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2014高考数学(文科专用)名师指导提能专训七:数列的通

提能专训(七)
一、选择题

数列的通项与求和

1.(2013· 北京东城区统一检测)已知{an}为等差数列,其前 n 项 和为 Sn,若 a3=6,S3=12,则公差 d 等于( A.1 C.2 5 B.3 D.3 )

答案:C 命题立意:本题主要考查等差数列的通项公式、求和 公式,考查运算求解能力. 解题思路:根据已知,a1+2d=6,3a1+3d=12,解得 d=2,故选 C. 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a≠0),则{an}( A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 答案:C 命题立意:等差数列和等比数列的基本运算是高考经 常考查的重点,本题根据数列的前 n 项和求解通项公式,渗透等差数 列和等比数列的定义,体现了基本知识的应用,同时也体现了分类讨 论的思想,对能力要求较高,应予以重视.
?S1,n=1, ? 解题思路:∵ Sn=an-1(a≠0),∴ an=? 即 ? ?Sn-Sn-1,n≥2, ? ?a-1,n=1, an=? 当 a=1 时,an=0,数列{an}是一个常数列, n-1 ??a-1?a ,n≥2. ?

)

也是等差数列;当 a≠1 时,数列{an}是一个等比数列,故选 C. 3.(2013· 兰州一中 12 月月考)在数列{an}中,若对任意的 n 均有

an+an+1+an+2 为定值(n∈N*),且 a7=2,a9=3,a98=4,则数列{an} 的前 100 项的和 S100 等于( A.132 C.68 ) B.299 D.99

答案:B 解题思路:设 an+an+1+an+2=x,则 an+1+an+2+an+3 =x,两式作差得 an=an+3,所以数列{an}为周期数列并且周期 T=3, a98=a3×32+2=a2, a9=a3×2+3=a3, a7=a1, 所以 S100=33×S3+a1=299, 故选 B. 4.(2013· 江西南昌一模)已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn=lg an,b3=18,b6=12,则数列{bn}的前 n 项和的最大值等于( A.126 C.132 ) B.130 D.134

an+1 答案:C 解题思路:bn+1-bn=lg an+1-lg an=lg a =lg q(常 n 数), ∴ {bn}为等差数列.
? ? ?b1+2d=18, ?d=-2, ? 设公差为 d,∴ ∴ ? 由 bn=-2n+ ? ? ?b1+5d=12, ?b1=22.

24≥0,得 n≤12,∴ {bn}的前 11 项为正,第 12 项为零,从第 13 项 起为负,∴ S11,S12 最大且 S11=S12=132. 5.(2013· 云南第二次复习检测)在数列{an}中,a1=1,a2=2,若 an+2=2an+1-an+2,则 an 等于( 1 2 6 A.5n3-5n+5 C.n2-2n+2 ) B.n3-5n2+9n-4 D.2n2-5n+4

答案:C 命题立意:本题考查等差数列的定义与通项公式、累 加法求数列的通项公式,难度中等. 解题思路:依题意得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,因此数列{an+1 -an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,an+1-an=1+2(n-1)= 2n-1.当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1 +3+…+(2n-3)=1+ ?n-1??1+2n-3? =(n-1)2+1=n2-2n+2.又 2

a1=1=12-2×1+2,因此 an=n2-2n+2,故选 C. 6.(天津模拟)已知数列{an}满足 a1=0,an+1= 则 a20=( A.0 C. 3 ) B.- 3 3 D. 2 an- 3 (n∈N*), 3an+1

答案:B 命题立意:本题主要考查数列的周期性,难度中等. 解题思路:因为数列{an}满足 a1=0,an+1= an- 3 (n∈N*),a2 3an+1

=- 3,a3= 3,a4=0,∴ T=3,则 a20=a2=- 3,故选 B. 二、填空题 7.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记 Sn 为{an}前 n 项的和,则 S2 013=________. 答案:-1 005 命题立意:本题主要考查递推数列的有关知识,

要求考生掌握常见的几类求递推数列的通项与前 n 项和, 首先是与等 差(等比)数列相关的递推数列,其次是一阶线性递推数列,还有具有 周期性的数列.本题就是一种具有周期性的递推数列. 解题思路:由 a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得该数列是周期为 4 的数列,且 a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0.所以 S2
013=503(a1+a2

+a3+a4)+a2 013=503×(-2)+1=-1 005. 8.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a3+a4=11a2a4,且 它的前 2n 项的和等于它的前 2n 项中偶数项之和的 11 倍, 则数列{an} 的通项公式 an=________. 答案:102-n 命题立意:本题考查等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等知识,考查考生的运算能力. 解题思路:设等比数列{an}的公比为 q,前 2n 项和为 S2n,前 2n a1?1-q2n? 项中偶数项之和为 Tn ,由题意知 q≠1 ,则 S2n = , Tn = 1-q a1q?1-q2n? a1?1-q2n? 11a1q?1-q2n? .由题意可知 S2n=11Tn,即 = .解得 q 1-q2 1-q 1-q2 1 =10(或令 n=1,则 S2=11T1,即 a1+a2=11a2,化简得 a1=10a2,故 1 4 q=10).又 a3+a4=11a2a4,所以 a1q2+a1q3=11a2 1q ,化简得 1+q= 1 1 11a1q2,将 q=10代入可得 a1=10,故 an=a1qn-1= n-2=102-n. 10 9.(2013· 海口高考调研)已知各项都为正数的数列 {an},其前 n an+1 an 项的和为 Sn,且 Sn=( Sn-1+ a1)2(n≥2),若 bn= a + ,且数列 an+1 n {bn}的前 n 项的和为 Tn,则 Tn=________. 4n2+6n 答案: 2n+1 解题思路: Sn- Sn-1= a1,则 Sn=n a1,

2n+1 2n-1 2 Sn=n2a1,an=Sn-Sn-1=(2n-1)a1,bn= + =2+ - 2n-1 2n+1 2n-1
? 2 2 ? 2 2? ? 2 2? ? 2 ,Tn=?2+1-3?+?2+3-5?+…+?2+2n-1-2n+1? =2n+2 ? ? ? ? 2n+1 ? ?

4n2+6n 2 - = . 2n+1 2n+1

10.数列{an}满足 a1=3,an-anan+1=1,An 表示{an}的前 n 项之 积,则 A2 013=________. 答案:-1 命题立意:本题与常考的求等差、等比数列的通项

公式或前 n 项和不同,本题考查给定数列的前 n 项之积,这就要求考 生能根据已知数列,得到数列的性质.求解本题的关键是得到{an}的 周期. an-1 3-1 解题思路: 由 a1=3, an-anan+1=1, 得 an+1= a , 所以 a2= 3 n 2 1 =3, a3=-2, a4=3, 所以{an}是以 3 为周期的数列, 且 a1a2a3=-1, 又 2 013=3×671,所以 A2 013=(-1)671=-1. 三、解答题 11.(2013· 东北三省四市第一次联考)数列{an}的前 n 项和为 Sn, 3 1 3 且 Sn=2(an-1),数列{bn}满足 bn=4bn-1-4(n≥2),且 b1=3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足 cn=an· log2(bn+1),其前 n 项和为 Tn,求 Tn. 3 解析:(1)对于数列{an}有 Sn=2(an-1),① 3 Sn-1=2(an-1-1)(n≥2),② 3 由①-②,得 an=2(an-an-1),即 an=3an-1, 3 当 n=1 时,S1=2(a1-1)=a1,解得 a1=3, 则 an=a1· qn-1=3· 3n-1=3n. 1 3 对于数列{bn},有 bn=4bn-1-4(n≥2),

bn+1 1 1 1 可得 bn+1=4bn-1+4,即 = . bn-1+1 4
?1? ?1? bn+1=(b1+1)?4?n-1=4?4?n-1=42-n, ? ? ? ?

即 bn=42-n-1. (2)由(1)可知 cn=an· log2(bn+1)=3n· log2 42-n =3n· log2 24-2n=3n(4-2n). Tn=2· 31+0· 32+(-2)· 33+…+(4-2n)· 3n,③ 3Tn=2· 32+0· 33+…+(6-2n)· 3n+(4-2n)· 3n+1,④ 由③-④,得 -2Tn=2· 3+(-2)· 32+(-2)· 33+…+(-2)· 3n-(4-2n)· 3n+1 =6+(-2)(32+33+…+3n)-(4-2n)· 3n+1, 9?1-3n-1? 则 Tn=-3+ +(2-n)· 3n+1 1-3 15 ?5 ? n+1 =- 2 +?2-n?· 3 . ? ? 12.(2013· 四川攀枝花二模)已知数列{an}为等比数列,其前 n 项 7 和为 Sn,已知 a1+a4=-16,且对于任意的 n∈N+有 Sn,Sn+2,Sn+1 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?b1? ?b2? ?b3? ?bn? (2)已知 bn=n(n∈N+),记 Tn=?a ?+?a ?+?a ?+…+?a ?,若(n ? 1? ? 2? ? 3? ? n?

-1)2≤m(Tn-n-1)对于 n≥2 恒成立,求实数 m 的范围. 解析:(1)设公比为 q, ∵ S1,S3,S2 成等差数列, ∴ 2S3=S1+S2,

1 ∴ 2a1(1+q+q2)=a1(2+q),得 q=-2, 7 又 a1+a4=a1(1+q3)=-16,
? 1? 1 ∴ a1=-2,∴ an=a1qn-1=?-2?n. ? ? ? 1? (2)∵ bn=n,an=?-2?n, ? ? ?bn? ∴ ?a ?=n· 2n, ? n?

∴ Tn=1· 2+2· 22+3· 23+…+n· 2n,① 2Tn=1· 22+2· 23+3· 24+…+(n-1)· 2n+n· 2n+1,② ①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n· 2n+1,
?2-2n+1 ? -n· 2n+1?=(n-1)· ∴ Tn=-? 2n+1+2. ? 1-2 ?

若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于 n≥2 恒成立, 则(n-1)2≤m[(n-1)· 2n+1+2-n-1], (n-1)2≤m(n-1)· (2n+1-1), n-1 ∴ m≥ n+1 . 2 -1 令 f(n) = n-1 n-1 n , f(n + 1) - f(n) = n+2 - n+1 = 2 -1 2 -1 2 -1
n+1

?2-n?· 2n+1-1 <0, ?2n+2-1??2n+1-1? ∴ f(n)为减函数, 1 ∴ f(n)≤f(2)=7.
?1 ? 1 ∴ m≥7.即 m 的取值范围是?7,+∞?. ? ?

1 13.(2013· 湖北省七市 4 月联考)数列{an}是公比为2的等比数列, 且 1-a2 是 a1 与 1+a3 的等比中项,前 n 项和为 Sn;数列{bn}是等差 数列,b1=8,其前 n 项和 Tn 满足 Tn=nλ· bn+1(λ 为常数,且 λ≠1). (1)求数列{an}的通项公式及 λ 的值; 1 1 1 1 1 (2)比较T +T +T +…+T 与2Sn 的大小.
1 2 3 n

解析:(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1), 1 ? ? ?1 ? 即?1-2a1?2=a1?4a1+1?,
? ? ? ? ?1? 1 解得 a1=2,∴ an=?2?n. ? ? ? ? ?T1=λb2, ?8=λ?8+d?, 又? 即? ?T2=2λb3, ?16+d=2λ?8+2d?, ? ?

?λ=1, 解得? 2 ?d=8

? ?λ=1, 1 或? (舍).∴ λ=2. ? ?d=0

?1? (2)由(1)知 Sn=1-?2?n, ? ?

1 1 ?1? 1 ∴ 2Sn=2-?2?n+1≥4,① ? ? 又 Tn=4n2+4n, 1 ? 1 1 1?1 ? - ? = = Tn 4n?n+1? 4?n n+1?, 1 1 1 ∴ T +T +…+T 1 2 n 1 1 1 1 1 1 =41-2+2-3+…+n- n-1 1 ? 1 1? =4?1-n+1?<4.②
? ?

1 1 1 1 由①②可知,T +T +…+T <2Sn. 1 2 n