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人教版 必修2 3.2.2 直线的两点式方程(自用教案)


2011-6-21

东源高级中学

高一(5)班

3.2.2 直线的两点式方程
曾小华

(一)教学目标
1.知识与技能 (1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2.过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论,并通过新旧知识的比较、分 析、应用获得新知识的特点. 3.情态与价值观 (1)认识事物之间的普通联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。

(二)教学重点、难点: 教学重点、难点:
1.重点:直线方程两点式。 2.难点:两点式推导过程的理解。

(三)教学设计
1、复习点斜式方程:直线 l 经过点 P0 (x0, y0),且斜率为 k 复习点斜式方程: 其方程可表示为为:y – y0 = k (x – x0) 经过点 P0 (x0, y0)且平行于 x 轴(即垂直于 y 轴)的直线方程是 y = y0 经过点 P0 (x0, y0)且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程是 x = x0 2、提出问题引入课题得出概念 (1)利用点斜式解答如下问题: 利用点斜式解答如下问题: ①已知直线 l 经过点 P(1,2),且斜率 k =2 求直线 l 的方程 解得: y ? 2 = 2 × ( x ? 1) ,整理得: 2 x ? y = 0 ②问题 1:由前面知识可知,只要知道直线一定点和斜率即可求其方程,如果 问题 由前面知识可知,只要知道直线一定点和斜率即可求其方程 知道直线一定点和斜率即可求其方程, 知道直线上两个点可否求其方程? 知道直线上两个点可否求其方程? 例如: 例如:已知直线 l 经过两点 P1 (1,2),P2 (3,5),求直线 l 的方程。 根据已有的知识,要求直线方程,应知道什么条件?(定点和斜率) 能不能把问题转化为已经解决的问题? 在此基础上,学生根据已知两点的坐标,先判断是否存在斜率,然后求出直 线的斜率,从而可求出直线方程: 5?2 3 解:设直线 l 的斜率为 k,则 k = = , 3 ?1 2 选 P1 (1,2)为定点,则套用直线的点斜式得:y – 2 = (x–1) 整理得: 3 x ? 2 y + 1 = 0
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东源高级中学

高一(5)班

(2)问题 2:以上方法是否具有一般性? 以上方法是否具有一般性? 仿照上面的方法, 仿照上面的方法,解决下题 已知两点 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2)其中(x1≠x2,y1≠y2). 求通过这两点的直线方程. 解:因为 x1≠x2,设直线 l 的斜率为 k,则 k =

y2 ? y1 , x2 ? x1
y2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1

选 P1 (x1,y1)为定点,则套用直线的点斜式得:y – y1 = 当 y1≠y2 时,方程可写成
y ? y1 x ? x1 = ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1

故只要知道直线上的两点 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2)其中(x1≠x2,y1≠y2),则 其直线方程为:
y ? y1 x ? x1 = ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1

请同学们给这个方程命名: 请同学们给这个方程命名:这个方程是由直线上两点确定的,所以我们把它叫 直线的两点式方程,简称两点式(two-point form). 改为: 3、概念深入:问题 3:如果把以上题目的题设条件 x1≠x2,y1≠y2 改为:x1=x2,或 概念深入: y1=y2,此时这两点的直线方程是什么? 此时这两点的直线方程是什么? 引导学生通过画图、观察和分析,发现 x1 = x2 时,直线与 x 轴垂直,所以直线方 程为:x = x1;当 y1 = y2 时,直线与 y 轴垂直,直线方程为:y = y1. 记忆公式:要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见 y 就用 x 代换得到. : 4、练习(与前面的解法做对比) 已知直线 l 经过两点 P1 (1,2),P2 (3,5),用两 练习(与前面的解法做对比) 点式求直线 l 的方程? 解得:
y ? 2 x ?1 y ? 2 x ?1 = ,得: = 即: 2( y ? 2) = 3( x ? 1) ,整理得: 3 x ? 2 y + 1 = 0 5 ? 2 3 ?1 3 2

5、例 3:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为 B (0,b),其中 a≠0,b ≠0.求直线 l 的方程. 引导学生分析题目中所给的条件有什么特点?可以用多少方法来求直线 l 的方 程?那种方法更为简捷?然后求出直线方程。 解: 直线不平行 x 轴和 y 轴, 则由直线的两点式得:
y?0 x?a y x x y = , = ?1, + = 1 b?0 0?a b a a b

做图(四个图)指出:a, b 的几何意义和截距方程的概念 四个图)指出: 由前面所学截距的概念我们把直线与 x 轴交点(a,0)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上 的截距,则直线在 y 轴的截距是 b,特别强调:截距不是距离,而是一个实数值。 请同学们给这个方程命名: 以上方程由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 与 b 确定, 请同学们给这个方程命名: 所以叫做直线的截距式方程。 6、练习:课本练习题第 2 题第 1 小题 练习: 对截距式方程要注意下面三点: (1)如果已知直线在两轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程; (2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在 x 轴和 y 轴上的截距,这一
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高一(5)班

点常被用来作图; (例如:已知直线 2 x + 3 y ? 6 = 0 ) (3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示. 7、例题 4:已知三角形的三个顶点 A(–5,0 ),B (3, –3),C (0,2),求 BC 边所在直线的方 程,以及该边上中线所在直线的方程. 解:如图,过 B(3,–3),C(0,2)的两点式方程为
y?2 x?0 = 整理得 5x + 3y – 6 = 0. ?3 ? 2 3 ? 0

这就是 BC 所在直线的方程. BC 边上的中线是顶点 A 与 BC 边中点 M 所连线段,由中 点坐标公式可得点 M 的坐标为 (
3 + 0 ?3 + 2 3 1 , ),即( , ? ). 2 2 2 2 3 2 1 2

过 A(–5,0),M( , ? )的直线的方程为

y?0 x+5 = , 1 3 ? ?0 +5 2 2

整理得 x +

1 2

13 5 y + = 0 ,即 x + 13y + 5 = 0. 这就是 BC 边上中线所在直线方程. 2 2

特别提醒:中点坐标公式:若点 P1,P2 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,且线段 P1P2 特别提醒:

x1 + x2 ? ?x = 2 ? 的中点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 ? ,此公式为线段 P1P2 的中点坐办公式。 ? y = y1 + y2 ? ? 2
8、小结: 小结: (1)到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么 关系? (2)要求一条直线的方程,必须知道多少个条件? 9、布置作业 习题 3.2 A 组 1(4) ,4 (6) (四)板书设计
3.2.2 直线的两点 式方程

例题 3.

例题 4.

复习:点斜式方程

练习: 1、点斜式方程 2、截距式方程 3.中点坐标公式

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