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甘肃省民乐一中2014-2015学年高二第一学期期末考试数学理试题

民乐一中 2014--2015 学年第一学期高二年级期终考试 数学试卷(理科)
命题人:汤继源

第 I 卷(选择题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.有下列四个命题: ①“若 xy ? 1 ,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若 m≤1,则 x -2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A ? B ”的逆否命题. 其中为真命题的是( A.①② B.②③ ) C.④ D.①②③ )
2

2.设点 P(x,y),则“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l :x+y-1=0 上”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.向量 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是( A.a∥c,a∥b B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对

)

4.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真 命题的是( A. p∨q
x

) B.p∧q C. p∧

q

D. p∨ q )

5.曲线 y=sinx+e 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0
x

B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0 ) D.(2,+∞)

6.函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间是( A.(-∞,2) B.(0,3)

C.(1,4)

7.已知 F1 , F2 是距离为 6 的两个定点,动点 M 满足∣ MF1 ∣+∣ MF2 ∣=6,则 M 点的轨 迹是( )

A.椭圆

B.直线
2

C.线段 )

D.圆

8.若方程 + =1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是( 2m 1-m A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,1)
2

x

y

2

D. (??,0) ? (1,??)

9.已知双曲线 - =1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点相同,则此双曲线离心率为 m 5 ( ) A.6 3 B. 2 C. 3 2 2 3 D. 4

x2 y2

10.如图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是 BC、CD 的中点, 则 AB

1 1 ? BC ? BD 等于( 2 2
B. GA D. MG
'



A. AD C. AG

11.已知函数 y ? ( x ? 1) f ( x) 的图象如图所示,其中 f ( x)
'

y

为函数 f ( x) 的导函数,则 y ? f ( x) 的大致图象是(

)

?1
O

1

x

12.已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 为抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段

2

AB 的中点 M 到 y 轴的距离为(
A. 5 4 7 B. 4

) 3 C. 2 3 D. 4

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.命题 p:? x∈R,|x-2|+|x-4|>3 的否定是________________________. 14.已知抛物线 x =4y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5,则点 P 的横坐标是________. 15. 若点 P 是曲线 y=x -lnx 上的任意一点, 则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为________. 16.若函数 f(x)=x -3x+a 有三个不同的零点,则 a 的取值范围是______________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)求下列函数的导数: (1)y= e
1? 2 x
3 2 2

+ln(3-x);
2

1-x (2)y=ln . 1+x

2 18.(本小题满分 12 分)已知命题 p : c < c ,和命题 q : ?x ? R,x ? 4cx ? 1 ? 0 ,

若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 c 的取值范围。 19.(本小题满分 12 分)已知椭圆的两焦点为 F1 (? 3,0) , F2 ( 3, 0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求此椭圆的方程。 (Ⅱ)若直线 y ?

3 。 2

x ? m 与此椭圆交于 M,N 两点,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程。 2

20. (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是
E D

CE和AD 的交点, AC ? BC ,且 AC ? BC 。
(1)求证: AM ? 平面EBC ; (2)求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小; (3)求二面角 A ? EB ? C 的大小。

M

A

C

B

1 2 21.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= x +lnx. 2 (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 2 2 3 (2)求证:当 x>1 时, x +lnx< x . 2 3

22. (本小题满分 12 分)

x 2 y2 如图,点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 作 x a b
轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= 于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

a2 c

民乐一中 2014--2015 学年高二年级期终考试数学(理)试题答案 一、选择题 1D 2A 3C 4D 5C 6D 7C 8D 9B 二、填空题 13、?x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3 三、简答题 14、 ? 4 15、 2 16、(-2,2) 10C 11B 12A

17、(1)-2e

1-2x

1 + -----5 分 x-3
2

2 (2) 2 x ?1

-------5 分

18、解:由不等式 c < c ,得 0 ? c ? 1 ,----------------------------------3 分 即命题 p : 0 ? c ? 1 ,所以命题 ? p : c ? 0 或 c ? 1 , 又由 (4c)2 ? 4 ? 0 ,得 ? 得命题 q : ?

1 1 ?c? , 2 2

1 1 ?c? 2 2 ---------------------------------------------------6 分 1 1 或c ? , 2 2 1 1 ? c ? 0 或 ? c ? 1 。-----------------------12 分 2 2

所以命题 ? q : c ? ?

由题知: p 和 q 必有一个为真一个为假。 故 c 的取值范围是: ? 19、 .解: (Ⅰ )

c? 3
c 3 ? ? a 2
所以,椭圆的方程为:

c? 3
a?2

x2 ? y 2 ? 1。-----------------------5 分 4

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,MN 的中点为 P ( x, y )

x12 ? 4y12 ? 4 x 2 ? 4y2 ? 4
2 2

两式相减得 (x1 +x 2)+4(y 1 +y2) 1

y -y2 ?0 x1 -x 2
-8 分

又 x1 +x 2 =2x,y 1 +y2 ? 2y, 1

y -y 2 1 ? x1 -x 2 2

即 x ? 2y ? 0

因为 P 在椭圆内部,可求得 ? 2 ? x ?

2 2 )-----12 分

所以线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 x ? 2 y ? 0 ( ? 2 ? x ? 20. (本小题满分 12 分)

解: ∵四边形 ACDE 是正方形 ,

? EA ? AC, AM ? EC ,

∵平面 ACDE ? 平面 ABC ,? EA ? 平面 ABC , ∴可以以点 A 为原点,以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴,分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴 和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz .------------2 分 z E 设 EA ? AC ? BC ? 2 ,则

D

A(0,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), E(0,0,2) ,
M

? M 是正方形 ACDE 的对角线的交点,? M (0,1,1) .
(1) AM ? (0,1,1) , EC ? (0,2,0) ? (0,0,2) ? (0,2,?2) , A x B y C

CB ? (2,2,0) ? (0,2,0) ? (2,0,0) , ? AM ? EC ? 0, AM ? CB ? 0 ,
? AM ? EC, AM ? CB
? AM ? 平面 EBC . -----------------------4 分 ? AM ? EBC (2) 平面 ,

? AM 为平面 EBC 的一个法向量,

? AM ? (0,1,1), AB ? (2,2,0) , ? cos AB, AM ?
? AB, AM ? 60? .

AB ? AM AB ? AM

?

1 . 2

∴直线 AB 与平面 EBC 所成的角为 30 ? . --------------------8 分 (3) 设平面 EAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? AE 且 n ? AB ,

? n ? AE ? 0 且 n ? AB ? 0 .

?(0,0,2) ? ( x, y, z) ? 0, ?? ?(2,2,0) ? ( x, y, z ) ? 0.

即?

? z ? 0, ? x ? y ? 0.

取 y ? ?1 ,则 x ? 1 , 则 n ? (1,?1,0) .

又∵ AM 为平面 EBC 的一个法向量,且 AM ? (0,1,1) ,

? cos n, AM ?

1 ?? , 2 n ? AM
? 1 , 2

n ? AM

设二面角 A ? EB ? C 的平面角为 ? ,则 cos ? ? cos n, AM

?? ? 60? . ∴二面角 A ? EB ? C 等于 60 ? .

-----------12 分

21.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}, 1 ∵f′(x)=x+ ,故 f′(x)>0,

x

∴f(x)的单调增区间为(0,+∞). ---------------5 分 2 3 1 2 (2)设 g(x)= x - x -lnx, 3 2 1 2 ∴g′(x)=2x -x- ,

x

(x-1)(2x +x+1) ∵当 x>1 时,g′(x)= >0, ---------------8 分

2

x

∴g(x)在(1,+∞)上为增函数, 1 ∴g(x)>g(1)= >0, 6 1 2 2 3 ∴当 x>1 时, x +lnx< x .- -------------------------12 分 2 3 22.证明:22.解:(1)(方法一)由条件知,P?-c, ?,

? ?

b2? a?

b2 -0 a b2 故直线 PF2 的斜率为 kPF2= =- . -c-c 2ac
2ac 2ac ?a ? 因为 PF2⊥F2Q,所以直线 F2Q 的方程为 y= 2 x- 2 ,故 Q? ,2a?.
2 2

b

b

?c

?

a 由题设知, =4,2a=4,解得 a=2,c=1. c x2 y2
(方法二)设直线 x= 与 x 轴交于点 M,

2

故椭圆方程为 + =1.------ ----------- -----6 分 4 3

a2 c

由条件知,P?-c, ?. a

? ?

b2?

?

因为△PF1F2∽△F2MQ,所以

|PF1| |F1F2| = . |F2M| |MQ|



b2 a

a2 -c c



2c

|MQ|

,解得|MQ|=2a.

a ? ? =4, 所以? c ? ?2a=4,

2

a=2,c=1,

故椭圆方程为 + =1. 4 3

x2 y2

a2 x- c y-2a (2)证明:直线 PQ 的方程为 2 = , b a2 -2a -c- a c c 即 y= x+a. a 2 2 将上式代入椭圆方程得,x +2cx+c =0. 2 b 解得 x=-c,y= , a 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.---------------------------12 分