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2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义


2.4.1 平面向量的数量积的 物理背景及其含义

引例: 1、两个非零向量夹角的概念: 已知非零向量 a , , b 作 OA ? a, OB ? b ,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量 a, b 的夹角.
2、
?
F ? cos?

F

S

如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s, 那么力F所做的功W 可用公式计算:

W ?| F || S | cos?

1.平面向量数量积的定义:

已知非零向量 a , b ,它们的夹角是θ,则数量 | a|? | b | cos? 叫做 a , b 的数量积,记作 a ? b ,即有

又称内积,运 算符号不能省 略,不能用 “×”

a ? b ?| a || b | cos?
注意:两个向量的数量积是一个实数,不是向量, 符号一般由cos?的符号决定; 规定:零向量与任何向量的数量积为0.

2.向量数量积的几何意义

? ? ? 投影的概念:|b |cos?叫做向量b 在 a方向上的投影

当?为锐角时投影 当?为直角时 为正值 投影为0

当?为钝角 时投影为负 值

思考:当?=0或?=π时投影为?

数量积的几何意义:

B

b
?
O

a ? b ? a ? b ? cos?
a
A

| b | cos?

数量积 a ? b等于a的长度a 与b在a的方向上的投影数量 b cos?的乘积 .

3.两个向量的数量积的性质:

? ? ? ? ? ? 当 a 与 b 同向时, a ? b ?| a | .| b | ; 1) ? ? ? ? ? ? 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? | a | .| b |
? ? ? ? ? ?? ? 2)a ? b ? a ? b ? 0(a ? 0, b ? 0)点积为零是判定两非零
向量垂直的等价条件
? ? a ?b 3)cos? = ? ? | a || b |
?2 ? ? ? 2 特别的 a ? a ? a ?| a |

? ? 2 用于计算向量的模 | a |? a

? ? ? ? 4)| a ? b |?| a | .| b |

用于计算向量的夹角, 以及判断三角形的形状

4.数量积的运算律:

? ? ? 是任意三个向量, a、b 、c ??R

? ? ? ? (1)交换律 a?b ? b ?a ? ? ? ? ? ? (2)数乘结合律 (?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)分配律 (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c
注意:

? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
a?c ? b?c ? a ? b

题型一:数量积的定义
例1: 判断正误,并简要说明理由 ① a· 0=0;②0· a=0; ③ 0-AB=BA

④|a· b|=|a||b|;
⑤若a≠0,则对任一非零b有a· b≠0;

⑥ a· b=0,则a与b中至少有一个为0;
⑦对任意向量a,b,c都有

( a· b)c=a(b· c);
⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2

题型二:数量积的公式的应用

例2:已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b, ②a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b

例3:对任意向量 a , b ,是否有结论:

(1) (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b
2

2

2

(2) (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b

2

2

例4:已知|a|=6, |b|=4, a与b的夹角为60o
求: (a ? 2b) ? (a ? 3b) , | a ? 2b |

例5 :已知|a|=3, |b|=4, 且a与b不共线,k 为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直.


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