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2015年高考北京文科数学试题及答案(word解析)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学(文科)
第一部分(选择题 共 40 分)
(D) ?x ?5 ? x ? 3? 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1) 【2015 年北京,文 1,5 分】若集合 A ? ?x ?5 ? x ? 2? , B ? ?x ?3 ? x ? 3? ,则 A ? B ? ( ) (A) ?x ?3 ? x ? 2? (B) ?x ?5 ? x ? 2? (C) ?x ?3 ? x ? 3? 【答案】A 【解析】 A ? B ? ?x ?3 ? x ? 2? ,故选 A. (2) 【2015 年北京,文 2,5 分】圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是(
2 2 2 2


2 2
2 2

(A) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 (B) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 (C) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 (D) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 【答案】D 【解析】由已知得,圆心为 ?1,1? ,半径为 2 ,圆的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,故选 D.
2 2

(3) 【2015 年北京,文 3】下列函数中为偶函数的是( (A) y ? x2 sin x (B) y ? x 2 cos x

) (C) y ? ln x

(D) y ? 2? x

【答案】B 【解析】函数 y ? x 2 sin x 为奇函数, y ? x 2 cos x 为偶函数, y ? ln x 与 y ? 2? x 为非奇非偶函数,故选 B. (4) 【2015 年北京,文 4,5 分】某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分 类别 层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该 老年教师 样本的老年教师人数为( ) 中年教师 (A)90 (B)100 (C)180 (D)300 青年教师 【答案】C 合计 1600 16 【解析】由题意,总体中青年教师与老年教师比例为 ? ;设样本中老年教师的 900 9 人数为 x ,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相 320 16 等,即 ? ,解得 x ? 180 ,故选 C. x 9 (5) 【2015 年北京,文 5,5 分】执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】B 1 3 3 1 否 3 1 3 3 1 否 【解析】 a ? 3 ? ? , k ? 1 , a ? ? ?? ? a ? ? ? , k ? 2 , a ? ? ?? ? 2 2 2 4 2 2 4 4 4 3 1 3 3 1 否 3 1 3 3 1 是 k ?3, k ? 4, a? ? ? , a ? ? ?? ?a? ? ? , a ? ? ?? ? 输出 k ? 4 , 4 2 8 8 4 8 2 16 16 4 故选 B. ? ? ? ? ? ? ? ? (6) 【2015 年北京,文 6,5 分】设 a , b 是非零向量,“ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | cos ? a, b ? , 【解析】 由已知得 cos ? a, b ?? 1 , 即 ? a, b ?? 0 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a //b .而当 a //b 时, ? a, b ? 还可能是 ? ,此时 a ? b ? ? | a || b | , 故 ? ? ? ? ? ? “ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的充分而不必要条件,故选 A. (7) 【2015 年北京,文 7,5 分】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥 1
俯视图

人数 900 1800 1600 4300

1

1 正(主)视图

1 侧(左)视图

最长棱的棱长为(



(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2 【答案】C 【解析】四棱锥的直观图如图所示:由三视图可知, SC ? 平面 ABCD , SA 是四棱锥最长的棱,
SA ? SC 2 ? AC 2 ? SC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 3 ,故选 C. (8) 【2015 年北京,文 8,5 分】某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 12 35000 2015 年 5 月 1 日 48 35600 2015 年 5 月 15 日

注:“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( ) (A)6 升 (B)8 升 (C)10 升 (D)12 升 【答案】B 【解析】因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量 V ? 48 升. 而这段时 间内行驶的里程数 S ? 35600 ? 35000? 600千米. 所以这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为 48 ? 100 ? 8 升,故选 B. 600

第二部分(非选择题
二、填空题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9) 【2015 年北京,文 9,5 分】复数 i ?1 ? i ? 的实部为 【答案】 ?1 【解析】复数 i(1 ? i) ? i ?1 ? ?1 ? i ,其实部为 ?1 .

共 110 分)


(10) 【2015 年北京,文 10,5 分】 2 ?3 , 32 , log 2 5 三个数中最大数的是 【答案】 log 2 5
1

1



1 【解析】 2?3 ? ? 1 , 3 2 ? 3 ? 1 , log2 5 ? log2 4 ? 2 ? 3 ,所以 log 2 5 最大. 8 2? (11) 【2015 年北京,文 11,5 分】在 ?ABC 中, a ? 3 , b ? 6 , ?A ? ,则 ?B ? ______. 3
【答案】

? 4

2 3 6 a b ? ,即 ,所以 sin B ? ,所以 ?B ? . ? ? 2 sin B sin A sin B 4 3 2 y2 (12) 【2015 年北京,文 12,5 分】已知 ? 2,0 ? 是双曲线 x2 ? 2 ? 1 ( b ? 0 )的一个焦点,则 b ? b 【答案】 3 y y

【解析】由正弦定理,得



【解析】由题意知 c ? 2, a ? 1 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 3 ,所以 b ? 3 . (13) 【2015 年北京,文 13,5 分】如图, ?ABC 及其内部的点组 成的集合记为 D , R ? x, y ? 为 D 中任意一点,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为_______. 【答案】7 【解析】依题意, z ? 2 x ? 3 y 在点 A ? 2,1? 处取得最大值 7.

C(0,2) A(2,1) B(1,0) x
O

C(0,2) A(2,1)

O (14) 【2015 年北京,文 14,5 分】高三年级 267 位学生参加期末 考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全 年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从 这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生 是 ; 2

B(1,0)

x

②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目 是 . 【答案】乙、数学. 【解析】①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,故填乙. ②由图可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多;而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少, 所以丙的数学成绩的排名更靠前,故填数学. 三、解答题:共 6 题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. x (15) 【2015 年北京,文 15,13 分】已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin 2 . 2 (1)求 f ( x) 的最小正周期;
? 2? ? (2)求 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上的最小值. ? 3 ?

?? ? 解: (1)? f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ? 3 ? 2sin ? x ? ? ? 3 ? f ( x) 的最小正周期为 2? . 3? ? 2? ? ? ? 2? (2)因为 0 ? x ? ,所以 ? x ? ? ? ,从而 x ? ? ? ,即 x ? 时, f ? x ? 最小。 3 3 3 3 3 ? 2? ? ? 2? ? 所以 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的最小值为 f ? ??? 3. ? 3 ? ? 3 ? (16) 【2015 年北京,文 16,13 分】已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 .
(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等? 解: (1) 设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 因为 a4 ? a3 ? 2 , 所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 , 所以 2a1 ? d ? 10 , 故 a1 ? 4 . (2)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q .因为 b2 ? a3 ? 8 ,b3 ? a7 ? 16 ,所以 q ? 2 ,b1 ? 4 .所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 .所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. (17) 【2015 年北京,文 17,13 分】某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的 情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 商品 甲 乙 丙 丁 顾客人数 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 中商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大? 解: (1)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中,有 200 位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙 200 ? 0.2 . 的概率可以估计为 1000 (2)从统计表可以看出,在在这 1000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有 200 位顾客同 时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品 100 ? 200 ? 0.3 . 的概率可以估计为 1000 200 (3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ? 0.2 , 1000 3 所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2
(n ? 1 , 2 ? , . )

100 ? 200 ? 300 ? 0.6 , 1000 100 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ? 0.1 , 1000 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. (18) 【2015 年北京,文 18,14 分】如图所示,在三棱锥 V ? ABC 中,平面 VAB ? 平面 ABC ,三角形 VAB 为等
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 边三角形, AC ? BC ,且 AC ? BC ? 2 , O , M 分别为 AB , VA 的中点. (1)求证: VB // 平面 MOC ; (2)求证:平面 MOC ? 平面 VAB ; (3)求三棱锥 V ? ABC 的体积. 解: (1)依题意, O , M 分别为 AB , VA 的中点,则 OM 是 △VAB 的中位线, 所以 OM //VB , OM ? 平面 MOC , VB ? 平面 MOC ,故 VB // 平面 MOC . (2)因为 AC ? BC , O 为 AB 的中点,所以 OC ? AB .又因为平面 VAB ? 平面 ABC , 且 OC ? 平面 ABC ,所以 OC ? 平面 VAB ,所以平面 MOC ? 平面 VAB . . (3)在等腰直 角三角形 ACB 中, AC ? BC ? 2 ,所以 AB ? 2, OC ? 1 . 所以等边三角形 VAB 的面积 S?VAB ? 3 .又因为 OC ? 平面 VAB ,
1 3 所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 ? OC ? S?VAB ? . 3 3

V

M

A C
3 . 3

O

B

又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C ? VAB 的体积相等,所以三棱锥 V-ABC 的体积为 (19) 【2015 年北京,文 19,13 分】设函数 f ? x ? ? (1)求 f ? x ? 的单调区间和极值;

x2 ? k ln x , k ? 0 . 2

(2)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? ? 上仅有一个零点. x2 k x2 ? k 解: (1)由函数 f ? x ? ? , ? k ln x , ? k ? 0 ? ? f / ? x ? ? x ? ? 2 x x / / 所以 f ? x ? ? 0 ? x ? k 。从而 f ? x ? ? 0 ? x ? k ; f / ? 0 ? 0 ? x ? k 。 所以, f ( x) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ; k (1 ? ln k ) f ( x) 在 x ? k 处取得极小值 f ( k ) ? . 2 k (1 ? ln k ) (2)由(1)知, f ( x) 在区间 (0, ??) 上的最小值为 f ( k ) ? . 2 k (1 ? ln k ) 因为 f ( x) 存在零点,所以 ? 0 ,从而 k ? e . 2 当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f ( e ) ? 0 , 所以 x ? e 是 f ( x) 在区间 (1, e ] 上的唯一零点. 当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (0, e ) 上单调递减,且 f (1) ? 所以 f ( x) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点. 综上可知,若 f ( x) 存在零点,则 f ( x) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点. (20) 【2015 年北京,文 20,14 分】已知椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 3 ,过点 D ?1,0 ? 且不过点 E ? 2,1? 的直线与椭圆 C 交 于 A , B 两点,直线 AE 与直线 x ? 3 交于两点 M . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由.

?

1 e?k ? 0 , f ( e) ? ?0, 2 2

4

解: (1)椭圆 C 的标准方程为

c 6 x2 . ? y 2 ? 1 .所以 a ? 3 , b ? 1 , c ? 2 .所以椭圆 C 的离心率 e ? ? a 3 3 (2) 因为 AB 过点 D(1,0) 且垂直于 x 轴, 所以可设 A(1, y1 ) ,B(1, ? y1 ) . 直线 AE 的方程为 y ? 1 ? (1 ? y1 )( x ? 2) . 2 ? y1 ? y1 令 x ? 3 ,得 M (3, 2 ? y1 ) .所以直线 BM 的斜率 kBM ? ?1 . 3 ?1 (3)直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下:当直线 AB 的斜率不存在时,由(2)可知 kBM ? 1 . 1? 0 又因为直线 DE 的斜率 kDE ? ? 1 ,所以 BM / / DE . 2 ?1 当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 1) . y ?1 y ? x ?3 ( x ? 2) .令 x ? 3 ,得点 M (3, 1 1 ). 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则直线 AE 的方程为 y ? 1 ? 1 x1 ? 2 x1 ? 2 y1 ? x1 ? 3 ? y2 ? x2 ? 3 y 2 ? 3 2 2 2 2 由? ,得 (1 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 3 ? 0 .直线 BM 的斜率 kBM ? x1 ? 2 3 ? x2 ? y ? k ( x ? 1) k ? x1 ? 1? ? x1 ? 3 ? k ? x2 ? 1?? x1 ? 2 ? ? ? 3 ? x2 ?? x1 ? 2 ? 因为 kBM ? 1 ? ? 3 ? x2 ?? x1 ? 2?

?

? k ? 1? ? ?? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 3? ? 3 ? x x ? 2 ? 2 ?? 1 ?

? k ? 1? ?
?

? ?3k 2 ? 3 12k 2 ? ? ? 3? 2 2 1 ? 3 k 1 ? 3 k ? ? ?0 3 ? x x ? 2 ? 2 ?? 1 ?

所以 kBM ? 1 ? kDE ? BM / / DE ,综上可知,直线 BM 与直线 DE 平行.

5


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