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集备1[1].1.1


某通信公司拟通过某一河流修建水下电缆,需 测量河两岸点A与点B之间的距离。请同学们思考 一下,如何在河一侧得出两岸A与B之间的距离?

B A

B

?
c a

b 本质:在三角中,已知两角及其夹边,求另外边

A

C

一般地,把三角形的三个角A,B,C和他们 的边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的 几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形.

解三角形的一个工具-----正弦定理
教学目标:
一 探究“正弦定理”的内容

二 探究“正弦定理”的应用
教学重点:正弦定理证明及应用.

教学难点:正弦定理在解三角形时应用思 路 . 2015-5-9

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

一 复习旧知
? 1.任意三角形中: 两边之和大于第三边 三边满足: ; 三角满足: 内角和为180° ,并且大边对 大角, 小边对 小角 .
2+b2=c2 a ? 2.直角三角形三边长满足勾股定理,即 .

π a 3.在 Rt△ABC 中,C= ,则 = 2 c
2015-5-9

b sin A , = c

sin B

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

二 探究新知
探究一 正弦定理
1、回忆一下直角三角形的边角关系 ? a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗? B
a b ? ?c sin A sin B

A c a b C

a b c ? ? sin A sin B sin C

sin C ? 1

那么在任意一个三角形中这个式子还成立吗?

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

转化为直角三角形 c AD b B 图1

A b aD C

情况一:三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D, AD sinC= 此时有 sinB= c

则 AD= csinB=bsinC
同理可得

b c 即 ? , sin B sin C

a c ? , sin A sin C

B

情况二:三角形是钝角三角形, 如图2,

D



a b c 即: ? ? sin A sin B sin C

c

a
A b

C

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

B

转化为直角三角形

c
D

a
A b C

BD = csinA,
BD = csinC,

同理
2015-5-9



a b = . sinA sinB
a c ? , sin A sin C

a b c   ? ? sin A sin B sin C

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的 比相等, 即 a b c   ? ? 要牢记 sin A sin B sin C

哟!

注: 边和它所对角的正弦比相等
每个等式可视为一个方程:知三求一

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

探究二 正弦定理的应用

?

利用正弦定理可以解决一些怎样的解 三角形问题呢?

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

?例1 在△ABC中,a=5,B=45°,C=105°, C 解三角形. 已知两角和任意边,求其他两边和 一角

c

a

解:由三角形内角和知A+B+C= 180°,

A

b

B

所以A= 180° -(B+C)=180°-(45°+105°)=30°. 由正弦定理:

a b c ? ? sin a sin b sin c
0

sin b sin 450 b?a ?5 ?5 2 o sin a sin 30
0

sin c sin(60 ? 45 ) 5 c?a ?5 ? ( 6 ? 2) 0 sin a sin 30 2
2015-5-9

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

例2.在ΔABC中,b = 3,B = 600 ,c = 1, 求a和A,C
b c 解:由 = sinB sinC
csinB 1 ? sin600 1 ?sinC = = = b 2 3
C

C = 30 或150
。 。

0


。 。

3

由于150 + 60 = 210 > 180

60 0

∵C≠150。 , ?C = 30。 ? A = 900

A

1

B

?a = b +c = 2
2 2
2015-5-9

已知两边和其中一边的对角, 可以求出三角形的其他的边和角

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

例3: 在△ABC中,a= 2 3 ,b=6,A=30°,解三角 形. C 0 0 解:因为a= 2 3 ,b=6, a?b, A ? 30 ?90
又因为

b sin A ? 6sin30 ? 3, a?b sin A
0

b A B2

a

D

所以本题有两解,有正弦定理得:
O b sin A 6sin 300 3 O B ? 120 sin B ? ? ? , B ? 60 a 2 2 3

B1

B ? 600 C ? 900 c ? a2 ? b2 ? 4 3

B ? 120o C ? 300 c ? a ? 2 3
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已知两边和其中一边的对角, 可以求出三角形的其他的边和角

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

某通信公司拟通过某一河流修建水下电缆,需测 量河两岸点A与点B之间的距离.请同学们思考一 下,如何在河的一侧得出两岸A与B之间的距离?

B A

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

B

?

A

b

C

如果测得角A=450,角B=1200,基线AC的 长b=1km,如何求出AB两点的距离?

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

B

?

b 如果测得角A=450,角B=1200,基线AC的 长b=1km,如何求出AB两点的距离?
解:由正弦定理得 AB = AC 则AC= ABsinB sinC sinC sinB
6 2

A

C

求出AC=

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

随堂练习
1、在 ?ABC 中,一定成立的等式是( )
A. a sin A ? b sin B C . a sin B ? b sin A

C

B . a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A

2、已知c= 3 ,A=45°,B=75°,则 a=____ 2 ,C=?,c=?

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

3、△ABC中,B=30°,c=150,b=50 △ABC的形状是( D )
A 等边三角形 C 直角三角形 B D

3 ,则

等腰三角形 等腰或直角三角形

4、△ABC中,已知a=2 2 ,b=2 3,A=45°, 则B= 60°或120°

? ?

目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用

三、小结
一 探究“正弦定理”的内容
a b c   ? ? sin A sin B sin C

二 探究“正弦定理”的应用
已知两角和任意边,求其他两边和一角
已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角

2015-5-9



作业

1、在△ABC中 已知a=18,B=60°,C=75°, 求b=
2、已知c=2,A=120°,a= 2 3,则B=____ 3、 △ABC中,a=50,b=25 ,A=45°,求B 6


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