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江苏省涟水中学2015_2016学年高二数学下学期期中试题

江苏省涟水中学 2015—2016 学年度第二学期高二年级期中考试 数 学试 题 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2016.4 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填涂在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地 方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1. 命题“ ?x ? 0, 都有 x ? 1 ”的否定为 2. i 为虚数单位,复数 ▲ . . 2 = 1? i ▲ 3. 双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线方程为 4 ▲ . 4.若 f ( x ) ? 5cos x ,则 f ?( ) ? ? 2 ▲ . 5、 “ x + y ? 3 ”是“ x 构1或y 2 ”的 ▲ 条件. (从“充要” , “充分不必要” , “必要不充分” , “既不充分也不必要”中选择适当的填写) 6.直线 x ? 2 y ? 0 被圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 截得的弦长为等于 2 2 ? ▲ . 7.求证:一个三角形中,至少有一个内角不小于 60 ,用反证法证明时的假设为_____▲_______ 8、通过圆与球的类比,由“半径为 R 的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值 2 R 2 . 猜想关于球的相应命题为: “半径为 R 球的内接六面体中以正方体的体积为最大,最大值 为 ▲ ” . 9.函数 y ? x ( e 为自然对数的底数)的最大值为 ex 2 2 2 ▲ 2 . 10.已知函圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的圆心为抛物线的 y ? 4 x 焦点,且与直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 相 切,则该圆的方程为 x ▲ . 11.函数 f ? x ? ? e ? mx 的图象为曲线 C ,若曲线 C 存在与直线 y ? 取值范围是 ▲ . 2 1 x 垂直的切线,则实数 m 的 2 4 (b ? 1) , 则 y ?g f(x( ) 27 1 12. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? a ? (a ? 0), g ( x) ? bx ? 2bx ? bx ? 3 2 1 3 的零点个数为 ▲ . 13.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆与双曲线成为一对“相关曲线” ,已知 F1、F2 是一对 ? 相关曲线的焦点,P 是他们在第一象限的交点,若 ?F 1PF 2 ? 60 ,则这一对相关曲线中椭圆的离心 率为 ▲ . 14 . 设 函 数 f ( x ) ? e x ( x3 ? 3 x ? 3) ? aex ? x , e 为 自 然 对 数 的 底 数 , 若 不 等 式 f ( x ) ? 0在 x ?? ?2, ??? 有解,则实数 a 的最小值为 ▲ . 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知 p : 4 x 2 ? 12 x ? 7 ≤ 0 ; q : a ? 3 ≤ x ≤ a ? 3 . (1)当 a ? 0 时,若 p 真 q 假,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 16. (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 ? ? ?? C 中,D ,? ,F 分别是棱 ? C ,? C ,?? 的中点. 已知 ?? ? ?C ,?? ? 6 , ? C ? 8 , DF ? 5 . (1)求证:直线 ?? // 平面 D ?F ; (2)求证:平面 ?D? ? 平面 ?? C 17.(本题满分 14 分) 2 设函数 f ( x) ? ? x3 ? x ? 1 . (Ⅰ)若 y ? ?2 x ? b 为 f ( x ) 的一条切线,求 b 值。 2) 恒成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)若 f (t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, (III)若关于 x 的方程 f (x)=k 恒有三个不相等的实根,求实数 k 的取值范围。 18. (本小题满分 15 分) 如图,在边长为 2 (单位: m)的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形,再把它的四个角 沿着虚线折起,做成一个正四棱锥的模型.设切去的等腰三角形的高为 x m. (1)求正四棱锥的体积 V(x); (2)当 x 为何值时,正四棱锥的体积 V(x)取得最大值? 19、 (本小题满分 16 分) 3 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦.若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴, 我们将该弦称之为 曲线的 垂轴弦.已知点 P( x0 , y0 ) 、M (m, n) 是圆锥曲线 C 上不与顶点重 合的任意两点,MN 是垂直 于 x 轴的一条垂轴弦,直线 MP、NP 分别交 x 轴于点 E ( xE ,0) 和点 F ( xF ,0) . (Ⅰ)试用 x0 , y0 , m, n 的代数式分别表示 xE 和 xF ; (Ⅱ)已知“若点 P( x0 , y0 ) 是圆 C: x 2 ? y 2 ? R2 上的任意一点( x0 ? y0 ? 0 ) , MN 是垂直 于 x 轴的垂轴弦, 直线 MP、NP 分别交 x 轴于点 E ( xE ,0) 和点 F ( xF ,0) , 则 xE ? xF ? R2 ” . 类 比这一结论,我们猜想 : “若曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) (如图) ,则 xE ? xF 也是 .. a b 与点 M、N、 P 位置无关的定值” ,请你对该猜想 给出证明. .. x2 y2 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? 1 , g ( x) ? ? ln x . 4