集备1[1].1.1
某通信公司拟通过某一河流修建水下电缆，需 测量河两岸点A与点B之间的距离。请同学们思考 一下，如何在河一侧得出两岸A与B之间的距离？
B A
B
?
c a
b 本质:在三角中，已知两角及其夹边，求另外边
A
C
一般地，把三角形的三个角A,B,C和他们 的边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的 几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.
解三角形的一个工具-----正弦定理
教学目标：
一 探究“正弦定理”的内容
二 探究“正弦定理”的应用
教学重点：正弦定理证明及应用.
教学难点：正弦定理在解三角形时应用思 路 . 2015-5-9
? ?
目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用
一 复习旧知
? 1．任意三角形中： 两边之和大于第三边 三边满足： ; 三角满足： 内角和为180° ，并且大边对 大角， 小边对 小角 .
2＋b2＝c2 a ? 2．直角三角形三边长满足勾股定理，即 .
π a 3．在 Rt△ABC 中，C＝ ，则 ＝ 2 c
2015-5-9
b sin A ， ＝ c
sin B
? ?
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二 探究新知
探究一 正弦定理
1、回忆一下直角三角形的边角关系 ? a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗？ B
a b ? ?c sin A sin B
A c a b C
a b c ? ? sin A sin B sin C
sin C ? 1
那么在任意一个三角形中这个式子还成立吗？
? ?
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转化为直角三角形 c AD b B 图1
A b aD C
情况一：三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D, AD sinC= 此时有 sinB= c
则 AD= csinB=bsinC
同理可得
b c 即 ? , sin B sin C
a c ? , sin A sin C
B
情况二：三角形是钝角三角形, 如图2,
D
∟
a b c 即： ? ? sin A sin B sin C
c
a
A b
C
? ?
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B
转化为直角三角形
c
D
a
A b C
BD = csinA,
BD = csinC,
同理
2015-5-9
∟
a b = . sinA sinB
a c ? , sin A sin C
a b c ? ? sin A sin B sin C
? ?
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正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的 比相等， 即 a b c ? ? 要牢记 sin A sin B sin C
哟!
注： 边和它所对角的正弦比相等
每个等式可视为一个方程：知三求一
? ?
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探究二 正弦定理的应用
?
利用正弦定理可以解决一些怎样的解 三角形问题呢？
? ?
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?例1 在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°， C 解三角形． 已知两角和任意边，求其他两边和 一角
c
a
解：由三角形内角和知A+B+C= 180°,
A
b
B
所以A= 180° －(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理：
a b c ? ? sin a sin b sin c
0
sin b sin 450 b?a ?5 ?5 2 o sin a sin 30
0
sin c sin(60 ? 45 ) 5 c?a ?5 ? ( 6 ? 2) 0 sin a sin 30 2
2015-5-9
? ?
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例2.在ΔABC中，b = 3,B = 600 ,c = 1, 求a和A,C
b c 解：由 = sinB sinC
csinB 1 ? sin600 1 ?sinC = = = b 2 3
C
C = 30 或150
。 。
0
。
。 。
3
由于150 + 60 = 210 > 180
60 0
∵C≠150。 ， ?C = 30。 ? A = 900
A
1
B
?a = b +c = 2
2 2
2015-5-9
已知两边和其中一边的对角， 可以求出三角形的其他的边和角
? ?
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例3: 在△ABC中，a＝ 2 3 ，b＝6，A＝30°，解三角 形． C 0 0 解：因为a= 2 3 ，b=6， a?b, A ? 30 ?90
又因为
b sin A ? 6sin30 ? 3, a?b sin A
0
b A B2
a
D
所以本题有两解，有正弦定理得：
O b sin A 6sin 300 3 O B ? 120 sin B ? ? ? , B ? 60 a 2 2 3
B1
B ? 600 C ? 900 c ? a2 ? b2 ? 4 3
B ? 120o C ? 300 c ? a ? 2 3
2015-5-9
已知两边和其中一边的对角， 可以求出三角形的其他的边和角
? ?
目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用
某通信公司拟通过某一河流修建水下电缆，需测 量河两岸点A与点B之间的距离．请同学们思考一 下，如何在河的一侧得出两岸A与B之间的距离？
B A
? ?
目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用
B
?
A
b
C
如果测得角A=450,角B=1200，基线AC的 长b=1km,如何求出AB两点的距离？
? ?
目标一 探究“正弦定理”的内容 目标二 探究“正弦定理”的应用
B
?
b 如果测得角A=450,角B=1200，基线AC的 长b=1km,如何求出AB两点的距离？
解：由正弦定理得 AB = AC 则AC= ABsinB sinC sinC sinB
6 2
A
C
求出AC=
? ?
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随堂练习
1、在 ?ABC 中，一定成立的等式是（ ）
A. a sin A ? b sin B C . a sin B ? b sin A
C
B . a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A
2、已知c＝ 3 ，A＝45°，B＝75°，则 a=____ 2 ，C=？，c=？
? ?
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3、△ABC中，B=30°，c=150，b=50 △ABC的形状是（ D ）
A 等边三角形 C 直角三角形 B D
3 ，则
等腰三角形 等腰或直角三角形
4、△ABC中，已知a=2 2 ，b=2 3，A=45°， 则B= 60°或120°
? ?
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三、小结
一 探究“正弦定理”的内容
a b c ? ? sin A sin B sin C
二 探究“正弦定理”的应用
已知两角和任意边，求其他两边和一角
已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角
2015-5-9
四
作业
1、在△ABC中 已知a=18，B=60°，C=75°， 求b=
2、已知c＝2，A＝120°，a＝ 2 3，则B＝____ 3、 △ABC中，a=50，b=25 ，A=45°，求B 6
