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湖南省湘潭市2017届高三第一次模拟考试理数试题Word版含答案.doc


数学(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? {?2, ?1,0,1, 2,3} ,集合 B ? {x | y ? 1 ? x } ,则 A ? B ? (



A. [?2, 2]

B. {?1, 0,1}

C. {?2, ?1, 0,1, 2}

D. {0,1, 2,3}

2.已知复平面内与复数 z1 , z2 对应的点分别为 Z1 (1, 2) , Z 2 (1, ?1) ,则

z1 ?( z2



A.

3 1 ? i 2 2

B.

3 1 ? i 2 2


C. ?

1 3 ? i 2 2

D. ?

1 3 ? i 2 2

3.下列说法中错误的是(

|1 ? ”是“ x ? 1 ”的必要不充分条件 A. “| x
B.若命题 p : ?x ? R, 2x ? 3 ,则 ?p : ?x ? R, 2x ? 3 C.若 p ? q 为假命题,则 p ? q 也为假命题 D.命题“若 x ? y ? 5 ,则 x ? 2 或 y ? 3 ”是真命题 4.已知 ? 为第二象限角,且 cos(

?

2 ? ? ) ? ? ,则 sin(3? ? 2? ) ? ( 2 3
C. ?



A.

4 5 9

B.

4 9

4 9

D. ?

4 5 9


2 x 5.已知函数 f ( x) ? x ? 2x ? 1 ? 2 , y ? f ( x) 的图象大致是(

2 2 2 6.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线和曲线 x ? y ? 4 x ? 5 ? 0 相切,则 p 的值为

( A. 2

) B.1 C.

1 2

D.

1 4


7.执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是( A. 2 B.

1 2

C. -1

D.1

8.已知二项式 ( x ?

1 n ) 的展开式的前三项的系数成等差数列, 若从展开式中所有的项 2? 4 x


中任取一项,则取到一个 x 的次数为非负数的项的概率为( A.

3 8

B.

5 8

C.

1 3

D.

2 3

9.《九章算术》是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论术比西方早一千多年,其中 有这样一个问题: “今有圆材埋在整中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径 几何?”其意为:今有一圆柱形木材,理在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深 1 寸,锯道长 1 尺,问这块圆柱形木料的直径是多少?长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙 体中, 截面图如图所示 (阴影部分为镶嵌在墙体内的部分) 已知弦 AB ? 1 尺, 弓形高 CD ? 1 寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )

0 (注:1 丈=10 尺=100 寸, ? ? 3.14 , sin 22.5 ?

5 ) 13
D.533 立方寸

A.600 立方寸

B.610 立方寸

C. 620 立方寸

10.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 过点 F 作 x 轴的垂线交双曲线的右支 a 2 b2

于 C , D 两点,与双曲线的渐近线交于点 P ,点 C 和点 P 在第一象限,点 D 在第四象限, 若 | PC |?| CD | ,则双曲线的离心率为( )

A.

3 2 2

B.

3 5 5

C.

3 2 4

D.

8 9

11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,且对任意的 x ? 2 ,均有 ( x ? 2) f ' ( x) ? f ( x) ? 0 , 设 a ? f (3) , b ? A. a ? b ? c

1 f (4) , c ? ( 5 ? 2) f ( 5) ,则 a, b, c 的值的大小关系为( 2
B. c ? a ? b C.



b?a?c

D. a ? c ? b

12.已知函数 f ( x) ? cos x , a, b, c 分别为 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边,且

3a2 ? 3b2 ? c2 ? 4ab ,则必有(
A. f (C ) ? 0

) C.

B. f ( A) ? f ( B)

f (sin B) ? f (cos A)

D. f (sin A) ? f (cos B) 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?x ? y ? 5 ? 0 ? 13.已知变量 x, y 满足线性约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ?x ?1 ? 0 ?



14.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)的正视图和俯视图如图所示,若图中的 a ? 2 ,则 它的俯视图面积为 .

15.将函数 y ? sin(2 x ? ? )(? ? 0) 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位后, 得到的函数图象关于 8

y 轴对称,则 tan ? ?



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 5? AB AC ? ? ??? ? ) ? ( AC ? BA) ? 0 , | AB ? AC |? 3 , A ? [ , ] ,则 16.在 ?ABC 中, ( ??? 3 6 | AB | | AC |

??? ? ??? ? AB ? AC 的最大值是



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知各项不为零的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? a1 (an ? 1) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 满足 anbn ? log2 an ,若数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? 2 . 18. (本小题满分 12 分) 某河流上的一座水利发电站专为某市供电,每年七月份的发电量 y (单位:万千瓦时)只与 该河流上游在七月的降雨量 x (单位:毫米)相关,据统计,当降雨量 x 每增加 10,则发 电量 y 增加 5,且当 x ? 70 时, y ? 460 ,现将该河流上游近 40 年每年七月的降水量进行 了统计分析,作出了如下频率分布直方图. (1)根据 x 的频率分布图求出图中的 a 的值,并估计该河流上游近 40 年平均降雨量; (2)若根据 x 的频率分布直方图,进一步列出发电量 y 的频率分布表: ①请在答题卡中补充完整下列频率分布表. 发电量 y 频率 ②若该发电站七月的发电量低于 490 万千瓦时,则会造成某市七月“用电紧张”状态,以频 率估计概率,若以过去 40 年七月的发电量来估计今后三年的七月发电量,用 ? 表示今后三 年每年七月出现“用电紧张”状态的年数,求 ? 的分布列和数学期望.

[460, 475)

[475, 490)

[490,505)

[505,520)

[520,535)

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AB ? AC ? 2 2 , BC ? BB1 ? 4 ,

D, E, F 分别为棱 BC, BB1 , B1C1 的中点.
(1)求证: CE ? 平面 AC1D ;

MF / / 平面 AC1D . (2)若点 M 是侧面 ABB1 A 1 内的动点,且满足
①在答题卡图中作出点 M 的轨迹,并说明轨迹的形状(不需说明理由) ; ②在①中所得的轨迹上是否存在点 M ,使直线 AM 和平面 AC1D 所成角的正弦值为

AM 2 30 ,若存在,求出此时 | 1 | 的值;若不存在,说明理由. A1 B 15

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

点 P(3,1) 在椭圆 C 上,且 ?PF 1F 2 的面积为 2 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 y ? kx ? b 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,当 k , b 满足什么条件时 S?ABO ( O 为坐 标原点)面积最大,并求出最大面积.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? x ln x(a ? R) , g ( x) ? 2x3 ? 3x2 . x

(1)若 m 为正实数,求函数 y ? g ( x), x ? [

1 , m] 上的最小值; m

(2)若对任意的实数 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) ,求实数 a 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 2

?x ? 2 ? t ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ,以坐标原点 O 为极点, 4 ( t 为参数) y ? t ? 3 ?
以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 14? cos? ? 24 ? 0 . (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)点 P 是曲线 C 上任意一点,求点 P 到直线 l 距离的最大值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知: f ( x) ?| x ? 3| ?1 . (1)解不等式 f ( x) ? 2 ; (2)若不等式 f ( x) ?| x ? 1| ? | a | 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

试卷答案 一、 题 号 答 案 二、填空 13. 三、解答题 17. (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1? a1 (a1 ?1) ,? a1 ? 0 ,? a1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2?an ?1? ? 2?an?1 ?1? ……………2 分 9 14. 2 3 15. 1 16. 1 2 选择题 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B

C

C

D

A

A

B

D

D

C

B

C

3 2

(II) ? 数列 ?bn ?满足 a n bn ? log2 an

? bn ?
?Tn ?

log2 2 n n ? n n 2 2

……………8 分

1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n ? Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2

1? 1? ?1 ? n ? 1 1 1 1 n n 1 n 2 2 ? ? Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n?1 ? ? ? n?1 ? 1 ? n ? n?1 ………10 分 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
? Tn ? 2 ? ? 2?n 2n
……………11 分

2?n ?0 2n
……………12 分

?Tn ? 2

18. 解: (Ⅰ)由频率分布直方图的性质知 ? 得a ?

1 1 1 ? ? 1 ? ?a? ? ? ? 30 ? 1 200 300 ? ? 600 200
……………2 分 ……………4 分

11 . 600

x?

1 3 11 3 1 ? 85 ? ? 115 ? ? 145 ? ? 175 ? ? 205 ? 148 20 20 20 20 10

(II) (1)由题意发电量 y 与河流上游的降雨量 x 的关系为: y ?

1 x ? 425 2
[520,535)

发电量 y 频率 p

[460, 475)

[475, 490)

[490,505)

[505,520)

1 20

3 20

11 20

3 20

1 10

……………………6 分

1 3 1 ? ? , ? 的所有 20 20 5 1 4 3 64 可 能 取 值 为 0,1,2,3. 由 题 意 知 ? ? B( 3 , ). 所 以 P(? ? 0 )? ( )? , 5 5 125 1 48 1 2 12 1 3 1 1 4 2 2 4 P(? ? 1) ? C3 ( ) ? ? , P(? ? 2) ? C3 ? ( ) ? , P(? ? 3) ? ( ) ? 5 5 125 5 5 125 5 125
(2)该市每年 7 月出现“用电紧张”状态的概率为 P( y ? 490) ?

?
p

0

1

2

3

64 125

48 125

12 125

1 125

………10 分

E? ? np ?

3 5

……………12 分

19. 解: (Ⅰ)如图 , 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 , AA1 ? 平面 ABC , AB ? AC ? 2 2 ,

BC ? 4 ,得 AB ? AC ,
如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

……………1 分 ……………2 分

则 A(0, 0, 0) C (0, 2 2,0) E(2 2,0, 2) C1 (0,2 2,4) D( 2, 2,0) .

???? ? ??? ? CE ? (2 2, ?2 2, 2) AC1 ? (0, 2 2, 4) AD ? ( 2, 2,0)
,所以 ∴ ,且 , ,∴ 平面 . …………4 分 ……………6 分

z A1 B1 M E A B x D C y
……………8 分 ,则 ( x, y, z ? 4) ? ?(2 2,0, ?4) ,得

C1 F

(Ⅱ)(1)如图,点 M 的轨迹为线段 A 1B (2) 设 A 1M ? ? A 1B(0 ? ? ? 1) , M ( x, y, z )

?????

????

???? ? M (2 2?,0, 4 ? 4?) , AM ? (2 2?,0, 4 ? 4?) .
由(Ⅰ)知平面 AC1D 的法向量为 CE ? (2 2, ?2 2, 2) , 设直线 AM 与平面 AC1D 所成角为 ? ,

??? ?

???? ? ??? ? ∴ sin ? ? cos AM , CE
? 8? ? 8 ? 8? 8? ? (4 ? 4? )
2 2

???? ? ??? ? AM ? CE ? ???? ? ??? ? AM CE
? 8 (24? ? 32? ? 16) ? 20
2

……………9 分

8?8? 4

?

8 4 10 ? 3? 2 ? 4? ? 2

?

2 30 15
1 5 或 ? ? ??0,1? 2 6
……………11 分

解得 ? ?

即:

A1M 1 5 ? 或 A1 B 2 6

M ,使直线 AM 和平面 AC1D 所成角的正弦值为 所以存在 A 1B 上的点

2 30 ………12 分 15

20. 解: (Ⅰ)由已知 S? PF1F2 = 点 P(3, 1)在椭圆 C 上有
2 2 解得 a =12,b =4

1 F1 F2 ? 1=2 2 ?c ? 2 2 2

……………………1 分

32 12 ? ? 1 ,结合 a 2 -b2 =8 a 2 b2

……………………2 分 ……………………4 分

? 椭圆C方程为

x y ? ?1 12 4
……………………5 分

2

2

(Ⅱ) 直线方程 y ? kx ? b 代入
2 2

x y ? ? 1 得: 12 4
2

2

2

?1+3k ? x +6kbx ? 3b
x1 ? x 2 ?

? 12 ? 0

?6kb 3b 2 ? 12 , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

……………………6 分

1 1 S ? AB h ? 2 2

?1 ? k ?
2

?? ?6kb ?2 3b 2 ? 12 ? ?? ? ? 4 ? 1 ? 3k 2 ? 1 ? 3k 2 ? ? ? ? ?

b
1 ? k 2 …………7 分

1 ? 2

?? ?6kb ?2 3b 2 ? 12 ? 2 ?? ?b ? ? 4 ? 1 ? 3k 2 ? 1 ? 3k 2 ? ? ? ? ?
( 3 4+12k2 ? b 2 ) b2 ?

9k 2b 2 ? 3b 2 ? 12 1 ? 3k 2
2 2

? ?? ?1 ? 3k ?

?b

2

?

3 (4+12k2 ? b 2 ) b2

?1 ? 3k ?
2

2

?1 ? 3k ?
2

?

3 4+12k2 ? b 2 ? b 2 2 1 ? 3k 2

=

3 4(1+3k2) =2 3 2 1 ? 3k 2
……………………11 分
2

当且仅当 4+12k ?

b 2 =b 2,即b 2 =2+6k2 时 S 取得最大值 2 3

……………………12 分

21. 解: (Ⅰ) g? ? x ? ? 6x ? 6x ? 6x( x ?1) ,
2

……………1 分

又0 ?

1 ?1 ? ? m ,∴ m ? 1 ,∴ g ( x) 在 ? ,1? 上递减,在 ?1, m? 上递增,……………2 分 m ?m ?
……………4 分

∴ gmin ? x ? ? g ?1? ? ?1 (Ⅱ)由题得:问题等价于当 x ? ? , 2 ? 时, fmax ? s ? ? gmin ? x ? ? ?1 2 即

?1 ?

? ?

……………5 分

a ? s ln s ? ?1 s

对任意 s ? ? , 2 ? 恒成立 2 只需

?1 ?

? ?

……………6 分 ……………7 分

所以 a ? s 2 ln s ? s

a ? (s2 ln s ? s)min

令 h(s) ? s ln s ? s
2

?1 ? s ? ? , 2? ?2 ? ,
p(s) ? 2s ln s ? s ? 1
,令

h' (s) ? 2s ln s ? s ?1


p ' ( s ) ? 2 ln s ? 3 ? 2 ln


1 ? 3 ? 3 ? ln 4 ? 0 2

p(s) ? 2s ln s ? s ? 1
所以

?1 ? s ? ? , 2? ? 2 ? 单调递增 在

……………8 分

p(1) ? 0
注意到

……………9 分 ,

1 s ? ( ,1) p( s) ? 0 s ? (1, 2) p( s) ? 0 2 时 所以当 ;当 时

h(s) ? s 2 ln s ? s


1 s ? ( ,1) ……………11 分 s ? (1, 2) 2 时单调递减;在 在 单调递增

h(s) ? h(1) ? ?1
所以

a ? ?1 ……………12 分
所以 22 (I)直线 l: y ?
2 2

4 ( x ? 2) 3

?4x ? 3 y ? 8 ? 0

……………………2 分

曲线 C: x ? y ?14x ? 24 ? 0

………………………………5 分

(II)曲线 C: x 2 ? y 2 ?14x ? 24 ? 0

?( x ? 7) 2 ? y 2 ? 25
直线 l: 4 x ? 3 y ? 8 ? 0

,圆心(7,0)

……………………………………… 6 分

则圆心到直线 l 的距离为

28 ? 0 ? 8 5

?4
……………………………… 8 分 …………………………………………… 10 分

?距离的最大值为 4 ? 5 ? 9

23.解: (I)由 f ( x) ? 2 得 x ? 3 ? 3 , x ? 3 ? ?3 或 x ? 3 ? 3 ,得 x ? 0 或 x ? 6 所以解集为 x x ? 0 或 x ? 6 }

?

…………………………………………………… 5 分

(II)原不等式即 x ? 3 ? x ?1 ? 1 ? a ,依题意,只需 ( x ? 3 ? x ?1)max ? 1 ? a

??4, x ? 3 ? 令 y ? x ? 3 ? x ? 1 ? ? 2 ? 2 x , ?1 ? x ? 3 作出函数的图像 ?4, x ? ?1 ?
y

4

3

x

-1 o

1

-4

7分 ……………………………………… 所以

( x ? 3 ? x ?1)max ? 4
,解得

1? a ? 4

a ? ?3



a?3

10 分 。 ………………………………………


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