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北师大版必修5高中数学第二章《正、余弦定理在实际生活中的应用》word典型例题素材

正、余弦定理在实际生活中的应用 正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛,解这类应 用题需要我们吃透题意,对专业名词、术语要能正确理解,能将实际问题归结为数学问题. 求解此类问题的大概步骤为: (1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有 关名称、术语,如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等; (2)根据题意画出图形; (3)将 要求解的问题归结到一个或几个三角形中, 通过合理运用正弦定理、 余弦定理等有关知识建 立数学模型,然后正确求解,演算过程要简练,计算要准确,最后作答. 1.测量中正、余弦定理的应用 例1 某观测站 C 在目标 A 南偏西 25 ? 方向,从 A 出发有一条南偏东 35 ? 走向的公路, 在 C 处测得公路上与 C 相距 31 千米的 B 处有一人正沿此公路向 A 走去, 走 20 千米到达 D , 此时测得 CD 距离为 21 千米,求此人所在 D 处距 A 还有多少千米? 分析:根据已知作出示意图,分析已知及所求,解 ?CBD ,求角 B .再解 ?ABC ,求 出 AC ,再求出 AB ,从而求出 AD (即为所求). 解:由图知, ?CAD ? 60? . 北 , cos B ? BD 2 ? BC 2 ? CD 2 312 ? 202 ? 212 23 ? ? 2 BC ? BD 2 ? 31? 20 31 A 25 ? 21 35 ? D 东 12 3 . sin B ? 31 BC ? sin B ? 24 . 在 ?ABC 中, AC ? sin A 由余弦定理,得 BC ? AC ? AB ? 2 AC ? AB ? cos A . 2 2 2 C 31 20 B 即 31 ? AB ? 24 ? 2 ? AB ? 24 ? cos 60? . 2 2 2 整理,得 AB ? 24 AB ? 385 ? 0 ,解得 AB ? 35 或 AB ? ?11 (舍). 2 故 AD ? AB ? BD ? 15 (千米). 答:此人所在 D 处距 A 还有 15 千米. 评注:正、余弦定理的应用中,示意图起着关键的作用, “形”可为“数”指引方向, 因此,只有正确作出示意图,方能合理应用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的应用 例 2 在海岸 A 处,发现北偏东 45 ? 方向,距 A 为 3 ? 1 海里的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75 ? 方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3 海里/小时的速度追截 走私船.此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30 ? 方向逃窜,问缉私船沿什 么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间? 分析:注意到最快追上走私船,且两船所用时间 相等,可画出示意图,需求 CD 的方位角及由 C 到 D 所需的航行时间. 解:设缉私船追上走私船所需时间为 t 小时, 则有 D 30 ? C CD ? 10 3t , BD ? 10t . 在 △ ABC 中 , ∵ AB ? 3 ? 1 , AC ? 2 , 75 ? 45 ? A B ?BAC ? 45? ? 75? ? 120? , 根据余弦定理可得 BC ? ( 3 ? 1) 2 ? 22 ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) cos120? ? 6 . AC sin120? ? 根据正弦定理可得 sin ?ABC ? BC 2? 3 2 ? 2. 2 6 ∴ ?ABC ? 45? ,易知 CB 方向与正北方向垂直,从而 ?CBD ? 90? ? 30? ? 120? . 在 △BCD 中,根据正弦定理可得: sin ?BCD ? BD sin ?CBD 10t ? sin120? 1 ? ? , CD 2 10 3t ∴ △BCD ? 30? , ?BDC ? 30? ,∴ BD ? BC ? 6 , 则有 10t ? 6 ,t ? 6 ? 0.245 小时 ? 14.7 分钟. 10 0 所以缉私船沿北偏东 60 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船. 评注:认真分析问题的构成,三角形中边角关系的分析,可为解题的方向提供依据.明 确方位角是应用的前提,此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用. 3.航测中正、余弦定理的应用 例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 20250 m,速度 为 180 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 18?30 ,经过 120 秒后又看到山顶的俯角为 81 ? , ' 求山顶的海拔高度(精确到 1 m). 分析:首先根据题意画出图形,如图,这样可在 ?ABM 和 Rt ?BMD 中解出山顶到航 线的距离,然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度. 解:设飞行员的两次观测点依次为 A 和 B ,山顶为 A B D M M ,山顶到直线的距离为 MD . 如图,在 △ ABM 中,由已知,得 ?A ? 18?30 ' ,?ABM ? 99? ,?AMB ? 62?30' . 120 ? 6 (km), 60 ? 60 6sin18?30 ' 根据正弦定理,可得 BM ? , sin 62?30 ' 6sin18?30 'sin 81? 进而求得 MD ? ,∴ MD ? 2120 (m), sin 62?30 ' 又 AB ? 180 ? 可得山顶的海拔高度为 20250 ? 2120 ? 18130 (m). 评注:解题中要认真分析与问题有关的三角形,正确运用正、余弦定理有序地解相关的 三角形,从而得到问题的答案. 4.炮兵观测中正、余弦定理的应用 例4 我炮兵阵地位于地面 A 处, 两观察所分别位于地面点 C 和 D 处, 已知 CD ? 6000 米, ?ACD ? 45? , ?ADC ? 75? ,目标出现于地面点 B 处时,测得 ?BCD