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2014-2015高考理科数学《导数的概念及其运算》练习题


2014-2015 高考理科数学《导数的概念及其运算》练习题
[A 组 一、选择题 1.与直线 x+3y+1=0 垂直且与曲线 y=x4-x 相切的直线的方程为( A.x-3y-3=0 C.3x-y-1=0 B.3x-y-3=0 D .x-3y-1=0 ) 基础演练·能力提升]

解析:由题意知与曲线 y=x4-x 相切的直线的斜率为 k=3,由(x4-x)′=4x3-1=3 得 x=1, 所以切点为(1,0),切线方程为 y=3(x-1).故选 B. 答案:B 2.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+ln x,则 f′(e)=( A.1 B.-1 C.-e-1 D.-e )

1 1 解析:依题意得,f′(x)=2f′(e)+ ,取 x=e 得 f′(e)=2f′(e)+ ,由此解得 f′(e)=- x e 1 =-e-1,选 C. e 答案:C 3.在函数 y=x3-9x 的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 的点的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3 10 ,显然满足该不等式的整数 x 不 3 π ,且横、纵坐标都为整 4 π ,且横、纵坐标都为整数 4

解析:依题意得,y′=3x2-9,令 0<y′=3x2-9<1 得 3<x2<

存在,因此在函数 y=x3-9x 的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 数的点的个数是 0,选 A. 答案:A 4.曲线 y=ex 在点( 2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( 9 A. e2 4 C.e
2

)

B.2e2 e2 D. 2
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解析:∵f′(x)=e ,∴曲线在点(2,e )处的切线的斜率为 k=f′(2)=e ,切线方程为 y-e

x

2

2

2

=e2(x-2),即 e2x-y-e2=0,切线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为 A(1,0)、B(0,-e2),则切线与 1 e2 坐标轴围成的△OA B 的面积为 × 1×e2= ,选 D. 2 2 答案:D 5. (2014 年济南模拟)若曲 线 f(x)=acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交点(0,m)处有公切线, 则 a+b=( A.-1 C.1 ) B.0 D.2

解析:依题意得,f′(x)=-asin x,g′(x)=2x+b,于是有 f′(0)=g′(0),即-asin 0= 2×0+b,b=0,m=f(0)=g(0),即 m=a=1,因此 a+b=1,选 C. 答案:C 6.(2014 年大同模拟)已知直线 y=kx 与曲线 y=ln x 有公共点,则 k 的最大值为( A.1 1 B. e C. 2 e D. 2 e )

1 解析:从函数图象知在直线 y=kx 与曲线 y=ln x 相切时,k 取最大值.y′=(ln x)′= =k,

x

x= (k≠0),切线方程为 y-ln =k?x- ?,又切线过原点(0,0),代入方程解得 ln k=-1,k= . k k ? k? e
答案:B 二、填空题 7.曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为________. 解析:因为 y′=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率为 k=3,从而切线方程为 y= 3x+1. 答案:y=3x+1 8.(2013 年高考广东卷)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k=________. 1 解析:y′|x=1=0,即当 x=1 时,k+ =k+1=0,解得 k=-1.

1

1

?

1?

1

x

答案:-1 9.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函 数 f′(x)在 D 上也可导,则称

f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″(x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 D 上恒成立,则称 f(x)在 D 上
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π? ? 为凸函数.以下四个函数在?0, ?上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上). 2? ? ①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x; ③f(x)=-x3+ 2x-1;④f(x)=xex. π? π? ? ? 解析:①中,f′(x)=cos x-sin x,f″(x)=-sin x-cos x=-sin?x+ ?<0 在区间?0, ? 4? 2? ? ? π? 1 1 ? 上恒成立;②中,f′(x)= -2(x>0),f″(x)=- 2<0 在区间?0, ?上恒成立;③中,f′(x)=- 2? x x ? π? ? 2 3x +2, f″(x)=-6x 在区间?0, ?上恒小于 0.故①②③为凸函数. ④中, f′(x)=ex+xex, f″(x) 2 ? ? π? ? =2ex +xex=ex(x+2)>0 在区间?0, ?上恒成立,故④中函数不是凸函数. 2? ? 答案:①②③ 三、解答题 10.设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1,当曲线 y=f(x)斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行时, 求 a 的值. 解析: f′(x)=3x +2ax-9=3(x+ ) -9- , 即当 x=- 时, 函数 f′(x)取得最小值-9- , 3 3 3 3 因斜率最小的切线与 12x+y=6 平行, 即该切线的斜率为-12,所以-9- =-12, 3 即 a2=9,∴a=±3. 11.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ 解析:设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3 0),
2 2 3 所以切线方程为 y-x 3 0=3x0(x-x0),即,y=3x0x-2x0, 2

a

2

a2

a

a2

a2

15 x-9 都相切,求 a 的值. 4

3 又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= . 2 当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ 15 25 x-9 相切可得 a=- , 4 64

3 27 27 15 25 当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x-9 相切可得 a=-1,所以 a=-1 或- . 2 4 4 4 64 12.(能力提升)已知函数 f(x)=ln x 与 g(x)=kx+b(k,b∈R)的图象交于 P, Q 两点,曲线 y
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=f(x)在 P,Q 两点处的切线交于点 A. (1)当 k=e,b=-3 时,求函数 f(x)-g(x)的最大值;(e 为自然常数) 1 ? ? e , ?,求实数 k,b 的值. (2)若 A? ?e-1 e-1? 解析:(1)设 h(x)=f(x)-g(x)=ln x-ex+3(x>0), 1? 1 e? 则 h′(x)= -e=- ?x- ?, x x? e? 1 当 0<x< 时,h′(x)>0,此时函数 h(x)为增函数; e 1 当 x> 时,h′(x)<0,此时函数 h(x)为减函数; e ?1? 所以 h(x)max=h? ?=-1-1+3=1,即为所求. ?e? (2)设过点 A 的直线 l 与函数 f(x)=ln x 的图象切于点(x0,ln x0), 1 1 则其斜率 k1= ,故切线 l 的方程为 y-ln x0= (x-x0),

x0

x0

1 ? ? e , ?代入直线 l 的方程得: 将点 A? ?e-1 e-1? 1 1 ?e-1 e-1 1 ? -x0?,即 -ln x0= ? ln x0+ -1=0, e-1 x0? e e x0 ? e ? e-1 1 e-1 1 e-1? ?, 设 v(x)= ln x+ -1(x>0),则 v′(x)= - 2= 2 ?x- e-1? e x ex x ex ? 当 0<x< 当 x> e 时,v′(x)<0,函数 v(x)为减函数; e-1

e 时,v′(x)>0,函数 v(x)为增函数. e-1

故方程 v(x)=0 至多有两个实根, 又 v(1)=v(e)=0,所以方程 v(x)=0 的两个实根为 1 和 e, 故 P(1,0),Q(e,1),所以 k= 1 1 ,b= 为所求. e-1 1-e [B 组 1.过点(0,1)且与曲线 y= A.2x-y+1=0 因材施教·备选练习] )

x+1 在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( x-1
B.2x+y-1=0
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C.x+2y-2=0 解析:因为 y=

D.x-2y+2=0
2

x+1 2 2 =1+ ,所以 y′=- x-1 x-1 x-

,从而可知函数在 x=3 处的导数值为-

1 ,故所求的直线的斜率是 2,直线方程为 y=2x+1,即 2x-y+1=0. 2 答案:A 2.设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 log2 013x1+log2 013x2 +?+log2 013x2 012 的值为________. 解析:y′=(n+1)xn,曲线 y=xn+1 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),所以 xn= 2 011 2 012? ?1 2 × ?=-1. .log2 013x1+log2 013x2+?+log2 013x2 012=log2 013? × ×?× 2 012 2 013? n+1 ?2 3

n

答案:-1 3.(2014 年合肥模拟)若以曲线 y=f(x)任意一 点 M(x,y)为切点作切线 l,曲线上总存在异于 M 的点 N(x1,y1),以点 N 为切点作切线 l1,且 l∥l1,则称曲线 y=f(x)具有“可平行性”.下列曲线 具有可平行性的编号为________.(写出所有满足条件的函数的编号) ①y=x3-x ②y=x+ 1

x

③y=sin x

④y=(x-2)2+ln x

解析: 由题意可知, 对于函数定义域内的任意一个 x 值, 总存在 x1(x1≠ x)使得 f′(x1)=f′(x),
2 对于①,由 f′(x1)=f′(x)可得 x2 1=x ,但当 x=0 时不符合题意,故不具有可平行性;对于②,由

f′(x1)=f′(x)可得 2= 2,此时对于定义域内的任意一个 x 值,总存在 x1=-x,使得 f′(x1)= x1 x f′(x); 对于③, 由 f′(x1)=f′(x)可得 cos x1=cos x, ?x1=x+2kπ (k∈Z), 使得 f′(x1)=f′(x);
1 1 1 2 对于④,由 f′(x1)=f′(x)可得 2(x1-2)+ =2(x-2)+ ,整理得 x1x= ,但当 x= 时不符合 x1 x 2 2 题意.综上,答案为②③. 答案:②③

1

1

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