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第一轮总复习课件(理数):第29讲 平面向量的应用新课标高中数学_图文

新课标高中一轮总复习

理数

? 第四单元 ? 三角函数与平面向 量

第29讲
平面向量的应用

掌握平面向量在解析几何、三角函 数及数列等方面的综合应用 . 平面向量 是中学数学知识的一个交汇点,成为 多项内容的媒介,本讲主要梳理平面 向量与三角函数、解析几何、数列的 交汇,突出培养学生运用向量工具综 合解决问题的能力.

1.设a、b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)· (a-xb) 的图象是一条直线,则必有( A ) A.a⊥b B.a∥b C.|a|=|b| D.|a|≠|b|

因为f(x)=(xa+b)(a-xb)
=xa2-x2a· b+a· b-xb2 =-x2a· b+(a2-b2)x+a· b,

且f(x)的图象是一条直线,所以a· b=0?a⊥b.

?

2.设向量a、b、c满足a+b+c=0,且 a⊥b,|a|=|b|=2,则|c|2=( C) A.1 B.2 C.8 D.5
? a· 因为a⊥b? b=0, ? c=-(a+b), 则由a+b+c=0? 所以|c|2=c· c=|a|2+2a· b+|b|2=8.

3. 已 知 |a|=2|b|≠0 , 且 关 于 x 的 方 程 x2+|a|x+a· b=0有实根,则a与b的夹角的取 值范围是( B ) ? ? A.[0, 6] B.[ 3 ,π] C.[
?
2? 3 ,3



D.[ 6 ,π]
1

?

2, 依题意得,Δ=|a|2-4a·b≥0? ? a·b≤ |a| 4 1 2 |a| a ?b 1 4 所以cos〈a,b〉= | a | ? | b |≤ 1 | a |2 = 2, 2 ?

所以〈a,b〉∈[ 3 ,π].

4.(2009· 广东卷)一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿 )的作用而处于平衡状 态 . 已知 F1,F2 成 60°角,且 F1,F2 的大小分 别为2和4,则F3的大小为( D ) A. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7
F32=F12+F22-2|F1||F2|cos(180°-60°)=28,

所以|F3|=27,选D.

5. 三棱锥 P-ABC 中,已知 PA 、 PB 、 PC 与底面ABC ), ? 所成的角都等于θ(0<θ< O为P在底面 3 +4 2 ??? ? ABC ??? ? 上的射影,且 ??? ? OA OB +5 =0,则△ ABCOC 的内角C=( ) B A. 6
?

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

由PA、PB、PC与底面ABC所成的 角都相等,则射影 O 为△ ABC 的外心, ??? ? 1 ??? ? ??? ? OB |, OC 2 即| |=|OA |=| ∠C= ∠AOB( 圆周角 等于对应圆心角的一半) . ??? ? ??? ? ??? ? OB OA OC 又3 +4??? ? =-5 ??? ? ??? ? , ??? ? ??? ? OA OA OB OB OC 2+16 2+24 ??? ? ??? ? ? · =25? 2, 平方得 9 OA OB 2 4 即 · =0,∠AOB= ,则C= .

1.向量中“数与形”转化化归思想

向量既有大小,又有方向,兼备 “数”“形”双重特点 .向量运算均有相应的 几何性质,因此有关几何性质的问题可通过 向量或其运算转化化归为代数问题分析、探 究. 2.向量的工具性作用 线段的长,直线的夹角,有向线段的分点位 置,图形的平移变换均可用向量形式表示 ,从

3.向量载体的意义

函数、三角函数、数列、解析几何 问题常常由向量形式给出,即以向量为 载体,通过向量的坐标运算转化化归为 相应的函数、三角函数、数列、解析几 何问题,这就是向量载体的意义 .这类问 题情境新颖,处在知识的交汇点,需要 综合应用向量、函数、三角函数、数列、 解析几何知识分析、解决问题.

典例精讲
题型一 平面向量与函数、数列整合 例1 在 直 角 坐 标 平 面 中 , 已 知 点
P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23),…,Pn(n,2n) ,其中 n 是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关 于点P1的对称点,A2为 A1关于点 P2的对称 点,…,An为An-1关于点Pn的对称点.

????? ? (1)求向量 A0 A2 的坐标;

(2)当点A0在曲线C上移动时,点A2的轨迹 是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为 周期的周期函数,且当x∈(0,3]时, f(x)=lgx,求以曲线C为图象的函数在 ????? ? (1,4]上的解析式; (3)对任意正偶数n,用n表示向量 .
A0 An

的坐标

(1) 设点 A0(x,y) , A0 关于点 P1(1 , 2) 的 对 称 点 A1 的 坐 标 为 A1(2-x,4-y),A1关于点 P2(2, 22)的 2的坐标为A2(2+x,4+y). 对称点 A ????? ?

所以

A0 A2

=(2,4).

(2)(方法一)

????? ? 因为A0 A2 =(2,4),所以f(x)的图象由曲线C向

右平移 2个单位长度,再向上平移 4个单 位长度得到. 因此 , 曲线 C 是函数 y=g(x) 的图象 , 其中 g(x) 是以3为周期的周期函数 ,且当x∈(-2,1] 时,g(x)=lg(x+2)-4. 于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

(方法二)

设点A0(x,y),A2(x2,y2),于是 x2-x=2
y2-y=4.

若3<x2≤6,则0<x2-3≤3, 于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3), 当1<x≤4时,则3<x2≤6,y+4=lg(x-1), 所以当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

????? ? ????? ? ????? ? ??????? (3) A0 An = A0 A2+ A2 A4 +…+ An ?2 An . ????????? ???????? ? A2 k ? 2 A2 k =2 A2 k ?1 A2 k ,得 因为 ????? ? ???? ? ???? ? ?????? A0 An本题是向量与函数、数列的交汇,涉 点评 P P3 P4 Pn ?1 Pn 1P 2

及的知识点较多,比如:对称、周期函数、 3)+…+(1,2n-1)] =2[n (1,2)+(1,2 n 图象平移、首尾相接的向量之和、等比数 2(2 ? 1) 4(2n ? 1) 列求和以及中位线等等,这是一道融函数 3 3 =2( 2 , )=(n, ). 意识和数列意识于一起的好题.

=2(

+

+…+

)

题型二 平面向量与三角函数知识整合
例2 设a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),
c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π),a与c的夹角 ? 为θ? 1,b ?与 ? c的夹角为θ2,且θ1-θ2= ,求sin 6 的值. 4

? 2 a=(2cos ? ? ?

,2sin cos ) 2 2 2
? ?
2

?

?

=2cos 2 · (cos
? ?

,sin 2 ),

?

b=(2sin2 2 ,2sin 2 cos 2 )
?

=2sin
2

2

(sin 2 ,cos 2 ),
2

因为α ∈(0,π),β (π,2π), ? ? ∈ ? ?

所以 ∈(0, ), ∈(? ,π), ?
故|a|=2cos ,|b|=2sin ,
2 2

2

2

cosθ1=
cosθ2=

| a | ? | c= | b?c = |b |?| c |

? ?c

2 cos

2

? ? =cos
2

?

2 cos 2 cos 2 2 cos

?

2

, 所以 θ = ; 1 2 2
?
2-

?

?=sin
2

2

?

2=cos(

?

), 2
?

点评 2 - 2 < 2 ,所以θ2= 2- 2,又θ1-θ2= , 6 因为 0<本题是向量与三角函数结合的综合题, ? ? ? ? ?? ? ? 关键是利用数量积,将 θ 、 θ 转换成 α 、 β , 1 2 2 = 6 ,故 2 =- 3 , 所以 2 -?2?+ ? 1 求得结果.? 2 6 4 所以sin =sin(- )=- .

?

?

?

?

?

题型三 平面向量与解析几何整合

例3 (1) 如 图 , OM∥AB , 点 P 在 射 线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影 ??? ? ??? ? ??? ? 区域内(不含边界),且 OP =x OA +yOB ,则实 数对(x,y)可以是( C )
1 3 A.( , ) 4 4 1 3 C.(- 4 , 4 )

B.(D.(-

2 2 , ) 3 3 1 1 5,5)

??? ? (2)已知非零向量 AB

(

??? ? AB ??? ? | AB |

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC AC AB 1 ??? ? ??? ? ??? ? BC=0,且 | AB | · + | AC | )· | AC | = 2

??? ? 与 AC

满足

,

则△ABC为( D ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

(1)(方法一)

特别地,设△ABO是 正三角形.因为满足选项A 的点P在线段AB上,故排

除A;由于OM是∠BOC的平分线,所以满足 1 ??? ? ??? ? 7 ??? ? ??? ?上 选项B的点P恰好在射线 OM , 也不合要求 ; OC 5 OA OD 5 OB 对于选项D来说,作 =, = ,并 ??? ? ? 7 ??? 1 ??? ? 以OC与OD为邻边作平行四边形 OCPD( 如图 OP OA OB 5 5 所示),则点P满足 =+ .

由于|BD|=2|OC|=2|PD|,取BD的中点E, 连接 PE, 易知 PE∥AB, 从而点 P 在阴影区域 外,所以选项D也不符合题意,故选C. (方法二)易知x<0 ,如图 ??? ? ??? ? OC OA 所示延长AO至C使 =x , 再过点C作OB的平行线与 OM、AB的延长线分别交于 P1、P2,

则点P一定在线段 P1P2上 (不含两端点 ). 过点 P1 、 P 、 P2 分别作 OA 的平行线交 OB及延长线于E、F、D, OF 则y= OB . 由△COP △OAB CP 1∽ OF OC OB OB AO 得 = BD = =-x,
1

OB 同理 OD OB

=-x,所以OD=(-x+1)OB,



=1-x,故y∈(-x,1-x),所以答

(2)( 方法一 ) 根据四个选择项的特点,本题可

AB AC ??? ? ??? ? | | AC | 所在直线穿过△ABC (方法二)由于 | AB + ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ??? ? ??? ? AB BC AC 的内心,则由( | AB | +| AC | )· =0知,| |=| | ??? ? ??? ? AB 1 ? ); AC (等腰三角形的三线合一定理 ??? ? ??? ? | AB | | AC | 2 3

采用验证法来处理,不妨先验证等边三角 形,刚好适合题意,则可同时排除其他三 个选择项,故答案必选 ??? ? ??? ? D.



·

=

,所以∠A=

,即△ABC为等边

点评 (1) 方法一与方法二都运用了特

殊化的思想,不同的是前者侧重于用 排除法,而后者侧重于运算;方法二 虽然在本题的处理中显得有点繁锁, 但若背景换成填空题,则这种方法就 显得很重要了.

(2) 方法一抓住了该题选择项的特点而

采用了验证法,是处理本题的巧妙方法; ??? ? 方法二要求学生能领会一些向量表达式与 ??? ? AB AC ??? ? ??? ? | AB | | AC | 三角形某个“心”的关系,如 + 所在 ??? ? ??? ? AB AC 直线一定通过△ABC的内心; + 所在直 ??? ? ??? ? AB 线过 BC 边的中点,从而一定通过△ ABC 的 AC ??? ? ??? ? | AB | ? cos B | AC | ? cos C 重心; + 所在直线一定通过 △ABC的垂心等.

备选题

已知双曲线 x2-y2=2 的右焦点为 F , 过点 F 的动直线与双曲线相交于 A 、 B 两点,点 的坐标为( 1,0),证明: ??? ? C ??? ? CB · CA 为常数 . 由条件,知F(2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2). 当AB与x轴垂直时,可知点A、B 坐标分 2)、(2,- 2 ), 别为 (2, ??? ? ??? ? CA CB 2 2 此时 · =(1, )· (1,- )=-1.

当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是 y=k(x-2)(k≠±1), 代入x2-y2=2,有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0, 则x1、x2是上述方程的两个实根, 4k 2 4k 2 ? 2 2 2 k k ? 1 所以x +x ,x1x2= ? 1 . ??? ??? ? 1? 2= CA CB 于是 · =(x1-1)(x2-1)+y1y2
=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2)
2 2 2 2 2 2 2+1 ( k ? 1)(4 k ? 2) 4 k (2 k 1) =(k +1)x1x2-(2k +1)(x1+x? )+4k 2 2 2 k ?1 k ?1 ??? ? 2 ??? ?

=

-

+4k CA +1 CB

方法提炼
1.由于向量具有“数”“形”双重身

份,加之向量的工具性作用,向量经常 与函数、三角函数、数列、解析几何知 识相结合,综合解决相关问题. 2.利用化归思想将共线、平行、垂直、 平移变换及定比分点向向量的坐标运算 方向转化,线段的长、夹角向向量数量 运算转化,建立几何与代数之间互相转 化的桥梁.

走进高考
OA OB 平面向量 和 ,它们的夹角为120°.如 图所示,点 在以 ??? ? ??? ? C??? ? O为圆心的圆弧 AB上变 OC 动.若 OA =x OB +y ,其中x,y∈R,则x+y 2 的最大值是 .

安徽卷 )给定两个长度为 1的 学例1 (2009· ??? ? ??? ?

(方法一)设∠AOC=α.
因为
? ??? ? ??? OA OC · ??? ? ??? ? OB OC ·

即 cosα=xcos(120°-α)=- 2x+y, 所以x+y=2[cosα+cos(120°? -α)] 6 ? =cosα+3sinα=2sin(α+ )≤2 , 3 当α= 时取等号.

??? ? ??? ? ??? ? ? ??? OA +yOB · OA =x OA · ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA · OB +yOB · OB , =x y 2 1

(方法二)建立如图所示坐标系,
1 则A(1,0),B(- 2

,

3 2

),

由 OC =xOA +y 易得 x=cosα+ 2
y=
3

C(cosα,sinα). ??? ? ??? ?

??? ? OB

1 , 3sinα

? sinα,
6

故x+y=2sin(α+

)≤2.

??? ? ??? ??? ? ? (方法三)如图,将 OC分解为 OA、 OB 方向 ??? ? ??? ? OE . 上的两个向量 OD、 ??? ? ??? ? ??? ? OC = OD + OE , 由图易知, sin ? ??? ? ??? ? ? OF FD tan 60 |+| ??? |=cosα+ ? 所以 x=|??? 2 ? | EG | OE ? 3 sinα, sin 60 y=| |= = ?

所以x+y=2sin(α+ 6)≤2.

(2009· 湖南卷 ) 在△ ABC 中,已 学例 2 ??? ? ????? ??? ? ? ??? ? ???
2 AC AB 3 BC AC AB 知2 · = | |· | |=3

,求角

A,B,C的大小.
? ? ??? ? ??? ??? ? ??? AC = 3 | AB |· 由2 AB· | AC |得2bccosA= 3bc,
3 又A∈(0,π),因此A= ?????6 .

设BC=a,AC=b,AB=c.
3 2

所以cosA=
??? ? 3 AB

.



|

|· |

??? ? AC

|=3

BC 2

得bc=

3 2 a.

3 2 于是sinC· sinB= 3 sin A= 4 . 5? 3 所以sinC· sin( 6 -C)= 4 , 1 3 3 sinC· ( 2 cosC+ 2 sinC)= 4 ,

2C= 3 ,sin2C- 3 cos2C=0, 因此2sinC· cosC+2 sin ? 3 )=0. 5? 即sin(2C? ? ? 4? 6 6 ? ? - 3 <2C- 3 < 3 , 由A= 知0<C< ,所以 3 3 2 ? ? 从而2C=0,或2C- =π. 3 6 ? ? 2? 2? 即C= ? ,或C= .?

3

故A= ,B=

6

3

,C=

6

,或A= ,B= ,C=

6

6

3

.

本节完,谢谢聆听
立足教育,开创未来