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高中数学必修1基本初等函数常考题型:指数函数及其性质的应用(复习课)


指数函数及其性质的应用(复习课)
【常考题型】 题型一、利用指数函数的单调性比较大小
【例 1】 (1)已知 a ?

5 ?1 , 函数 f ? x ? ? a x , 若实数 m ,n 满足 f ? m? ? f ? n ? , 则m, 2

n 的大小关系为________.
(2)比较下列各题中两个值的大小: ①?
?1.8 ?2.5 ?0.5 ?0.5

?5? ? ?7?

,?

?5? ? ?7?

;② ?

?2? ? ?3?

,?

?3? ? ?4?

;③ 0.2 , 0.3 .

0.3

0.2

(1)[解析] 因为 a ?

5 ?1 ? ? 0,1? ,所以函数 f ? x ? ? a x 在 R 上是减函数.由 2

f ? m? ? f ? n ? 得 m ? n .
[答案] (2)[解]

m? n
①因为 0 ?

5 ?5? ? 1 ,所以函数 y ? ? ? 在其定义域 R 上 7 ?7?

x

单调递减,又 ?1.8 ? ?2.5 ,所以 ?

?5? ? ?7?

?1.8

?5? ?? ? ?7?

?2.5

.

②在同一平面直角坐标系中画出指数函数 y ? ?

?2? ?3? ? 与y?? ? ?3? ?4?
? 2? ? 3?
?0.5

x

x

的图象,如图所示.当 x ? ?0.5 时,由图象观察可得 ? ?
x

?3? ?? ? ?4?
x

?0.5

.

③因为 0 ? 0.2 ? 0.3 ? 1,所以指数函数 y ? 0.2 与 y ? 0.3 在定义域 R 上均是减函数, 且在区间 ? 0, ??? 上函数 y ? 0.2 的图象在函数 y ? 0.3 的图象的下方,所以 0.2
x x
0.2

? 0.30.2 .

又根据指数函数 y ? 0.2 的性质可得 0.2
x

0.3

? 0.20.2 ,所以 0.20.3 ? 0.30.2 .

【类题通法】 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同:利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数相同:利用指数函数的图象解决.在同一平面直角坐标系中画出各个函 数的图象,依据底数 a 对指数函数图象的影响,按照逆时针方向观察,底数在逐渐增大,然后

观察指数所取值对应的函数值即可. (3)底数不同、指数也不同:采用介值法(中间量法).取中间量 1 ,其中一个大于 1 ,另一 个小于 1 ;或者以其中一个指数式的底数为底数,以另一个指数式的指数为指数.比如,要比 较 a 与 b 的大小,可取 a 为中间量, a 与 a 利用函数的单调性比较大小, b 与 a 利用函 数的图象比较大小. 【对点训练】 比较下列各题中两个值的大小: (1) 3
?1.8

c

d

d

c

d

d

d

,3

?2.5

;(2) 7

?0.5

,8

?0.5

;(3) 6

?0.8

,7

0.7

.

解: (1) 因为 3 ? 1 ,所以函数 y ? 3x 在定义域 R 上单调递增,又 ?1.8 ? ? 2.5,所以

3?1.8 ? 3?2.5 .
(2)依据指数函数中底数 a 对函数图象的影响,画出函数 y ? 7 x 与 y ? 8x 的图象(图略), 可得 7
?0.5

? 8?0.5 .
?0.8

(3)因为 1 ? 6 ? 7 , 所以指数函数 y ? 6x 与函数 y ? 7 x 在定义域 R 上是增函数, 且6

?1,

70.7 ? 1 ,所以 6?0.8 ? 7 0.7 .

题型二、解简单的指数不等式
【例 2】 (1)已知 3 ? 3 ,求实数 x 的取值范围.
x 0.5

(2)已知 0.2 ? 25 ,求实数 x 的取值范围.
x

[解] (1)因为 3 ? 1 ,所以指数函数 f ? x ? ? 3 在 R 上是增函数.
x

由 3 ? 3 ,可得 x ? 0.5 ,即 x 的取值范围为 ?0.5, ?? ? .
x 0.5

(2)因为 0 ? 0.2 ? 1 ,所以指数函数 f ? x ? ? 0.2 在 R 上是减函数.
x

?1? x ?2 又 25 ? ? ? ? 0.2?2 ,所以 0.2 ? 0.2 ,则 x ? ?2 , ?5?
即 x 的取值范围为 ? ?2, ?? ? . 【类题通法】 解指数不等式应注意的问题
x (1)形如 a ? a 的不等式,借助于函数 y ? a 的单调性求解,如果 a 的取值不确定,需分
x b

?2

a ? 1 与 0 ? a ? 1 两种情况讨论;
(2) 形如 a ? b 的不等式,注意将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形式,再借助于函数
x

y ? a x 的单调性求解.
【对点训练】 如果 a
?5 x

? a x ?7 ( a ? 0 ,且 a ? 1 ),求 x 的取值范围.

?5 x x?7 解:①当 a ? 1 时,∵ a ? a ,

∴ ?5 x ? x ? 7 ,解得 x ? ? ②当 0 ? a ? 1 时,∵ a
?5 x

7 . 6

? a x?7 ,
7 . 6

∴ ?5 x ? x ? 7 ,解得 x ? ?

综上所述,当 a ? 1 时, x ? ? ??, ? 当 0 ? a ? 1 时, x ? ? ?

? ?

7? ?; 6?

? 7 ? , ?? ? . ? 6 ?

题型三、指数函数性质的综合应用
【例 3】 已知函数 f ? x ? ? 2x ? 2ax?b ,且 f ?1? ? (1)求 a , b 的值; (2)判断 f ? x ? 的奇偶性并证明; (3)判断并证明函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 上的单调性,并求 f ? x ? 的值域.

5 17 , f ? 2? ? . 2 4

5 5 ? ? f ?1? ? 2 ? 2a ?b ? f ?1? ? ? ? ?a ? ?1 ? ? 2 2 [解] (1)∵ ? ,∴根据题意得 ? ,解得 ? ?b ? 0 ? f ? 2 ? ? 22 ? 22 a ?b ? 17 ? f ? 2 ? ? 17 ? ? ? 4 ? 4
故 a , b 的值分别为 ?1 , 0 . (2)由(1)知 f ? x ? ? 2 ? 2 , f ? x ? 的定义域为 R ,关于原点对称.
x ?x

因为 f ? ?x ? ? 2

?x

? 2x ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 为偶函数.
x ? x1

(3)设任意 x1 ? x2 ,且 x1 , x2 ??0, ??? ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ( 2 1 ? 2

)?(2 2 ? 2
x

? x2

)

2 x1 ? x2 ? 1 1 ? ? 1 ? ( 2 x1 ? 2 x2 ) ? ? x1 ? x2 ? ? ( 2 x1 ? 2 x2 ) ? x1 ? x2 . 2 2 ? ?2
因为 x1 ? x2 ,且 x1 , x2 ??0, ??? ,所以 2 1 ? 2
x

x2

? 0 , 2 x1 ? x2 ? 1 ,

所以 2 1 为增函数.

x ? x2

? 1 ? 0 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? .所以 f ? x ? 在 ?0, ??? 上

当 x ? 0 时,函数取得最小值,为 f ? 0? ? 1 ? 1 ? 2 ,所以 f ? x ? 的值域为 ?2, ??? . 【类题通法】 解决指数函数性质的综合问题应关注两点 (1)指数函数的单调性与底数有关,因此讨论指数函数的单调性时,一定要明确底数与 1 的 大小关系.与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关,其解决方法一般是利用函数单 调性的定义. (2)指数函数本身不具有奇偶性, 但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性, 其解决方法 一般是利用函数奇偶性的定义和性质. 【对点训练】 已知函数 f ? x ? ?

2x ?1 . 2x ? 1

(1)求证: f ? x ? 是奇函数; (2)用单调性的定义证明: f ? x ? 在 R 上是增函数. 证明: (1) f ? x ? 的定义域是 R , 对任意的 x ? R , 都有 f ? ? x ? ?
?x x 2 ? x ? 1 ? 2 ? 1? ? 2 ? ? 2 ? x ? 1 ? 2? x ? 1? ? 2 x

1 ? 2x 2x ? 1 ? ? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 是奇函数. - 1 ? 2x 2x ? 1
(2) f ? x ? ? 单). 设 x1 , x2 是 R 上的任意两个值,且 x1 ? x2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

2 2x ? 1 2x ? 1 ? 2 ? ? 1? x ( 可以不分离常数,但分离常数后计算较简 x x 2 ?1 2 ?1 2 ?1

2 2 x1 ? 2 x2 2 2 2 2 ? (1 ? x )-( 1 ? x )? x . ? x 2 1 ?1 2 2 ?1 2 2 ? 1 2 x1 ? 1 2 1 ? 1 2 x2 ? 1

?

?

??

?

?

因 为 x1 ? x2 , 所 以 2 1 ? 2
x

x2

, 2 1 ?1 ? 1 , 2 2 ?1 ? 1 , 所 以 2 1 ? 2 2 ? 0 , 则
x x

x

x

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,故 f ? x ? 在 R 上是增函数.
【练习反馈】
1.若 2
x ?1

? 1,则 x 的取值范围是(

)

A. ? ?1,1? C. ? 0,1? ? ?1, ??? 解析:选 D 不等式 2
x ?1

B. ? ?1, ?? ? D. ? ??, ?1?

? 1 ? 20 ,∵ y ? 2x 是增函数,

∴ x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 . 2.已知三个数 a ? 6 A. a ? b ? c C. c ? b ? a 解析:选 D 所以 a ? c ? b . 3.不等式 2 ? 2
x 2 ?3 x

0.7

, b ? 0.7

0.8

, c ? 0.8 ,则三个数的大小关系是(
0.7

)

B. b ? c ? a D. a ? c ? b

a ? 60.7 ? 60 ? 1 , c ? 0.80.7 ? 0.70.7 ? 0.70.8 ? b ,且 c ? 0.80.7 ? 0.80 ? 1 ,

的解集是________.

解析:由 2 ? 2
x

2 ?3 x

得 x ? 2 ? 3 x ,即 x ?

1 , 2

解集为 ? x x ?

? ? ? ?

1? ?. 2? 1? ? 2?
a ,则 a 的值为 2

答案: ? x x ?

x 4.函数 f ? x ? ? a ( a ? 0 ,且 a ? 1 )在区间 ?1, 2? 上的最大值比最小值大

________. 解析:(1)若 a ? 1 ,则 f ? x ? 在 ?1, 2? 上递增, ∴a ?a ?
2

a 3 ,即 a ? 或 a ? 0 (舍去). 2 2

(2)若 0 ? a ? 1 ,则 f ? x ? 在 ?1, 2? 上递减, ∴a?a ?
2

a 1 ,即 a ? 或 a ? 0 (舍去). 2 2 1 3 或 . 2 2

综上所述,所求 a 的值为 答案:

1 3 或 2 2

5.设函数 f ? x ? ?

ex a ? ( e 为无理数,且 e ? 2.71828 ??? )是 R 上的偶函数且 a ? 0 . a ex

(1)求 a 的值; (2)判断 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上的单调性. 解:(1)∵ f ? x ? 是 R 上的偶函数, ∴ f ? ?1? ? f ?1? , ∴

a e a 1 a e e ?1 ? ?1 ? ? ,即 ? ? ? ae . e ae e a a e a

∴ ? ∴

1? 1 ? ? a? ? e?a ?

?1 ? e? ? a? , ?a ?

1 ? a ? 0 ,∴ a 2 ? 1 . a

又 a ? 0 ,∴ a ? 1 . (2) f ? x ? ? ex ? e? x ,设 x1 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ,

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? e x2 ?e ? x2 ? e x1 ?e ? x1 ? e x2 ? e x1 +
? e x2 ? e x1 +
1 e x1 ? e x2 ? ( e x2 ? e x1 )( 1 ? x1 x2 ). x1 x2 e e e e
x2

1 1 - x x2 e e1

∵ x1 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ,∴ e ∴( e 2 ? e 1 )( 1 ?
x x
x1

? e x1 且 e x1 e x2 ? 1 ,

1 ) ? 0 ,即 f ? x2 ? ? f ? x1 ? , e e x2

∴ f ? x ? 在 ? 0, ??? 上为增函数.


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