某通信公司拟通过某一河流修建水下电缆,需 测量河两岸点A与点B之间的距离。请同学们思考 一下,如何在河一侧得出两岸A与B之间的距离?
B A
B
?
c a
b 本质:在三角中,已知两角及其夹边,求另外边
A
C
一般地,把三角形的三个角A,B,C和他们 的边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的 几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形.
解三角形的一个工具-----正弦定理
教学目标:
一 探究“正弦定理”的内容
二 探究“正弦定理”的应用
教学重点:正弦定理证明及应用.
教学难点:正弦定理在解三角形时应用思 路 . 2015-5-9
? ?
目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用
一 复习旧知
? 1.任意三角形中: 两边之和大于第三边 三边满足: ; 三角满足: 内角和为180° ,并且大边对 大角, 小边对 小角 .
2+b2=c2 a ? 2.直角三角形三边长满足勾股定理,即 .
π a 3.在 Rt△ABC 中,C= ,则 = 2 c
2015-5-9
b sin A , = c
sin B
? ?
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二 探究新知
探究一 正弦定理
1、回忆一下直角三角形的边角关系 ? a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗? B
a b ? ?c sin A sin B
A c a b C
a b c ? ? sin A sin B sin C
sin C ? 1
那么在任意一个三角形中这个式子还成立吗?
? ?
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转化为直角三角形 c AD b B 图1
A b aD C
情况一:三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D, AD sinC= 此时有 sinB= c
则 AD= csinB=bsinC
同理可得
b c 即 ? , sin B sin C
a c ? , sin A sin C
B
情况二:三角形是钝角三角形, 如图2,
D
∟
a b c 即: ? ? sin A sin B sin C
c
a
A b
C
? ?
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B
转化为直角三角形
c
D
a
A b C
BD = csinA,
BD = csinC,
同理
2015-5-9
∟
a b = . sinA sinB
a c ? , sin A sin C
a b c ? ? sin A sin B sin C
? ?
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正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的 比相等, 即 a b c ? ? 要牢记 sin A sin B sin C
哟!
注: 边和它所对角的正弦比相等
每个等式可视为一个方程:知三求一
? ?
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探究二 正弦定理的应用
?
利用正弦定理可以解决一些怎样的解 三角形问题呢?
? ?
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?例1 在△ABC中,a=5,B=45°,C=105°, C 解三角形. 已知两角和任意边,求其他两边和 一角
c
a
解:由三角形内角和知A+B+C= 180°,
A
b
B
所以A= 180° -(B+C)=180°-(45°+105°)=30°. 由正弦定理:
a b c ? ? sin a sin b sin c
0
sin b sin 450 b?a ?5 ?5 2 o sin a sin 30
0
sin c sin(60 ? 45 ) 5 c?a ?5 ? ( 6 ? 2) 0 sin a sin 30 2
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? ?
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例2.在ΔABC中,b = 3,B = 600 ,c = 1, 求a和A,C
b c 解:由 = sinB sinC
csinB 1 ? sin600 1 ?sinC = = = b 2 3
C
C = 30 或150
。 。
0
。
。 。
3
由于150 + 60 = 210 > 180
60 0
∵C≠150。 , ?C = 30。 ? A = 900
A
1
B
?a = b +c = 2
2 2
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已知两边和其中一边的对角, 可以求出三角形的其他的边和角
? ?
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例3: 在△ABC中,a= 2 3 ,b=6,A=30°,解三角 形. C 0 0 解:因为a= 2 3 ,b=6, a?b, A ? 30 ?90
又因为
b sin A ? 6sin30 ? 3, a?b sin A
0
b A B2
a
D
所以本题有两解,有正弦定理得:
O b sin A 6sin 300 3 O B ? 120 sin B ? ? ? , B ? 60 a 2 2 3
B1
B ? 600 C ? 900 c ? a2 ? b2 ? 4 3
B ? 120o C ? 300 c ? a ? 2 3
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已知两边和其中一边的对角, 可以求出三角形的其他的边和角
? ?
目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用
某通信公司拟通过某一河流修建水下电缆,需测 量河两岸点A与点B之间的距离.请同学们思考一 下,如何在河的一侧得出两岸A与B之间的距离?
B A
? ?
目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用
B
?
A
b
C
如果测得角A=450,角B=1200,基线AC的 长b=1km,如何求出AB两点的距离?
? ?
目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用
B
?
b 如果测得角A=450,角B=1200,基线AC的 长b=1km,如何求出AB两点的距离?
解:由正弦定理得 AB = AC 则AC= ABsinB sinC sinC sinB
6 2
A
C
求出AC=
? ?
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随堂练习
1、在 ?ABC 中,一定成立的等式是( )
A. a sin A ? b sin B C . a sin B ? b sin A
C
B . a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A
2、已知c= 3 ,A=45°,B=75°,则 a=____ 2 ,C=?,c=?
? ?
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3、△ABC中,B=30°,c=150,b=50 △ABC的形状是( D )
A 等边三角形 C 直角三角形 B D
3 ,则
等腰三角形 等腰或直角三角形
4、△ABC中,已知a=2 2 ,b=2 3,A=45°, 则B= 60°或120°
? ?
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三、小结
一 探究“正弦定理”的内容
a b c ? ? sin A sin B sin C
二 探究“正弦定理”的应用
已知两角和任意边,求其他两边和一角
已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角
2015-5-9
四
作业
1、在△ABC中 已知a=18,B=60°,C=75°, 求b=
2、已知c=2,A=120°,a= 2 3,则B=____ 3、 △ABC中,a=50,b=25 ,A=45°,求B 6