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2017届山东潍坊市高三理上学期期中联考数学试卷(带解析)


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2017 届山东潍坊市高三理上学期期中联考数学试卷 (带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.设集合 M ? ??1 ,0 , 1 ,2? , N ? x x2 ? x ? 2 ? 0 ,则 M ? N ? ( A. ?0 , 1? C. ?1 ,2? B. ??1 ,0? D. ??1 ,2? )

?

?



2.设命题 p : ?x ? 0 ,x2 ? 1 ,则 ?p 为( A. ?x ? 0 ,x 2 ? 1 C. ?x ? 0 ,x 2 ? 1 B. ?x ? 0 ,x 2 ? 1 D. ?x ? 0 ,x 2 ? 1

?? ? 3.为了得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象( 4? ?



? 个单位 8 ? C.向左平移 个单位 4
A.向左平移 4.函数 f ? x ? ? A. [0 , ? ?) C. ?0 ,2?
1 ln ?5 ? 2 x ?

? 个单位 8 ? D.向右平移 个单位 4
B.向右平移
? e x ? 1 的定义域为(



B. (?? ,2] D. [0 ,2)

?y ? x ? 5.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ? ?1 ?



A. ?3 B. ?2 C. ?1 D.1 6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步 不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其 大意为:“有一个人走了 378 里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程 为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地.”问此人第 4 天和第 5 天共走了( )
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A.60 里 7.函数 y ?
2

B.48 里

C.36 里 )

D.24 里

2x ? 3x 的图象大致是( ex

8 . 函 数 f ? x ? 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 且 对 任 意 x ? R 都 有 f ? x ? 3? ? ? f ? x ? , 若 当
5? ?1? ?3 x ? ? , ? 时, f ? x ? ? ? ? ,则 f ? 2017 ? ? ( 2 2 ? ? ?2?
x



1 1 B. C. ?4 D.4 4 4 9 . 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , M , N 分 别 为 AB , AD 上 的 点 , 且 ? ? ? ? ? ? ???? ? 3 ??? ? ???? 2 ???? P ?? A C , 连接 AC ,MN 交于 P 点, 若A 则 ? 的值为 ( ) AM ? AB ,AN ? AD , 4 3
A. ?

N

D

C

A
A.

M
3 5
B.

B
3 7
C.

6 13

D.

6 17

10.函数 f ? x ? ? ? kx ? 4? ln x ? x ? x ? 1? ,若 f ? x ? ? 0 的解集为 ? s ,t ? ,且 ? s ,t ? 中只有 一个整数,则实数 k 的取值范围为( ) 1 4? 1 1 4 ? 1 ?2 , ? ? A. ? B. ( ?2 , ? ] ln 2 ln 3 3 ln 2 ln 3 3 ? ? 4 1 1 4 1 ? 1 ? ? , ? 1? C. ( D. ? ? , ? 1] ln 3 3 2ln 2 ? ln 3 3 2 ln 2 ?

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 11.定积分 ? ? 3x 2 ? e x ? 1? dx 的值为
1 0

. .
cos ?? ? ?? ? sin ? ? ? ? 4? ?

12.不等式 x ? 2 ? 2x ? 1 ? 0 的解集为

?? 4 ?? ? ? 13.已知 cos ? ? ? ? ? , ? ? ? 0 , ? ,则 4? 5 4? ? ?



14.一艘海警船从港口 A 出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 ? 方向直线航行, 30 分钟后到达 B 处, 这时候接到从 C 处发出的一求救信号, 已知 C 在 B 的北偏东 65 ? , 港口 A 的东偏南 20 ? 处,那么 B , C 两点的距离是 海里.

? 2 ?1 ,x ? 1 15.设函数 f ? x ? ? ? ,若函数 g ? x ? ? ? f ? x ?? ? bf ? x ? ? c 有三个零点 ? ? ? ?log a x ? 1 ? 1 ,x ? 1
x1 , x 2 , x3 ,则 x1 x2 ? x2 x3 ? x1 x3 等于

.

评卷人

得分 三、解答题

16.设函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos 2 ? x ? 的距离为 ? 2 ? 4 . (1)求 ? 的值;

3 ?? ? 0 ? 的图象上相邻最高点与最低点 2

?? ? (2) 若函数 y ? f ? x ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 是奇函数, 求函数 g ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? 在 ?0 ,2? ? 上 2? ? 的单调递减区间. 17 . 已 知 在 △ ABC 中 , 内 角 A , B, C的 对 边 分 别 为 a ,b ,c , 向 量
m ? ? a ? b, s iA n?

与向量 n ? ? a ? c ,sin ? A ? C ?? 共线. in ?sC

(1)求角 C 的值; ??? ? ???? ??? ? (2)若 AC ? CB ? ?27 ,求 AB 的最小值. 18.已知 m ? R ,设 p : ?x ???1 , 1? , x2 ? 2 x ? 4m2 ? 8m ? 2 ? 0 成立; q : ?x ??1 ,2? ,

log 1 ? x2 ? mx ? 1? ? ?1 成立,如果“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,求 m 的取值范围.
2

19.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且点 P ? an ,Sn ? (其中 n ? 1 且 n ? N )在
?1? 直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 上;数列 ? ? 是首项为 ?1 ,公差为 ?2 的等差数列. ? bn ?
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(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?
1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an ? bn

20.在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业,根据
? v ? 已往经验, 潜水员下潜的平均速度为 v(米/单位时间) , 每单位时间的用氧量为 ? ? ? 1 ? 10 ?
3

(升) ,在水底作业 10 个单位时间,每单位时间用氧量为 0.9 (升) ,返回水面的平均速

v 度为 (米/单位时间) ,每单位时间用氧量为 1.5 (升) ,记该潜水员在此次考察活动中 2 的总用氧量为 y (升). (1)求 y 关于 v 的函数关系式;
(2)若 c ? v ? 15 ? c ? 0? ,求当下潜速度 v 取什么值时,总用氧量最少. 21.已知函数 f ? x ? ?

ln x . x ?1

(1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1 ,f ?1? ? 处的切线方程; (2)若 x ? 0 且 x ? 1 , f ? x ? ? (i)求实数 t 的最大值;
n ?1? 1 1 (ii)证明不等式: ln n ? ? ? ? ? ? ? n ? N *且n ? 2 ? . 2 2n i ?1 ? i ?

t ln x . ? x x ?1

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析: 因为 M ? ??1 ,0 , 所以 M ? N ? 1 ,2? ,N ? x x2 ? x ? 2 ? 0 ? ?x ?1 ? x ? 2? ,

?

?

?0 ,1? ,故选 A.
考点:1、集合的表示方法;2、集合的交集. 2.B 【解析】 试题分析: 因为特称命题的否定是全称命题, 且先将存在量词改成全称量词, 然后否定结论, 所以命题 p : ?x ? 0 , x 2 ? 1 的否定是 ?p 为 ?x ? 0 ,x 2 ? 1 ,故选 B. 考点:1、特称命题的与全称命题;2、存在量词与全称量词. 3.A 【解析】 试题分析: 因为 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?? ?? ? ? 所以 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象向左平移 ? ? sin 2 ? x ? ? , 4 ? ? 8 4? 8? ?
?

个单位后可得 y ? sin 2 ? x ?

? ?

?
8

??

所以为了得到函数 y ? sin 2 x 的图象, ? ? sin 2 x 的图象, 8?

? ?? ? 只需把 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象向左平移 个单位,故选 A. 4? ? 8
考点:三角函数图象的平移变换. 4.D 【解析】

?5 ? 2 x ? 0 ? 1 试题分析:因为 f ? x ? ? ? e x ? 1 ,由 ?ln ?5 ?2 x ? ?0 可得 0 ? x ? 2 ,所以函数 ln ? 5 ? 2 x ? ? x ?e ? 1 ? 0
f ? x? ? 1 ln ? 5 ? 2 x ? ? e x ? 1 的定义域为 [0 ,2) ,故选 D.

考点:1、函数的定义域;2、对数函数与指数函数的性质. 5.A 【解析】
?y ? x ? 试题分析:画出约束条件 ? x ? y ? 1 表示的可行域如图,由图知,当直线 y ? ?2 x ? z 平移经 ? y ? ?1 ?

过点 A ? ?1, ?1? 时标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为: z ? ?2 ? 1 ? 1 ? ?3 ,故选 A.

答案第 1 页,总 12 页

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考点:1、可行域的画法;2、最优解的求法. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函 数最值的一般步骤是“一画、二移、三求” : (1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ; (2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或 最后通过的顶点就是最优解) ; (3)将最优解坐标代入目标函数求出最值. 6.C 【解析】 试题分析: 由题意知, 此人每天走的里数构成公比为

1 的等比数列, 设等比数列的首项为 a1 , 2 1 ? 12 2





1? ? a1 ?1 ? 6 ? ? 2 ? ? 378, a ? 192, a ? 192 ? 1 ? 24 1 4 1 8 1? 2



a5 ? 24 ?



a4 ? a5 ? 24 ? 12 ? 36 ,所以此人第 4 天和第 5 天共走了 36 里,故选 C.
考点:1、阅读能力及建模能力;2、等比数列的通项及求和公式. 7.A 【解析】 试题分析:因为 y ?

2x2 ? 3x 有两个零点 ex

x ? 0, x ? 3 ,所以排除 B,当 x ? 0.1 时 y ? 0 ,

排除 C, x ??? 时 y ? 0 ,排除 D,故选 A. 考点:1、函数的图象与性质;2、排除法解选择题. 8.A 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 f ? x ? 对 任 意 x ? R 都 有 f ? x ? 3? ? ? f ? x ? , 所 以 函数 f ? x ? 是周期为 6 的函数,f ? 2017 ? ? f ?336 ? 6 ? 1? ? f ?1? , f ? x ? 6? ? ? f ? x ? 3? ? f ? x ? , 由 f ? x ? 3? ? ? f ? x ? 可得 f ? ?2 ? 3? ? ? f ? ?2? ? f ?1? ,因为函数 f ? x ? 的图象关于 y 轴对称,
1 1 ?1? 所以函数 f ? x ? 是偶函数,f ? ?2 ? ? f ? 2 ? ? ? ? ? , 所以 f ? 2017 ? ? f ?1? ? ? f ? ?2 ? ? ? , 2 4 4 ? ?
2

故选 A. 考点:1、函数的解析式;2、函数的奇偶性与周期性.
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9.D 【解析】

???? ? 3 ??? ? ???? 2 ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? 试题分析:因为 AP ? ? AC ? ? AB+ AD ? ? AB+? AD ,又 AM ? AB ,AN ? AD ,所以 4 3 ??? ? 4 ???? ? 3 ???? 4 3 4 3 6 ,故选 AP ? ? AM ? ? AN ,而 P, M , N 三点共线, ? ? ? ? 1 , ? ? ? ? 1 , ? ? 3 2 3 2 3 2 17 D. 考点:1、平面向量的共线的性质;2、向量运算的平行四边形法则. 【 方法点睛】本题主要考查平面向量的共线的性质、向量运算的平行四边形法则,属于难 题.向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运 算法则是: (1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差) ; (2)三 角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和) ;二是坐标运算:建立坐标系转化 为解析几何问题解答(这种方法将几何问题转化为代数问题你, 更加直观). 本题的解答主要 根据向量运算的平行四边形法则解答的. 10.B 【解析】

?

?

kx ? 4 ? 试题分析:f ? x ? ? 0 ? x ? 1? 只有一个整数解等价于,
设 g ? x? ?

x 只有一个大于 1 的整数解, ln x

x ln x ? 1 ,可得 g ? x ? 在 ?1, e ? 递减,在 ? e, ??? 递增,由图可知, , g '? x? ? 2 ln x ? ln x ?

kx ? 4 ?

x 只 有 一 个 大 于 1 的 整 数 解 只 能 是 2 , 所 以 有 ln x

2 ? 2k ? 4 ? ? 1 4 ? ln 2 1 , ? 2 <k< ? ,故选 B. ? ln 3 3 ?3k ? 4 ? 3 ln 2 ? ln 3 ?

y
6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1

-1

O1

2

3

x

考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、不等式的整数解及数形结合思想的应用. 【方法点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、 不等式的整数解及数形结合思想的 应用,属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解 决数学问题的一种重要思想方法, 是中学数学四种重要的数学思想之一, 尤其在解决选择题、 填空题是发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数 的性质研究透, 这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为 简,并迎刃而解.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有: ( 1)确定方程根的个数;
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(2)求参数的取值范围; (3)求不等式的解集. 11. e ? 1 【解析】 试题分析: ? ? 3x 2 ? e x ? 1? dx ? ? x3 ? e x ? x ? |1 0 ? ? e ? 2 ? ? 1 ? e ? 1 ,故答案为 e ? 1 .
1 0

考点:定积分的求法. 12. ? ?1 , 1? 【解析】 试题分析:因为 x ? 2 ? 2x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 2 ? 2x ? 1 , x ? 2 ? 2x ? 1 , ?3x ? 3?? x ? 1? ? 0 ,
2 2

解得 ?1 ? x ? 1 ,故答案为 ? ?1 , 1? . 考点:绝对值不等式的解法及一元二次不等式的解法.

6 5 【解析】
13.

?? 3 ?? 4 ? ?? ? 3 ? 试 题 分 析 : 因 为 cos ? ? ? ? ? , 所 以 sin ? ? ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? ? , 可 得 4 5 ? ? 4? 5 ? ?4 ? 5
co? s? ? ?? ? sin ? ? ? ? 4? ?

?? ? sin 2? ? ? ? ?? 2? ? ? ? 2 c o?s ? ? ?? ?? 4? ? ? s? i? n? ? 4 ? ?

?? ? ? ?? 2? sin ? ?? ? ? ? ? 4 ?? ? 2 ?

?? ? i? n? ? ?2 s? ? 4 ?

6 , 故答案为 5

6 . 5 考点:1、诱导公式的应用;2、同角三角函数之间的关系及二倍角的正弦公式.
14. 10 2 【解析】 试 题


?




?








?



?B

? 9A ? 0C

?4

0 ?

2? ? A 0

B ? 3 ?C

,0从? 而 得,

?

?

A

4

?ACB ? 45? ,由正弦定理可得 BC ?

AB ? sin 30? ? 10 2 ,故答案为 10 2 . sin 45?

A C B

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考点:1、阅读能力建模能力;2、三角形内角和定理及正弦定理. 【方法点睛】本题主要考查阅读能力建模能力、三角形内角和定理及正弦定理属于中档题. 与实际应用相结合的三角函数题型也是高考命题的动向, 该题型往往综合考查余弦定理, 余 弦定理以及与三角形有关的其他性质定理.余弦定理,余弦定理是揭示三角形边角关系的重 要定理, 直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问 题;本题将实际问题转化为正弦定理的应用是解题的关键所在. 15. 2 【解析】 试题分析:由图可得关于 x 的方程 f ? x ? ? t 的解有两个或三个( t ? 1 时有三个, t ? 1 时有
2 两个) ,所以关于 t 的方程 t ? bt ? c ? 0 只能有一个根 t ? 1 (若有两个根,则关于 x 的方程

, 由 f ? x ? ? 1, 可得 x1 ,x 2 ,x3 的值分别为 0,1, 2 , ? ? f ? x ?? ? ? bf ? x ? ? c ? 0 有四个或五个根)
2

x1 x2 ? x2 x3 ? x1 x3 ? 0 ? 1 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 2 ,故答案为 2 .

y
2

1

-4

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

4

x

-2

考点:1、分段函数的图象和解析式;2、函数零点与方程根之间的关系及数形结合思想的应 用. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象和解析式;2、函数零点与方程根之间的关系及 数形结合思想的应用,属于难题. 判断方程 y ? f ? x ? 零点个数 的常用方法:① 直接法: 可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数;②转化法:函数 y ? f ? x ? 零点个数 就是方程 f ? x ? ? 0 根的个数,结合函数的图象与性质 (如单调性、奇偶性、周期性、对称 性) 可确定函数的零点个数; ③数形结合法: 一是转化为两个函数 y ? g ? x ? , y ? h ? x ? 的图 象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为

y ? a, y ? g ? x ? 的交点个数的图象的交点个数问题 .本题判定方程 f ? x ? ? t 的根的个数
是就利用了方法③.

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16. (1) ? ?

2? ? ? 7 5 ? 1 ?? ; (2) ? , ? , ? ? , ? ? . 3 ? ?6 3 ? 2 ?6

【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 根 据 二 倍 角 的 正 弦 余 弦 公 式 及 两 角 差 的 正 弦 公 式 可 将
f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos 2 ? x ?
2 3 ?? ?T ? ? 2 f ? x ?max ? ??2 ?4 化为 sin ? 2? x ? ? , 根据 ? ? ? ? ? ? 2 3? ? ?2? 2

可得 T ? 2? ,从而得 ? ?

?? 1 ? ? ; ( 2 ) y ? f ? x ? ? ? 是奇函数,则 sin ? ? ? ? ? 0 可得 ? ? , 3 2 3 ? ?

?? ? g ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ,根据余弦函数的单调性可得函数 g ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? 在 ?0 ,2? ? 上的单 3? ?
调递减区间. 试题解析: (1) f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos 2 ? x ?
3 ?1 ? cos 2? x ? 1 3 ? sin 2? x ? ? 2 2 2
? 1 3 sin 2? x ? cos 2? x 2 2 3 2

?? ? ? sin ? 2? x ? ? , 3? ?
设 T 为 f ? x ? 的最小正周期,由 f ? x ? 的图象上相邻最高点与最低点的距离为 ? 2 ? 4 ,得
2 ?T ? ?T ? 2 f ? x ?max ? ? ? 2 ? 4 ,因为 f ? x ?max ? 1 ,所以 ? ? ? 4 ? ? 2 ? 4 ,整理得 T ? 2? ∴? ? ? ? ? ? ?2? ?2? 2 2

2? 1 ? 2? ,所以 ? ? . 2? 2 ?? ?? ? ? (2)由(1)可知 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? 0 ,∴ f ? x ? ? ? ? sin ? x ? ? ? ? , 3 3? ? ? ? ?? ? ? ∵ y ? f ? x ? ? ? 是奇函数,则 sin ? ? ? ? ? 0 ,又 0 ? ? ? , 3? 2 ?
又因为 ? ? 0 , T ? ∴? ?

?
3



?? ? ∴ g ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? , 3? ?
令 2k? ? 2x ? 则 k? ?

?
3

? 2k? ? ? , k ? Z ,

2? ,k ?Z 6 3 ? 2? ? ? ,k ? Z , ∴单调递减区间是 ? k? ? ,k? ? 6 6 ? ? ? ? x ? k? ?
又∵ x ??0 ,2? ? ,

?

答案第 6 页,总 12 页

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2? ? ?? ∴当 k ? 0 时,递减区间为 ? , ? ; 3 ? ?6 5 ? ?7 当 k ? 1 时,递减区间为 ? ? , ? ? . 3 ? ?6 2? ? ? 7 5 ? ?? ∴函数 g ? x ? 在 ?0 ,2? ? 上的单调递减区间是 ? , ? , ? ? , ? ? . 3 ? ?6 3 ? ?6 考点:1、二倍角的正弦余弦公式及两角差的正弦公式;2、三角函数的图象与性质.

17. (1) C ? 【解析】

?
3

; (2) 3 6 .

? ? 试题分析: (1)向量 m 与向量 n 共线,∴ ? a ? b ? ? sin ? A ? C ? ? ? a ? c ?? sin A ? sin C ? ,再由正

弦 定 理 、 结 合 余 弦 定 理 可 得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 (2)由 ? ,从而可得角 C 的值; 2ab 2 ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? 2 2??? 2? ? ?? 2 ? ??? AB 的最小值. A B ? C B? C A ? C B ? C A? 2 C?B ,再由基本不等式可得 CA

? ? 试题解析: (1)∵向量 m 与向量 n 共线,

∴ ? a ? b ? ? sin ? A ? C ? ? ? a ? c ?? sin A ? sin C ? , 由正弦定理可得: ? a ? b ? b ? ? a ? c ?? a ? c ? , ∴ c2 ? a 2 ? b2 ? ab , ∴ cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , 2ab 2

∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ?

?
3

???? ??? ? ??? ? ??? ? (2)∵ AC ? CB ? ?27 ,∴ CA ? CB ? 27 ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? ∴ CA ? CB ? CA ? CB cos C ? CA ? CB ? 27 , 2 ??? ? ??? ? ∴ CA ? CB ? 54 ,
??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ∵ AB ? CB ? CA ? CB ? CA ? 2CB ? CA , ??? ?2 ??? ? ??? ? ∴ AB ? 2 CB ? CA ? 2 ? 27
? 2 ? 54 ? 54 ? 54 .

??? ? ??? ? ??? ? ∴ AB ? 3 6 , (当且仅当 CA ? CB ? 3 6 时,取“ = ” )
??? ? ∴ AB 的最小值为 3 6 .

考点:1、向量共线的性质、向量的几何运算及平面向量数量积公式;2、正弦定理及余弦定 理得应用.

答案第 7 页,总 12 页

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【答案】 m ?

1 3 或m ? . 2 2

【解析】 试题分析:由“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,可得命题 p, q 一真一假,当 p 真 q 假时
3 ?1 ? ?m? m? ? ? 3 ?2 ? 2 , ∴m ? , 当 p 假 q 真时 ? ? 2 ?m ? 3 ?m ? ? ? ? 2 ? 1 3 或m ? 1 1 2 2 , ∴m ? , 可得 m 的取值范围是 m ? 3 2 2 2

或m ?

3 . 2

试题解析:若 p 为真:对 ?x ? ? ?1 , 1? , 4m2 ? 8m ? x 2 ? 2 x ? 2 恒成立, 设 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 2 ,配方得 f ? x ? ? ? x ? 1? ? 3 ,
2

∴ f ? x ? 在 ? ?1 , 1? 上的最小值为 ?3 , ∴ 4m2 ? 8m ? ?3 ,解得 ∴ p 为真时:

1 3 ?m? , 2 2

1 3 ?m? ; 2 2

若 q 为真: ?x ? ?1 ,2 ? , x 2 ? mx ? 1 ? 2 成立, ∴m?

x2 ? 1 成立. x x2 ? 1 1 ? x? , x x
3 3 ,∴ m ? , 2 2

设 g ? x? ?

易知 g ? x ? 在 ?1 ,2? 上是增函数,∴ g ? x ? 的最大值为 g ? 2 ? ?

3 , 2 ∵ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,∴ p 与 q 一真一假,
∴ q 为真时, m ?
3 ?1 ?m? ? 3 ?2 2 当 p 真 q 假时 ? ,∴ m ? , 2 ?m ? 3 ? ? 2 ? m? ? ? 当 p 假 q 真时 ? ?m ? ? ? 1 3 或m ? 1 2 2 ,∴ m ? , 3 2 2

1 3 或m ? . 2 2 考点:1、全称命题与特称命题及真值表的应用;2、不等式有解及恒成立问题. 1 20 6n ? 5 19. (1) an ? 4n?1 , bn ? ; (2) Tn ? ? ? . 1 ? 2n 9 9 ? 4n?1
综上所述, m 的取值范围是 m ?
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【解析】
? 0 试题分析: ( 1 ) 由 点 P ? an ,Sn ? 在 直 线 4 x ? 3y ? 1 上 可 得 , 3Sn ? 4 an ? 1, 又

3Sn?1 ? 4an?1 ? 1? n ? 2? ,两式相减可得 ?an ? 是以 4 为公比的等差数列,进而得 an ? 4n?1 ,再

根据等差数列的通项公式可得 bn ? 位相减法求和即可.

1 1 ? 2n 1 ? n ?1 ,再根据错 ; (2)由(1)可得 Cn ? an ? bn 4 1 ? 2n

试题解析:(1)由点 P ? an ,Sn ? 在直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 上, ∴ 4an ? 3Sn ? 1 ? 0 即 3Sn ? 4an ? 1 , 又 3Sn?1 ? 4an?1 ? 1? n ? 2? , 两式相减得 an ? 4an ?1 ,∴
an ? 4 ? n ? 2? , an ?1

∴ ?an ? 是以 4 为公比的等差数列,又 a1 ? 1 , ∴ an ? 4n?1 ;
?1? 1 ∵ ? ? 是以 ? ?1 为首项,以 ?2 为公差的等差数列, b1 ? bn ?



1 1 ? ?1 ? ? n ? 1? ? ? ?2 ? ? 1 ? 2n ,∴ bn ? . bn 1 ? 2n 1 1 ? 2n ? n ?1 , an ? bn 4

(2)由(1)知, Cn ? ∴ Tn ?

?1 ?3 ?5 3 ? 2n 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? … ? n?2 ? n?1 , 0 4 4 4 4 4

1 ?1 ?3 3 ? 2n 1 ? 2n ∴ Tn ? 1 ? 2 ? … ? n?1 ? n , 4 4 4 4 4 以上两式相减得, 3 2 ? 1 ? 2n ?2 2 Tn ? ?1 ? ? ? 2 ? … ? n ?1 ? ? 4 4 ? 4n ?4 4
1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ? ?4?
n ?1

1 1? 4 5 6n ? 5 , ?? ? 3 3 ? 4n
∴ Tn ? ?

? ?1 ?

? ? ? ?

?

1 ? 2n 4n

20 6n ? 5 . ? 9 9 ? 4n?1 考点:1、等差数列、等比数列的通项公式;2、等比数列的求和公式及错位相减法的应用.

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20. (1) y ? 【解析】

3v2 240 (2) v ? 10 3 2 时,总用氧量最少. ? ? 9 ? v ? 0? ; 50 v

?? v ?3 ? 60 3v2 60 试题分析: (1)由题意,下潜用时用氧量为 ?? ? ? 1? ? ? ? ,返回水面用时用氧 50 v ? ? ?? 10 ? ? v
量为

120 180 3v2 240 ,二者求和即可; (2)由(1)知 y ? ? 1.5 ? ? ? 9 ? v ? 0? ,利用导数研 v v 50 v

究函数的单调性可得 v ? 10 3 2 时总用氧量最少. 试题解析: (1) 由题意, 下潜用时

?? v ?3 ? 60 3v2 60 60 (单位时间) , 用氧量为 ?? ? ? 1? ? , ? ? (升) 50 v v ?? 10 ? ? ? ? v

水底作业时的用氧量为 10 ? 0.9 ? 9 (升) , 返回水面用时
60 120 120 180 ? (单位时间) ,用氧量为 (升) , ? 1.5 ? v v v v 2

∴总用氧量 y ?

3v2 240 ? ? 9 ? v ? 0? . 50 v

3 6v 240 3 ? v ? 2000 ? ? ? (2) y ' ? , 50 v 2 25v 2

令 y ' ? 0 得 v ? 10 3 2 , 在 0 ? v ? 10 3 2 时, y ' ? 0 ,函数单调递减, 在 v ? 10 3 2 时, y ' ? 0 ,函数单调递增, ∴当 c ? 10 3 2 时,函数在 c ,10 3 2 上递减,在 10 3 2 ,15 上递增, ∴此时, v ? 10 3 2 时总用氧量最少, 当 c ? 10 3 2 时, y 在 ? c , 15? 上递增, ∴此时 v ? c 时,总用氧量最少. 考点:1、阅读能力、建模能力及函数的解析式;2、解决实际问题的能力及利用导数求函数 的最值. 【方法点睛】本题主要考查阅读能力、建模能力及函数的解析式、解决实际问题的能力及利 用导数求函数的最值,属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题 的特点是通过现实生活的事例考查书本知识, 解决这类问题的关键是耐心读题、 仔细理解题, 只有吃透题意, 才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 构建函数模型时一定要考虑变量 的实际意义,以确定函数解析式的定义域,以便准确解答.本题的解答关键是将实际问题转 化为函数问题求最值. 21. (1) x ? 2 y ? 1 ? 0 ; (2) (i) t ? ?1 ; (ii)证明见解析.

?

?

?

?

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【解析】 试题分析: (1)先求出导函数,再根据 f ' ?1? ?

1 , f ?1? ? 0 由点斜式可得曲线 y ? f ? x ? 在点 2

ln x ln x t ln x ln x t (2) (i) ? ? ? 0 等价于 g ? x ? ? ? ? ? 0 ,讨 ?1 ,f ?1?? 处的切线方程; x ?1 x ?1 x x ?1 x ?1 x
论 t ? 0 时、 当 t ? 0 时两种情况, 排除不合题意的 t 的值, 即可得实数 t 的最大值; (ii) 当 x ?1 时整理得 2ln x ? 原不等式.

k k k k ?1 1 1 x2 ? 1 1 ,则 2ln ,进而可证 ? ? ? ? ? x ? ,令 x ? k ?1 k ?1 k ?1 k k k ?1 x x

1 ? x ? 1? ? ln x x ? 1 ? x ln x 试题解析: (1)由题意 x ? ? 0 , ? ? ? 且 f ' ? x ? ? x , ? 2 2 x ? x ? 1? ? x ? 1?
∴ f ' ?1? ? 又 f ?1? ?

2?0 1 ? , 4 2

0 ?0, 2
1 ? x ? 1? 即 x ? 2 y ? 1 ? 0 2

∴ f ? x ? 在点 ?1 ,f ?1? ? 处的切线方程为 y ? 0 ? (2) (i)由题意知 设 g ? x? ? 则 g ? x? ?

ln x ln x t ? ? ?0, x ?1 x ?1 x

ln x ln x t ? ? , x ?1 x ?1 x

? x ? 1? ? ? x ? 1?
x2 ? 1

t ? x 2 ? 1? ? t 1 ? ? 2ln x ? ?, ln x ? ? x 1 ? x2 ? x ? ? ?

设 h ? x ? ? 2ln x ? 则 h '? x? ?

t ? x 2 ? 1? x



2 ? 1 ? tx 2 ? 2 x ? t ? t ?1 ? 2 ? ? , x ? x ? x2

(1)当 t ? 0 时,∵ x ? 0 ,∴ h ' ? x ? ? 0 , ∴ h ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 上单调递增,又 h ?1? ? 0 , ∴ x ? ?0 , 1? 时, h ? x ? ? 0 ,又 ∴ g ? x ? ? 0 ,不符合题意. (2)当 t ? 0 时,设 ? ? x ? ? tx2 ? 2x ? t , ①若 ? ? 4 ? 4t 2 ? 0 ,即 t ? ?1 时, ? ? x ? ? 0 恒成立, 即 h ' ? x ? ? 0 在 ? 0 ,? ?? 恒成立,∴ h ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 上单调递减又 h ?1? ? 0 ,

1 ? 0, 1 ? x2

答案第 11 页,总 12 页

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∴ x ? ?0 , 1? 时, h ? x ? ? 0 ,
x ? ?1 , ? ? ? 时, h ? x ? ? 0 ,

1 ? 0 , g ? x? ? 0 , 1 ? x2 1 ? 0 , g ? x ? ? 0 ,符合题意. 1 ? x2

1 ②若 ? ? 4 ? 4t 2 ? 0 ,即 ?1 ? t ? 0 时, ? ? x ? 的对称轴 x ? ? ? 1 , t 1? ? ∴ ? ? x ? 在 ? 1 , ? ? 上单调递增, t? ? 1? ? ∴ x ? ? 1 , ? ? 时, ? ? x ? ? ? ?1? ? 2 ? 2t ? 0 , t? ?
∴ h '? x? ? 0 ,
1? ? ∴ h ? x ? 在 ? 1 , ? ? 上单调递增, t? ?

∴ h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,

1 ? 0 ,∴ g ? x ? ? 0 ,不符合题意, 1 ? x2 综上所述 t ? ?1 .
而 (ii)由(i)知 t ? ?1 时, 当 x ? 1 时整理得 2ln x ?

ln x ln x 1 ? ? ?0, x ?1 x ?1 x

x2 ? 1 1 ? x? , x x k k k k ?1 1 1 令x? ,则 2ln , ? ? ? ? k ?1 k ?1 k ?1 k k k ?1 3 n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ∴ 2 ?ln ? ln ? … ? ln ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? … ? n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 ? n , 1 2 n ? 1 ? ? 1 ? 1 ?1 1 ? , ∴ 2 ln n ? 1 ? 2 ? ? ? … ? 2 3 n ? 1? ? ? n
1 1 1 1 1 , ? ?…? ? ? 2 3 n 2 2n n 1 1 1 即 ln n ? ? ? ? 2 2n i ?1 i
∴ ln n ? 1 ? 考点:1、导数的几何意义;2、利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明. 【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及 不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,命题主要是和导数、绝 对值不等式及柯西不等式相结合, 导数部分一旦出该类型题往往难度较大, 要准确解答首先 观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后 再化简或者进一步利用导数证明.

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