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第8讲 基本不等式及其应用


江门市棠下中学

高二数学(文科)高考第一轮总复习

第二部分

不等式

第八讲:基本不等式及其应用
学习目标(知识要求)
能够运用基本不等式求代数式、函数的最值.

金典例题
题型 1:利用基本不等式求最值(或取值范围) 例 1.求最大值或最小值.

自主建构 一、要点预览 a?b ? ab 1、基本不等式 2
(1) 基本不等式成立的条件: _________________. (2)等号成立的条件:当且仅当 __________时 不等式取等号. 2、几个重要不等式 (1) a2 ? b2 ? ________(a, b ? R) ;

1 的最大值. 4x ? 5 x y (2)已知正实数 x, y 满足 xy ? 1 ,求 ( ? y) ( ? x) y x
(1)已知 x ? ,求函数 y ? 4 x ? 2 ?
的最小值.

5 4

a b ? ? ________(a, b同号) ; b a a?b 2 ) ( a, b ? R ) ; (3) ab ? ( 2 a 2 ? b2 a?b 2 ___( ) . (4) 2 2
(2) 3、基本不等式求最值 ( 1 )两个_________ 的和为 _________ ,当且仅 当它们_________时,其积最大. (2)两个_________的积为________,当且仅当 它们___________时,其和最小. 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最 值时,要注意“一正、二定、三相等”的条件. 二、基础落实 1.设 0 ? a ? b ,则下列不等式中正确的是( A. a ? b ? ab ?

点评: (1) 利用基本不等式求最值时, 要注意 “全 正、定值和取等号”三个条件,当不具备时,要 进行适当的变形.(2)二元问题的最值问题,其 基本思路是运用基本不等式,其中是化为一元问 题. 【变式迁移】 6 .则 xy 的 1. (1) 若不 x ? 0, y ? 0 , 且 2 x ?3 y ? 最大值为_____________.
(2)若 x ? 1 时,不等式 x ?

1 ? a 恒成立,则 x ?1

实数 a 的取值范围是_________________.

)

a?b a?b ?b B. a ? ab ? 2 2 a?b a?b ?b C. a ? ab ? b ? D. ab ? a ? 2 2 2.已知 a , b 为正数, 则下列不等式中不成立的是( ) a?b 2 a b ) A. ab ? ( B. ? ? 2 2 b a
C.

a 2 ? b2 a ? b ? 2 2

D.

2ab ? ab a?b
( ) 900 D.


题型 2:基本不等式的实际应用 例 2.某商场预计全年分批购入每台价值为 2000 元的电视机共 3600 台,每批都购入 x 台( x 是正 整数) ,且每批均需付运费 400 元,贮存购入的电 视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值 (不含运费)成正比.若每批购入 400 台,则全年需 用去运输和保管总费用 43600 元,现在全年只有 24000 元资金可以用于支付这笔费用.请问:能否恰 当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结 论,并说明理由.

3.周长为 60 的矩形面积的最大值为 A. 225 B. 450 C. 500 4. 设函数 f ( x) ? 2 x ?

1 ? 1( x ? 0) , 则 f ( x)( x

A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 5.把一段长 16 米的铁丝截成两段,分别围成正 方形, 则两个正方形面积之和的最小值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
1

2015 年





班级:

姓名:

编写:林月霞

审稿:高二文科数学备课组

点评:实际应用题应注意以下几点: (1)理解题意,设变量; (2)建立相应的函数关系式; (3)在定义域内,求出函数最值; (4)写出正确答案. 【变式迁移】 2、某车间分批生产某种产品,每批的生产准备 费用为 800 元,若每批生产 x 件,则平均仓储时
间为

① ab ? 1 ;② a ? b ?

2 ;③ a2 ? b2 ? 2 ;

1 1 ? ? 2. a b 1 ( x ? 2) 在 x ? a 处取得 3.若函数 f ( x) ? x ? x?2
④ a3 ? b3 ? 3 ;⑤ 最小值,则 a ?
A. 1 ? 2


B. 1 ? 3
a


D. 4

C. 3
b

x 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为 8

4. 设 a ? 0, b ? 0 ,若 3 是 3 与 3 的等比中项,

使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之 和最小,每批应生产产品( ) A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件

1 1 ? 的最小值为 ( ) a b A. 8 B. 4 C. 2 5 D. 5 5. 已知 0 ? a ? b 且 a ? b ? 1 ,则下列不等式中,


正确的是
A. log2 a ? 0 C. 2
a b ? b a


B. 2
a ?b



1 ? 2

?

1 2

D. log2 a ? log2 b ? ?2

课后作业 名师点拨(学习小结)
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或 将“积式”转化为“和式”的放缩功能,分析其 2 要求框架围成的总面积为 8 m , 问 x, y 结构特点,有利于在运用过程中根据问题的结构 角三角形, 特征灵活地对公式进行合理选择. 分别为多少(精确到 0.001 m )时用料最省? 2.基本不等式的应用主要是: (1)证明某些不等 式; (2)求某些函数的最值. 3.利用基本不等式求最值,有“和定积最大,积 定和最小”的结论,利用它可以解决某些非二次 的有关函数及多元函数的最大值或最小值问题, 在具体解题时,要特别注意: “全正” 、 “定值” 、 “取等号”三个条件.创设利用基本不等式的条 件,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧, 而拆与凑的目标在于满足“全正” 、 “定值” 、 “取 等号”的条件成立.
1.某单位用木料作如图所示的框架,框架的下部是 边长分别为 x, y (单位: m )的矩形,上部是等腰直

当堂检测
1.下列不等式一定成立的是 A. lg( x ? ) ? lg x ( x ? 0)
2





1 4 1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) B. sin x ? sin x 2 C. x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R) 1 ? 1( x ? R) D. 2 x ?1 2.若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 , 则下列不等式对一切 满足条件的 a , b 恒成立的是_________ (写出所有
正确命题的编号)
2


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