已知直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,点 P 的坐标为 ?1, ? 2 ? . (Ⅰ)求过 P 点且与直线 l 平行的直线方程; (Ⅱ)求过 P 点且与直线 l 垂直的直线方程.

A

B D C

2

18. (本小题满分 8 分) 如图,在四边形 ABCD 中, AD ? DC , AD / / BC ,

AD ? 3 , CD ? 2 , AB ? 2 2 , ?DAB ? 45? ,四 边形绕着直线 AD
旋转一周, (1)求所形成的封 闭几何体的表面积; (2)求所形成的封闭几何体的体积.

19.(本小题满分 8 分) 如图,在梯形 ABCD 中,BC / / AD , AB ? BC , AB ? BC ? 1 ,

P

PA ? AD ? 2 , PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 中点.
(Ⅰ)求证: CE / / 平面 PAB ; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 PAD 所成角的大小. .
B A

E

D

C

20. (本小题满分 8 分) 如图(1) , ?ABC 中, ?ABC ? 90 , AB ? BC ? 2 2 , M 为 AC 中点,现将 ?ABM 沿着 BM
?

边折起,如图(2)所示.
B B

M A M C A

C

图(1)

图(2)

(Ⅰ)求证:平面 BCM ? 平面 ACM . (Ⅱ)若平面 ABM ? 平面 BCM ,求三棱锥 B ? ACM 外接球的直径.

21. (本小题满分 10 分)
3

在平面直角坐标系中,已知 A ? ?1, 2 ? , B ? 2,1? , C ?1, 0? . (Ⅰ)判定三角形 ABC 形状; (Ⅱ)求过点 A 且在 x 轴和在 y 轴上截距互为倒数的直线方程; (Ⅲ)已知 l 是过点 A 的直线,点 C 到直线 l 的距离为 2 ,求直线 l 的方程.

22. (本小题满分 10 分)

M 为 A1B1 的中点. 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 4 正三角形, AA 1 ?2 6 ,
(Ⅰ)求证: AB ? MC ; (Ⅱ)在棱 CC1 上是否存在点 P ,使得 MC ? 平面 ABP ?若存在, 确定点 P 的位置;若不存在,说明理由.
A1 M C1

B1 P

A B

C

4

三明一中 2015-2016 学年下学期第一次月考 高一数学参考答案 一、选择 题: 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B 8 B 9 D 10 D 11 B 12 A

二、填空题: 13. 25? 三、解答题: 17.解: (1)设过 P 点且与直线 l 平行的直线方程为 x ? 2 y ? k ? 0 , 则 1 ? 2 ? ? ?2? ? k ? 0 ,即 k ? 3 , 所以过 P 点且与直线 l 平行的直线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 (2)设过 P 点且与直线 l 垂直的直线方程为 2 x ? y ? b ? 0 , 则 2 ?1 ? ? ?2? ? b ? 0 ,即 b ? ?4 , 所以过 P 点且与直线 l 垂直的直线方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 . 18.解:过点 B 作 BE ? AD 于点 D ,
? 因为 AB ? 2 2 , ?DAB ? 45 ,所以 BE ? 2 ,
A

14. 1 或 ?5

15. 36?

16.①②

……………2 分 ……………3 分 ……………4 分 …………… 6 分 ……………7 分 ……………8 分

所以 DE ? 1

………………1 分

E D

B C

所以四边形绕着直线 AD 旋转一周所形成的封闭几何体为一 个底面半径为 2 , 母线为 1 的圆柱及一个底面半径为 2 ,高为 2 的圆锥的组合体. …………2 分 (1) 所以几何体的表面积为 S ? ? ? 2 ? 2? ? 2 ?1 ? ? ? 2 ? 2 2 ? 8 ? 4 2 ? ,
2

?

?

………5 分

(2) 体积为 V ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 ?
2 2

1 3

20 ?. 3

……………8 分

19.

解: (1)证明: 取 PA 的中点为 F ,连接 EF 、 BF , 因为 E 为 PD 中点,

所以 EF / / AD , EF ?

1 AD , 2

………………1 分

又因为 BC / / AD , BC ?

1 AD ,所以 BC / ?/ EF , 2
P

所以四边形 BCEF 为平行四边形, 所以 CE / / BF , ………………2 分

E F A B C M D

5

又因为 CE ? 平面 PAB , BF ? 平面 PAB , 所以 CE / / 平面 PAB . (2)取 AD 的中点为 M ,连接 CM 、 EM . 则 BC / ?/ AM ,所以四边形 ABCM 是平行四边形, ………………4 分

AB / / CM , CM ? AD ,
又因为 PA ? 平面 ABCD , CM ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CM , 又因为 AM ? PA ? A , CM ? 平面 PAB , ………………7 分

CM ? EM ,
又因为 PA ? 2 , E 、 M 分别为 PD 、 AD 的中点,
? 所以 CM ? EM ? 1 ,所以 ?ECM ? 45 ,

. 所以直线 CE 与平面 PAD 所成角为 45

?

………………8 分

20.解: (1)由图 1 知, BM ? AM , BM ? MC , AM ? MC ? M , 所以 BM ? 平面 AMC . 又因为 BM ? 平面 BMC ,所以平面 BCM ? 平面 ACM . ………………3 分 ………………4 分

(2)因为平面 ABM ? 平面 BCM ,平面 ABM ? 平面 BCM ? BM , BM ? AM ,

AM ? 平面 ABM ,
所以 AM ? 平面 BMC . 所以 AM ? MC ,即 AM 、 MC 、 BM 两两垂直, 而易知 AM ? BM ? MC ? 2 , 所以该三棱锥外接球与以 MA 、 MB 、 MC 为 相邻棱组成的长方体的外接球为同一个球, 所以三棱锥 B ? ACM 外接球的直径为 22 ? 22 ? 22 ? 2 3 . ………………8 分 ………………6 分

21. 解: (1) k AC ? ?1 , kBC ? 1

………………1 分 ………………3 分

k AC ? kBC ? ?1 ,所以三角形 ABC 为直角三角形.
(2)设所求直线方程为

x ? ay ? 1 (a ? 0) , a



?1 1 ? 2a ? 1 即 a ? ? 或 a ? 1 , a 2 1 y ? 1 或 x ? y ?1 , 2
………………6 分
6

所以 ?2 x ?

即得所求直线方程为 4 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

(3)①当直线 l 的斜率不存在时 l 的方程为 x ? ?1 ,此时点 C 到直线的距离为 2,符合题意.(7 分) ②当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ? x ? 1? , 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 , 所以点 C 到直线的距离 d ?

2k ? 2 k 2 ?1

? 2,k ? 0,

所以直线 l 的方程为 y ? 2 ? 0 .

…………9 分 ………………10 分

综上可知,直线 l 的方程为 x ? 1 ? 0 和 y ? 2 ? 0 .

22 解: (1)取 AB 中点 O ,连接 OM , OC ,

ABC , ∵ M 为 A1B1 中点,∴ MO / / AA 1 / /CC1 ,又 AA 1 ⊥平面
∴ MO ⊥平面 ABC , ∴ MO ⊥ AB . ∵△ ABC 为正三角形,∴ AB ⊥ CO ∴ AB ? 平面 OMC 又∵ MC ? 平面 OMC ∴ AB ? MC . ………………1 分 又 MO ∩ OC ? O , ……………3 分 ……………4 分 ……………5 分
C1 M

(2)当 P 为棱 CC1 中点时, MC ? 平面 ABP .证明如下: 连接 C1M , OP .因为 CC1 ⊥平面 ABC , OC ? 平面 ABC , 所以 CC1 ? OC ,又 MO / /CC1 , MO ? CC1 , 四边形 MOCC1 是矩形,
A1

B1 P

OC ? C1M ? 2 3 , OM ? CC1 ? 2 6 ,
当 P 为棱 CC1 中点时,

A O B

C

CP C1M 2 ,所以 Rt ?PCO ~ Rt ?MC1C , ? ? OC CC1 2
所以 ?PCM ? ?OPC ? ?PCM ? ?C1MC ? 90? , 所以 MC ? OP 又因为 AB ? MC , AB ? OP ? O , 所以 MC ? 平面 ABP ,即当 P 为棱 CC1 中点时, MC ? 平面 ABP . .………8 分 ………9 分 ………10 分

7


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