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山东省菏泽市2017届高三上学期期末考试理数试题Word版含答案.doc


2016~2017 学年度第一学期期末考试 高三数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {x | 3x ? x 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x ? 1} ,则 A ? (CU B) 等于( A. (?3,1] B. (??,1] C. [1,3) D. (3,??) ) D.第四象限 )

2.若 z ? 1 ? 2i ,则复数 z ? A.第一象限 3.已知 cos ? ? sin ? ? A. 4.
? ?
2

1 在复平面上对应的点在( z
C.第三象限 ) D.

B.第二象限

3 8

1 ,则 sin ? cos ? 等于( 2 1 3 B. C. 2 4


3 2

? sin xdx 的值为(
? 2
B. ?

A.

C.

1 2

D.1 )

5. 已知 ? , ? 是两个不同平面,直线 l ? ? ,则“ ? // ? ”是“ l // ? ”的( A.充分不必要条件 C. 充要条件 6.设 m, n, t 都是正数,则 m ? A.都大于 4 个不小于 4 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4 4 4 , n ? , t ? 三个数( n t m

) D.至少有一

B.都小于 4

C. 至少有一个大于 4

7.已知圆 C 方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? a ? 0 ,圆 C 与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 A, B 两点,
2 2

且 OA ? OB ( O 为坐标原点) ,则实数 a 的值为( A. ?



4 5

B.

1 2

C.

8 5

D.

1 5

8.某几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面与底面的面积之比为 ( )

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 5

D.

4 5


?2 x ? y ? 6 ? 0 2 y 2 ? xy ? 9.设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则 的最小值是( x2 ?y ? 0 ?
A. ?

1 8

B.

1 8

C. 0

D.1

10.若函数 y ? f ( x) 的图象上存在两个点 A, B 关于原点对称,则称点对 [ A, B] 为 y ? f ( x) 的“友情点对” ,点对 [ A, B] 与 [ B, A] 可看作同一个“友情点对” ,若函数

?2, x ? 0 f ( x) ? ? 3 恰好由两个“友情点对” ,则实数 a 的值为( 2 ?? x ? 6 x ? 9 x ? a , x ? 0
A. ? 2 B.2 C. 1 D.0 第Ⅱ卷 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.已知向量 a ? (3, 3) , b ? (0, x) ,若 a ? b ?| a | ,则实数 x ? 12.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S3 ? 6, a3 ? 4 ,则公差 d ? 13.执行如图的程序框图,则输出的 i ? . . .



14.若函数 y ? sin ?x 能够在某个长度为 1 的闭区间上至少两次获得最大值 1,且在区间

[?

, ] 上为增函数,则正整数 ? 的值为 16 15

? ?



15.已知 O 为原点,双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 上有一点 P ,过 P 作两条渐近线的平行线, 2 a

且与两渐近线的交点分别为 A, B ,平行四边形 OBPA 的面积为 1,则双曲线的离心率 为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 3 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 f (a) ? 7 ,求实数 a 的值. 17.在锐角 ?ABC 中, a, b, c 是角 A, B, C 的对边, 3 sin C ? cosB ? cos(A ? C) . (1)求角 A 的度数; (2)若 a ? 2 3 ,且 ?ABC 的面积是 3 3 ,求 b ? c . 18.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CC1 ? 底面 ABC ,

AC ? BC ? 2, AB ? 2 2, CC1 ? 4 , M 是棱 CC1 上一点.

(1)求证: BC ? AM ; (2)若 CM ?

5 ,求二面角 A ? MB1 ? C 的大小. 2

19.对于数列 {an } , {bn } , S n 为数列 {an } 是前 n 项和,且 S n?1 ? (n ? 1) ? S n ? an ? n ,

a1 ? b1 ? 1 , bn?1 ? 3bn ? 2, n ? N ? .
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)令 cn ?

2(an ? n) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n(bn ? 1)
1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,且与 y 轴的正半轴的交点为 2 2 a b

20.已知椭圆 C1 :

(0,2 3) ,抛物线 C2 的顶点在原点且焦点为椭圆 C1 的左焦点.
(1)求椭圆 C1 与抛物线 C 2 的标准方程; (2)过 (1,0) 的两条相互垂直直线与抛物线 C 2 有四个交点,求这四个点围成四边形的面积 的最小值. 21.已知函数 g ( x) ? x ? ln(x ? a) ,其中 a 为常数.
2

(1)讨论函数 g ( x) 的单调性; (2)若 g ( x) 垂直两个极值点 x1 , x 2 ,求证:无论实数 a 取什么值都有

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) x ? x2 ? g( 1 ). 2 2

试卷答案 一、选择题 1-5: CDADA 二、填空题 11.2 三、解答题 16.解: (1) 设 x ? 0, 则 ? x ? 0, ∴ f (? x) ? ?2 x ? 3 , 又 f ( x) 为偶函数, ∴ f ( ? x) ? f ( x) , ∴ f ( x) ? ?2 x ? 3( x ? 0) ,故 f ( x) ? ? 12.2 13.4 14.7 15. 6-10:DCCAB

5 2

?2 x ? 3, x ? 0 . ?? 2 x ? 3, x ? 0

(2)当 a ? 0 时, f (a) ? 2a ? 3 ? 7 ? a ? 2 ; 当 a ? 0 时, f (a) ? ?2a ? 3 ? 7 ? a ? ?2 . 故 a ? ?2 . 17.解: (1)在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ? ,那么由 3 sin C ? cos B ? cos(A ? C) ,可得

3 sin C ? cos(A ? C) ? cos B ? cos(A ? C) ? cos(A ? C) ? 2 sin Asin C ,得
sin A ?

? 3 ,则在锐角 ?ABC 中, A ? . 3 2

(2)由(1)知 A ?

?
3

,且 S ?ABC ?

1 bc sin A ? 3 3 ,得 bc ? 12 ,由余弦定理得 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,那么

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? 3bc ,则 (b ? c) 2 ? a 2 ? 3bc ? 48 ,
可得 b ? c ? 4 3 . 18.解: (1)∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? BC .
2 2 2 ∵ AC ? BC ? 2, AB ? 2 2 ,∴ AB ? AC ? BC ,即 BC ? AC .又 AC ? CC1 ? C ,

∴ BC ? 平面 ACC1 A1 ,∵ AM ? 平面 ACC1 A1 ,∴ BC ? AM . (2)以 C 为原点, CA, CB, CC1 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz .因为

CM ?

5 , 2

所以 C (0,0,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4), M (0,0, ) , AM ? (?2,0, ), B1 M ? (0,?2,? ) . 设平面 AMB1 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,则 n ? AM ? 0, n ? B1M ? 0 ,即

5 2

5 2

3 2

5 ? (?2,0, ) ? ( x, y, z ) ? 0 ? ? 2 ,令 x ? 5 ,则 y ? ?3, z ? 4 ,即 n ? (5,?3,4) ,又平面 MB1C 的 ? ?(0,?2,? 3 ) ? ( x, y, z ) ? 0 ? 2 ?
一个法向量 CA ? (2,0,0) ,∴ cos ? n, CA ??

n ? CA | n || CA |

?

2 ,由图可知二面角 2

A ? MB1 ? C 为锐角,∴二面角 A ? MB1 ? C 的大小为

? . 4

19.解: (1) )因为 Sn?1 ? (n ? 1) ? Sn ? an ? n ,所以 an?1 ? an ? 2n ? 1 , 所以 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

? (2n ? 1) ? (2n ? 3) ? ? ? 3 ? 1
? (2n ? 1 ? 1) n 2

? n2 ,
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n ,
2

由 bn?1 ? 3bn ? 2 ,可得 bn?1 ? 1 ? 3(bn ? 1) ,

所以数列 {bn ? 1} 是首项为 b1 ? 1 ? 2 ,公比为 3 的等比数列,所以 bn ? 1 ? 2 ? 3 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 2 ? 3 (2)由(1)可得 cn ? 所以 Tn ?
n?1

n?1



?1 .

2(n 2 ? n) n ? 1 ? n ?1 , 2n ? 3n ?1 3

2 3 4 n n ?1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ①, 0 3 3 3 3 3 2?3 3 4 n n ?1 3Tn ? 0 ? 0 ? 1 ? ? ? n ?3 ? n ?2 ②, 3 3 3 3 3

1 1 ? n ?1 1 1 1 n ?1 3 ? n ? 1 ? 15 ? 2n ? 5 , ② ? ①得 2Tn ? 6 ? (1 ? ? 2 ? … ? n ? 2 ) ? n ?1 ? 6 ? 1 3 3 3 3 3n ?1 2 2 ? 3n ?1 1? 3 15 2n ? 5 ? 所以 Tn ? . 4 4 ? 3n ?1 c 1 20.解: (1) 设半焦距为 c(c ? 0) , 由题意得 e ? ? , b ? 2 3 , ∴ a ? 4, b ? 2 3, c ? 2 , a 2
∴椭圆 C1 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 12
p ? c ? 2 ,∴ p ? 4 ,∴抛物线 C 2 的标 2

设抛物线 C 2 的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,则 准方程为 y 2 ? 8x .

(2)由题意易得两条直线的斜率存在且不为 0,设其中一条直线 l1 的斜率为 k ,直线 l1 方 程为 y ? k ( x ? 1) ,则另一条直线 l 2 的方程为 y ? ?

? y ? k ( x ? 1) 1 ( x ? 1) ,联立 ? 2 得 k ? y ? 8x

设直线 l1 与抛物线 C 2 的交点为 A, B , k 2 x 2 ? (2k 2 ? 8) x ? k 2 ? 0 ,? ? 32k 2 ? 64 ? 0 , 则 | AB |?

4 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 4 ,同理设直线 l 与抛物线 C 的交点为 C , D ,则 2 2 k2

1 1 4 (? ) 2 ? 1 ? 2(? ) 2 ? 4 k k | CD |? ? 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 2 , 1 (? ) 2 k
∴四边形的面积 S ?

1 1 4 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 4 | AB | ? | CD |? ? ? 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 2 2 2 2 k

?

8(k 2 ? 1) 8k 4 ? 20k 2 ? 8 k2

? 16

(k 4 ? 2k 2 ? 1)(2k 4 ? 5k 2 ? 2) 1 2 ? 16 (k 2 ? 2 ? 2 )(2k 2 ? 5 ? 2 ) ,令 4 k k k
1 ,则 t ? 4 (当且仅当 k ? ?1 时等号成立) , k2

t ? k2 ? 2?

S ? 16 t (2t ? 1) ? 16 4 ? 9 ? 96 .
∴当两直线的斜率分别为 1 和 ? 1 时,四边形的面积最小,最小值为 96. 21.解: (1)函数的定义域为 (?a,??) .

g ' ( x) ? 2 x ?
2

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 2 ? ,记 h( x) ? 2 x 2 ? 2ax ? 1 ,判别式 ? ? 4a ? 8 . x?a x?a

①当 ? ? 4a ? 8 ? 0 即 ? 2 ? a ? 间 (?a,??) 上单调递增. ②当 a ? ? 2 或 a ?

2 时, h( x) ? 0 恒成立, g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在区

2 时 , 方 程 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有 两 个 不 同 的 实 数 根 x1 , x2 , 记

? a ? a2 ? 2 ? a ? a2 ? 2 , ,显然 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 2
(ⅰ) 若a ? ? 2, h( x) ? 2x ? 2ax ? 1 图象的对称轴 x ? ?
2

a ? 0, h(?a) ? h(0) ? 1 ? 0 . 2

两根 x1 , x2 在区间 (0,?a) 上,可知当 x ? ?a 时函数 h( x) 单调递增, h( x) ? h(?a) ? 0 ,所 以 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 (?a,??) 上递增. (ⅱ) 若a ?
2 则 h( x) ? 2x ? 2ax ? 1 图象的对称轴 x ? ? 2,

a ?0, h(?a) ? h(0) ? 1 ? 0 ., 2

所以 ? a ? x1 ? x2 ,当 x1 ? x ? x2 时, h( x) ? 0 ,所以 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上 单 调 递 减 . 当 ? a ? x ? x1 或 x ? x2 时 , h( x) ? 0 , 所 以 g ' ( x) ? 0 , 所 以 g ( x) 在

(?a, x1 ), ( x2 ,??) 上单调递增.
综上,当 ? 2 ? a ?

2 时, g ( x) 在区间 (?a,??) 上单调递增;当 a ? 2 时, g ( x) 在

? a ? a2 ? 2 ? a ? a2 ? 2 ? a ? a2 ? 2 ? a ? a2 ? 2 在 (?a, ( , ) 上单调递减, ), ( ,??) 2 2 2 2

上单调递增. (2)由(1)知当 a ? 且 x1 ? x2 ? ?a, x1 x2 ?

2 时, g ( x) 没有极值点,当 a ? 2 时, g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,
1 . 2

2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x12 ? ln(x1 ? a) ? x2 ? ln(x2 ? a) ? a 2 ? 1 ? ln 2 ,



g ( x1 ) ? g ( x2 ) a 2 ? 1 ? ln 2 x ? x2 a a2 a ? ) ? g (? ) ? ? ln , 又 g( 1 2 2 2 2 4 2

g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ? x2 a2 1 ln 2 a2 1 ln 2 ? g( 1 )? ? ln a ? ? ? ln a ? ? . 记 h( a ) ? , 2 2 4 2 2 4 2 2

a ? 2 , 则 h' ( x ) ?
h( 2 ) ?

a 1 a2 ? 2 ? ? ? 0 , 所 以 h( a ) 在 a ? 2 时 单 调 递 增 , 2 a 2a

2 1 ln 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ? x2 ? ln 2 ? ? ? 0 ,所以 h(a) ? 0 ,所以 ? g( 1 ). 4 2 2 2 2


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