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江苏省南京市2009届高三第一次质量检测数学试题2008.09.06


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南京市 2009 届高三第一次质量检测数学试题 2008.09.06
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分)http://www.mathedu.cn 1、函数 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的小正周期是 。 。

2、直线 l 经过点 (?2,1) ,且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直,则 l 的方程是 3、复数 z 满足 ( z ? 2i)i ? 3 ? 7i ,则复数 z 的模等于 。

4、某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外 阅读所用的时间的数据如下表: 阅读时间(小时) 人数 0 5 0.5 20 1 10 1.5 10 小时。 。 2 5

由此可以估计该校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间为 5、已知函数 f ( x) ? a ? b ( a ? 0且a ? 1) 图象如图所示,则 a ? b 的值是
x

6、如图,将一个棱长为 3 的正方体木块表面涂上蓝色,然后锯成棱长为 1 的小正方体,从 中任取一块,则这一块至少有两面涂有蓝色的概率是 。 7、已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中主视图、左视图都是由半圆和矩形组成, 根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是

cm3 。

8、抛物线 y ? 4 x 上一点 A 到焦点的距离为 5 ,则点 A 到 x 轴的距离是
2



9、 在直角 ?ABC 中, ?C ? 90 , ?A ? 30 , BC ? 1 , D 为斜边 AB 的中点, 则 AB ? CD = 。
? ?

10、已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x | lg( x ? 2) ? 1} , B ? x | x ? x ? 2 ? 0} ,则 A ? ? B = U
2

?

。 。

11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, a cos B ? 5, b sin A ? 12 ,则 a ? 12、执行如图所示的程序框图,则输出的 s ? 13、下列四个命题: ① “a ? b” 是 “2 ? 2 ” 成立的充要条件;
a b



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② “a ? b” 是 "lg a ? lg b " 成立的充分不必要条件; ③ 函 数 f ( x) ? ax ? bx( x ? R) 为 奇 函 数 的 充 要 条 件 是
2

“a ? 0”
④ 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f (x) 是 偶 函 数 的 必 要 条 件 是



f (? x) ? 1” 。 f ( x)
其中真命题的序号是
3

。 (把真命题的序号都填上)

14、已知函数 f ( x) ? log 1 (? | x | ?3) 定义域是 [a, b] (a, b ? z ) , 值域是 [?1,0] ,则满足条件的整数数对 (a, b) 有 二、解答题 http://www.mathedu.cn 15、 (本题满分 14 分) 已知 ? 为锐角, sin? ? 对。

4 1 , tan(? ? ? ) ? ,求 cos2? 和 tan ? 的值。 5 3

16、 (本题满分 14 分) 如图,在棱长都相等的正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别为 AA1 , B1C 的中点。
B1

(1)求证: DE / /平面ABC ; (2)求证: B1C ? 平面BDE
C1 E

A1

D

B A C

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17、 (本题满分 14 分) 已知点 M 在椭圆 点F 。 (1)若圆 M 与 y 轴相切,求椭圆的离心率; (2)若圆 M 与 y 轴相交于 A, B 两点,且 ?ABM 是边长为 2 的正三角形,求椭圆的方程。

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的右焦 a2 b2

18、 (本题满分 16 分) 某隧道长 2150m,通过隧道的车速不能超过 20 m/s。一列有 55 辆车身长都为 10m 的 同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为 40m/s) ,匀速通过该隧道,设车队的 速度为 xm/s,根据安全和车流的需要,当 0 ? x ? 10 时,相邻两车之间保持 20m 的距离; 当 10 ? x ? 20 时,相邻两车之间保持 ( x ?
2

1 6

1 x) m 的距离。自第 1 辆车车头进入隧道 3

至第 55 辆车尾离开隧道所用的时间为 y (s ) 。 (1)将 y 表示为 x 的函数。 (2)求车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度。

?

3 ? 1.73

?

19、 (本题满分 16 分) 设数列 ?a n ?是公差不为 0 的等差数列, S n 为其前 n 项和,数列 ?bn ? 为等比数列,且

a1 ? b1 ? 2 , S 2 ? 5b2 , S 4 ? 25b3 。
(1) 求数列 ?a n ?和 ?bn ? 的通项公式 a n 及 bn ; (2)设数列 ?cn ? 满足 c n ? S n ? bn ,问当 n 为何值时, c n 取得最大值? 20、 (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x (a ? R) 2

(1)若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? x ? b ,求 a, b 的值; (2)若函数 f (x) 在 (1,??) 为增函数,求 a 的取值范围;

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(3)讨论方程 f ( x) ? 0 解的个数,并说明理由。 南京市 2009 届高三第一次质量检测数学试题参考答案 2008.09.06 一、填空题 http://www.mathedu.cn 1、 ? ;2、 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ;3、 5 2 ;4、 0.9 ;5、 ? 2 ;6、 9、 ? 1;10、 ? x | 2 ? x ? 12? ;11、13;12、 二、解答题 15、解:? sin ? ?

20 5 ;7、 ? ;8、 4 27 3

7 ;13、①③;14、 5 . 8

4 7 ? cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? ? 5 25 3 2 ?c o ? ? 1? s i n ? ? s ?? 为锐角 5 sin ? 4 tan? ? ? cos? 3
tan? ? tan(? ? ? ) 9 ? 1 ? tan? tan(? ? ? ) 13
B1 A1

4 5

tan ? ? tan[? ? (? ? ? )] ?

16、 (1)取 BC 中点 G ,连结 AG, EG ,

? G, E 分别为 CB,CB1 的中点,
C1

1 ? EG || BB1 ,且 EG ? AA1 2
又?正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,? EG || AD, EG ? AD
B

D E

?四边形 ADEG 为平行四边形。
? AG || DE
所以

A G C

? AG ? 平面ABC, DE ? 平面A B C

DE || 平面A B C

(2) 由可得,取 BC 中点 G

?正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,? BB1 ? 平面ABC 。
? AG ? 平面 ABC ,? AG ? BB1 ,

? G 为 BC 的中点, AB ? AC , ? AG ? BC
? AG ? 平面BB1C1C , ? B1C ? 平面BB1C1C , ? AG ? B1C

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? AG || DE

? DE ? B1C ? B1C ? BE

? BC ? BB1 , B1 E ? EC

? BE ? 平面BDE, DE ? 平面B D E

BE ? DE ? E

? B1C ? 平面BDE
17、解: (1)设 M ( x0 , y 0 ) ,圆 M 的半径为 r 。 因为椭圆的右焦点的坐标为 (c,0) ,圆 M 与 x 轴相切于点 F , 所以 MF ? x轴 ,所以 x0 ? c, r ?| y 0 |
2 2



因为 点 M 在椭圆上,所以

x0 y ? 02 ? 1 2 a b

将上式代入上式得

c2 r 2 r2 c2 a2 ? c2 ? ? 1, 2 ? 1 ? 2 ? b a a2 a2 b2 r 2 b2 ? b2 a2
即: r ?

因为

a 2 ? c 2 ? b 2 所以

b2 ② a

又因为圆 M 与 y 轴相切,所以 M 到 y 轴的距离等于半径 r ,即: r ?| x 0 | ③

由①,②,③得

b2 ?c a
2

即: b ? ac
2

从而得 c ? ac ? a ? 0
2 2

c ?c? ?c? 2 两边同除以 a ,得: ? ? ? ? ? ? 1 ? 0 , e ? , e ? e ? 1 ? 0 ( a ?a? ?a?
2

解得: e ?

?1? 5 2

因为 e ? (0,1)

e?

5 ?1 。 2

(2)如图,因为 ?ABM 是边长为 2 的正三角形,所以圆 M 的半径 r ? 2 , M 到圆 y 轴的距离 d ?

3

又由(1)知: r ?

b2 ,d ? c a
2

b2 ?2 所以, c ? 3 , a

又因为 a ? b ? c
2 2

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从而有

a 2 ? 2a ? 3 ? 0 解得: a ? 3 或 a ? ?1(舍去)

b 2 ? 2a ? 6
所求椭圆方程是:

x2 y2 ? ?1 9 6

18、 (1)解:当 0 ? x ? 10 时, y ?

2150 ? 10 ? 55 ? 20 ? (55 ? 1) 3780 ? x x 1 2 1 2150 ? 10 ? 55 ? ( x ? x) ? (55 ? 1) 6 3 当 10 ? x ? 20 时, y ? x 2700 ? ? 9 x ? 18 x

3780 ? (0 ? x ? 10) ? x 所以, y ? ? 2700 ? ? 9 x ? 18(10 ? x ? 20) ? x 3780 (3) 当 x ? (0,10] 时,在 x ? 10 时, y min ? ? 378 ( s) 10
当 x ? (10,20] 时, y ?

2700 2700 ? 9 x ? 18 ? 18 ? 2 ? 9 x ? ? 18 ? 180 3 x x

? 329 .4( s)
当且仅当 9 x ?

2700 ,即: x ? 17.3(m / s) 时取等号。 x

因为 17.3 ? (10,20] ,所以 当 x ? 17.3(m / s) 时, y min ? 329 .4( s) 因为

378 ? 329.4

所以,当车队的速度为 17.3(m / s) 时,车队通过隧道时间 y 有最小值 329 .4( s) 。 19、 (1)解:设数列 ?a n ?的公差为 d ,数列 ?bn ? 的公比为 q 。 则

S 2 ? 2a1 ? d , S 4 ? 4a1 ?

4?3 d ? 8 ? 6d , b2 ? 2q , b3 ? 2q 2 2

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从而由

? 4 ? d ? 10 q S 2 ? 5b2 , S 4 ? 25b3 得: ? 2 ?8 ? 6q ? 50 q

消去 d 得, 25q ? 30 q ? 8 ? 0 ,解得: q ?
2

代入得

4 2 或q ? 。 5 5 ?d ? 0 ? 2 舍去。 d ? 4 或 d ? 0 ,因为 d ? 0 ,所以 ? q? ? 5 ?

所以

?d ? 4 ? ?q ? 4 ? 5 ?
4 an ? 2 ? (n ? 1)4 ? 4n ? 2 , bn ? 2q n ?1 ? 2( ) n ?1 5 n(n ? 1) d ? 2n 2 2 64 5 4 ? C n ? S n ? bn ? 4n 2 ( ) n ?1 5
所以

所以

(2)? S n ? na1 ?

假设 c n 最大,因为 c1 ? 4, c 2 ?

c1 ? c2

n?2

?c n ? c n ?1 所以由 c n 最大,得 ? ? c n ? c n ?1

4 n ? 2 4 n ?1 ? 4n ( 5 ) ? 4(n ? 1)( 5 ) 即: ? 4 4 ?4n 2 ( ) n ?1 ? 4(n ? 1)( ) n ? 2 5 5 ?

? n 2 ? 8n ? 4 ? 0 化简得, ? 2 ?n ? 10 n ? 5 ? 0
? 4 ? 20 ? 5

解得: 4 ?

20 ? n ? 5 ? 20

?8 ? n ? 10

?n ? N?

n?9

即:当 n ? 9 时, c n 最大。 20、解: (1)因为: f ?( x) ? x ?

a x

( x ? 0) ,又 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为

y ? x?b
所以

?2 ? a ln 2 ? 2 ? b ? ? 2? a ?1 ? 2 ?

解得: a ? 2, b ? ?2 ln 2

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(2)若函数 f (x) 在 (1,??) 上恒成立。则 f ?( x) ? x ? 即: a ? x 在 (1,??) 上恒成立。所以有 a ? 1
2

a ? 0 在 (1,??) 上恒成立, x

(3)当 a ? 0 时, f (x) 在定义域 (0,??) 上恒大于 0 ,此时方程无解; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ? 增函数。

a ? 0 在 (0,??) 上恒成立,所以 f (x) 在定义域 (0,??) 上为 x
2

1 1 ? f (1) ? ? 0 , f (e 2 ) ? e a ? 1 ? 0 ,所以方程有惟一解。 2 2
当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ?

1

a x 2 ? a ( x ? a )( x ? a) ? ? x x x

因为当 x ? (0, a ) 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 在 (0, a ) 内为减函数; 当 x ? ( a ,??) 时, f (x) 在 ( a ,??) 内为增函数。 所以当事人 x ?

a 时,有极小值即为最小值 f ( a ) ?

1 1 a ? a ln a ? a(1 ? ln a) 。 2 2

当 a ? (0, e) 时, f ( a ) ? 当 a ? e 时, f ( a ) ?

1 a(1 ? ln a) ? 0 ,此方程无解; 2

1 a(1 ? ln a) ? 0. 此方程有惟一解 x ? a 。 2 1 当 a ? (e,??) 时, f ( a ) ? a(1 ? ln a) ? 0 2 1 1 因为 f ( ) ? ? 0 且 1 ? a ,所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, a ) 上有惟一解, 2 2
因为当 x ? 1时, ( x ? ln x)? ? 0 ,所以 所以 因为

x ? ln x ? 1

1 2 1 x ? a ln x ? x 2 ? ax 2 2 1 2a ? a ? 1 ,所以 f ( x) ? (2a) 2 ? 2a 2 ? 0 2 x ? ln x, f ( x) ?

所以 方程 f ( x) ? 0 在区间 ( a ,??) 上有惟一解。 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (e,??) 上有惟两解。 综上所述:当 a ? [0, e) 时,方程无解;当 a ? 0或a ? e 时,方程有惟一解;

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当 a ? e 时方程有两解。


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