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3.2.2 直线的两点式方程


3.2.2 直线的两点式方程
直线的两点式方程 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为 B(0,b),其中 a≠0,b≠0,求直 线 l 的方程.

1.求过下列两点的直线方程. (1)A(-1,8),B(4,-2); (2)C(0,5),D(5,0).

直线两点式、截距式方程的应用 已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求 BC 边所在直线的方程, 以及该边上中线所在直线的方程.

2.已知△ABC 的顶点 A(8,5),B(4,-2),C(-6,3),求经过两边 AB 和 AC 中点的直线的 方程.

求过点 A(3,4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程是________.

1

3.过点 A(4,3),且在坐标轴上截距相等的直线 l 的方程是________.

1 已知直线 l:y=- x+1,试求: 2 (1)点 P(-2,-1)关于直线 l 的对称点坐标; (2)直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程; (3)直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程.

某小区内有一块荒地 ABCDE,今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位),进 行开发(如图所示),问如何设计才能使开发的面积最大?最大面积是多少?(已知 BC=210 m,CD=240 m,DE=300 m,EA=180 m)

2

A 组训练
1.过(2,5)和(2,-5)两点的直线方程是( A.x=5 C.x+y=2 ) B.y=2 D.x=2

x y 2.直线- + =-1 在 x 轴,y 轴上的截距分别为( 2 3 A.2,3 C.-2,-3

)

B.-2,3 D.2,-3

x y 3.如图,直线 l 的截距式方程为 + =1,则有( a b

)

A.a>0,b>0 C.a<0,b<0

B.a>0,b<0 D.a<0,b>0

4.如果直线 l 过(-1,-1),(2,5)两点,点(1 007,m)在 l 上,那么 m 的值为( A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015

)

5.直线 mx+3y-5=0 经过连接 A(-1,-2),B(3,4)的线段的中点,则实数 m=( A.-1 B.-2 C.1 D.2

)

6.经过点(2,1),在 x 轴上的截距是-2 的直线方程是________.

7.点 A(a,b)和 B(3,-2)的中点恰为原点,则 a+b=______.

8.已知直线 l 的斜率为 6 且在两坐标轴上的截距之和为 10,则此直线 l 的方程为________.

3

9.根据下列条件分别写出直线方程: 1 (1)斜率是- ,经过点 A(8,-2); 2 (2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 ,-3; 2 (4)经过两点 P1(3,-2),P2(5,-4).

10.如图:某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要 购买行李票,行李票费 y(元)与行李质量 x(kg)的关系用直线 AB 的方程表示,试求:

(1)直线 AB 的方程; (2)旅客最多可免费携带多少行李?

B 组训练
x y x y 1.直线 - =1 与 - =1 在同一坐标系中的图象可能是( m n n m )

4

1 2. 直线 y= x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于 1, 那么 k 的取值范围是________. 2

3.已知△ABC 中,A(4,2),B(1,8),C(-1,8). (1)求 AB 边上的高所在的直线方程; (2)直线 l∥AB,与 AC,BC 依次交于 E,F,S△CEF∶S△ABC=1∶4,求 l 所在的直线方程.

4.已知三角形的三个顶点 A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求这个三角形的三边所在直线的 方程以及 AC 边上的高线所在直线的方程.

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3.2.2 直线的两点式方程参考答案
直线的两点式方程 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为 B(0,b),其中 a≠0,b≠0,求直 线 l 的方程. [解] 将两点 A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式, y-0 x-a 得 = , b-0 0-a x y 即 + =1. a b 1.求过下列两点的直线方程. (1)A(-1,8),B(4,-2); (2)C(0,5),D(5,0). 解:(1)由直线方程的两点式得 y-(-2) x-4 = , 8-(-2) -1-4 即 2x+y-6=0. (2)由直线方程的两点式得 y-0 x-5 = , 5-0 0-5 x y 即 + =1. 5 5 直线两点式、截距式方程的应用 已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求 BC 边所在直线的方程, 以及该边上中线所在直线的方程. [解]

y-2 x-0 如图,过 B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为 = ,整理得 5x+3y-6=0. -3-2 3-0 这就是 BC 边所在直线的方程. BC 边上的中线是顶点 A 与 BC 边中点 M 所连线段, 3+0 -3+2 由中点坐标公式可得点 M 的坐标为( , ), 2 2 3 1 即( ,- ). 2 2 y-0 x+5 3 1 过 A(-5,0),M( ,- )的直线的方程为 = , 2 2 1 3 - -0 +5 2 2 1 13 5 整理得, x+ y+ =0,即 x+13y+5=0. 2 2 2
6

这就是 BC 边上中线所在直线的方程. 2.已知△ABC 的顶点 A(8,5),B(4,-2),C(-6,3),求经过两边 AB 和 AC 中点的直线的 方程. 解:设 AB 中点为 D(x1,y1),AC 中点为 E(x2,y2), 4 8-6 =6,?x = =1, ?x =8+ 2 2 则? ? 5+3 5-2 3 y = = , ? 2 2 ?y = 2 =4,
1 2 1 2

3 即 D(6, ),E(1,4). 2 3 y- 2 x-6 由两点式得直线 DE 的方程为 = , 3 1-6 4- 2 即 x+2y-9=0. 求过点 A(3,4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程是________. x y [解析] (1)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且不为 0 时,可设直线 l 的方程为 + = a -a 1.又 l 过点 A(3,4), 3 4 所以 + =1,解得 a=-1. a -a x y 所以直线 l 的方程为 + =1,即 x-y+1=0. -1 1 (2)当直线 l 经过原点时截距为 0,也互为相反数, 4 直线的方程为 y= x,即 4x-3y=0. 3 [答案] x-y+1=0 或 4x-3y=0 3.过点 A(4,3),且在坐标轴上截距相等的直线 l 的方程是________. 解析:(1)当直线 l 在坐标轴上截距相等且不等于 0 时, x y 设 l 的方程为 + =1.又 l 过点 A(4,3), a a 4 3 所以 + =1,解得 a=7. a a x y 所以直线 l 的方程为 + =1,即 x+y-7=0. 7 7 3 (2)当直线 l 经过原点时截距为 0,直线的方程为 y= x,即 3x-4y=0. 4 答案:x+y-7=0 或 3x-4y=0 1 已知直线 l:y=- x+1,试求: 2 (1)点 P(-2,-1)关于直线 l 的对称点坐标; (2)直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程; (3)直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程. [解] (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x0,y0),
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则线段 PP′的中点 M 在直线 l 上,且 PP′⊥l. y +1 1 ? ?x +2×(-2)=-1, ∴? y -1 1 x -2 ? ? 2 =-2· 2 +1,
0 0 0 0

?x =5, 解得? 19 ?y = 5 ,
0 0

2

2 19 即 P′点的坐标为( , ). 5 5 (2)直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2, 则 l2 上任一点 P1(x,y)关于 l 的对称点 P′1(x′,y′)一定在直线 l1 上,反之也成立. y-y′ 1 × (- )=-1, ? ?x-x′ 2 由? y+y′ 1 x+x′ ? 2 =-2 · 2 +1, ? 4y+4 , ?x′=3x-5 得? -4x-3y+8 ?y′= 5 . 把(x′,y′)代入方程 y=x-2 并整理,得:7x-y-14=0,即直线 l2 的方程为 7x-y-14=0. 1 (3)法一:取 l:y=- x+1 上一点 M(2,0), 2 则 M 关于点 A(1,1)的对称点 M′坐标为(0,2), 且 M′在 l 关于 A(1,1)对称的直线上. 又所求直线与 l 平行, 1 ∴设所求直线为 y=- x+C. 2 又过点 M′(0,2),∴C=2, ∴所求直线方程为 x+2y-4=0. 法二:设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线为 l′, 则直线 l 上任一点 P2(x1,y1)关于点 A 的对称点 P′2(x,y)一定在直线 l′上,反之也成立. x =1, ?x+ 2 由? y+y ? 2 =1,
1 1

? ?x1=2-x, 得? ?y1=2-y. ?

将(x1,y1)代入直线 l 的方程得 x+2y-4=0, ∴直线 l′的方程为 x+2y-4=0. 某小区内有一块荒地 ABCDE,今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位),进
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行开发(如图所示),问如何设计才能使开发的面积最大?最大面积是多少?(已知 BC=210 m,CD=240 m,DE=300 m,EA=180 m)

[解] 以 BC 边所在直线为 x 轴,AE 边所在直线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系. 由已知可得 A(0,60),B(90,0).

① 3分 ∴AB 所在直线方程为 x y 2 + =1,即 y=60- x.5 分 90 60 3 2 从而可设线段 AB 上一点 P(x,60- x), 3 其中 0≤x≤90, ∴所开发部分的面积为 S=(300-x)(240-y).7 分 2 故 S=(300-x)(240-60+ x) 3 2 =- x2+20x+54 000 3 2 =- (x-15)2+54 150(0≤x≤90).②9 分 3 2 ∴当 x=15,y=60- × 15=50 时, 3 Smax=54 150 m2.11 分 因此点 P 距直线 AE 15 m,距直线 BC 50 m 时所开发的面积最大,最大面积为 54 150 m2.③ 12 分

A 组训练
1.过(2,5)和(2,-5)两点的直线方程是( ) A.x=5 B.y=2 C.x+y=2 D.x=2 解析:选 D.因为点(2,5)和(2,-5)横坐标相同,因此过(2,5)和(2,-5)两点的直线方程 为 x=2. x y 2.直线- + =-1 在 x 轴,y 轴上的截距分别为( 2 3 A.2,3
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)

B.-2,3

C.-2,-3

D.2,-3

x y x y 解析:选 D.由- + =-1 得 + =1,则在 x 轴,y 轴上的截距分别为 2,-3. 2 3 2 -3 x y 3.如图,直线 l 的截距式方程为 + =1,则有( a b )

A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0 解析:选 B.由图形可知直线 l 的截距为 a>0,b<0. 4.如果直线 l 过(-1,-1),(2,5)两点,点(1 007,m)在 l 上,那么 m 的值为( A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015 y+1 x+1 解析:选 D.由两点式得直线 l 的方程 = ,即 y=2x+1. 5+1 2+1 因为点(1 007,m)在 l 上,所以 m=2× 1 007+1=2 015. 5.直线 mx+3y-5=0 经过连接 A(-1,-2),B(3,4)的线段的中点,则实数 m=( A.-1 B.-2 C.1 D.2 -1+3 -2+4 解析:选 D.AB 的中点坐标为 x= =1,y= =1, 2 2 点(1,1)在直线 mx+3y-5=0 上, 所以 m+3-5=0,解得 m=2. 6.经过点(2,1),在 x 轴上的截距是-2 的直线方程是________. 解析:所求直线在 x 轴上的截距是-2,即过点(-2,0),由两点式得直线方程 即 x-4y+2=0. 答案:x-4y+2=0 7.点 A(a,b)和 B(3,-2)的中点恰为原点,则 a+b=______. 解析:因为 A(a,b),B(3,-2)的中点恰好为原点, 3 =0 ?a+ ?a=-3 2 ? 所以? ,即? , ?b=2 b-2 ? ? 2 =0

)

)

y-0 x+2 = , 1-0 2+2

所以 a+b=-3+2=-1. 答案:-1 8.已知直线 l 的斜率为 6 且在两坐标轴上的截距之和为 10,则此直线 l 的方程为________. b 解析:由斜截式设直线 l 的方程为 y=6x+b,令 x=0,y=b,令 y=0,x=- .由已知得 b 6 b - =10,解得 b=12,则直线 l 的方程为 y=6x+12. 6
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答案:y=6x+12 9.根据下列条件分别写出直线方程: 1 (1)斜率是- ,经过点 A(8,-2); 2 (2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 ,-3; 2 (4)经过两点 P1(3,-2),P2(5,-4). 1 解:(1)由点斜式方程得 y-(-2)=- (x-8), 2 即 x+2y-4=0. (2)由斜截式方程得 y=2, 即 y-2=0. x y (3)由截距式方程得 + =1, 3 -3 2 即 2x-y-3=0. y-(-2) x-3 (4)由两点式方程得 = , -4-(-2) 5-3 即 x+y-1=0. 10.如图:某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要 购买行李票,行李票费 y(元)与行李质量 x(kg)的关系用直线 AB 的方程表示,试求:

(1)直线 AB 的方程; (2)旅客最多可免费携带多少行李? 解:(1)由图知,A(60,6),B(80,10),代入两点式可得 AB 方程为 x-5y-30=0. (2)由题意令 y=0,得 x=30, 即旅客最多可免费携带 30 kg 行李.

B 组训练
x y x y 1.直线 - =1 与 - =1 在同一坐标系中的图象可能是( m n n m )

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n 解析:选 B.两直线的方程分别化为斜截式:y= x-n, m m y= x-m,易知两直线的斜率的符号相同, n 四个选项中仅有 B 选项的两直线的斜率符号相同. 1 2. 直线 y= x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于 1, 那么 k 的取值范围是________. 2 解析:由已知得 k≠0, 令 x=0,y=k,令 y=0,x=-2k, 1 则与两坐标轴围成的面积 |k|· |-2k|≤1, 2 即 k2≤1, 所以-1≤k≤1. 综上,k 的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. 答案:[-1,0)∪(0,1] 3.(2014· 金华高一检测)已知△ABC 中,A(4,2),B(1,8),C(-1,8). (1)求 AB 边上的高所在的直线方程; (2)直线 l∥AB,与 AC,BC 依次交于 E,F,S△CEF∶S△ABC=1∶4,求 l 所在的直线方程. 解:(1)由 A(4,2),B(1,8),可知 kAB= 8-2 =-2, 1-4

1 所以 AB 边上的高所在的直线的斜率 k= . 2 又所求直线过 C(-1,8),所以由直线的点斜式方程, 1 17 可知 AB 边上的高所在的直线方程为 y= x+ . 2 2 (2)因为 S△CEF∶S△ABC=1∶4, 所以 E,F 分别是 AC,BC 的中点, 3 所以 E,F 的坐标分别为( ,5),(0,8), 2 由直线方程的两点式, 可得直线 EF 的方程为 y=-2x+8. 4.已知三角形的三个顶点 A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求这个三角形的三边所在直线的 方程以及 AC 边上的高线所在直线的方程. 解:如图:

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y-0 x-3 直线 AC 过点 A(-2,2),C(3,0),由直线的两点式方程得 = ,整理可得 2x+5y 2-0 -2-3 -6=0,这就是所求直线 AC 的方程. 直线 AB 经过 A(-2,2),B(3,2),由于其纵坐标相等, 可知其方程为 y=2,这是所求直线 AB 的方程. 直线 BC 经过 B(3,2),C(3,0),由于其横坐标相等, 可知其方程为 x=3,这就是所求直线 BC 的方程. 由于 A(-2,2),C(3,0), 0-2 2 所以 kAC= =- . 5 3-(-2) 由 AC 边上的高线与 AC 垂直,设其斜率为 k, 5 则 k= , 2 根据直线的点斜式方程, 5 得 y-2= (x-3),即 5x-2y-11=0, 2 这就是所求的 AC 边上的高线所在直线的方程.

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