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【高考领航】2017届高三数学(理)大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时规范训练4


课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.(2016· 山东高密检测)若复数 z 的实部为 1,且|z|=2,则复数 z 的虚部是 ( A.- 3 C.± 3i B.± 3 D. 3i )

解析: 由题意可设 z=1+bi(b∈R), 因为|z|=2, 所以 12+b2=4, 解得 b=± 3, 故选 B. 答案:B 2. (2015· 高考山东卷)若复数 z 满足 A.1-i C.-1-i =i, 其中 i 为虚数单位, 则 z=( 1-i z )

B.1+i D.-1+i

解析:由已知得 z =i(1-i)=1+i,则 z=1-i,故选 A. 答案:A 3.(2015· 高考湖北卷)i 为虚数单位,i607 的共轭复数为( A.i C.1 B.-i D.-1 )

解析:因为 i607=i4×151+3=i3=-i,所以其共轭复数为 i,故选 A. 答案:A 4.i 是虚数单位,复数 解析: 7+i =________. 3+4i

7+i ?7+i??3-4i? 25-25i = = 25 =1-i. 3+4i ?3+4i??3-4i?

答案:1-i 5.(2015· 高考江苏卷)设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模为 ________. 解析:法一:z2=3+4i=4+4i+i2=(2+i)2, 所以 z=2+i 或 z=-2-i,

即|z|= 22+1= 5. 法二:令 z=a+bi(a,b∈R), z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i. 由两复数相等的判定条件知
2 2 ?a -b =3, ?a=2, ?a=-2, ? ∴? 或? , ?2ab=4, ?b=1 ?b=-1

所以 z=2+i 或 z=-2-i, 即|z|= 22+1= 5. 法三:|z2|=|3+4i|=5. 又∵|z2|=|z|2=5,∴|z|= 5. 答案: 5 ?1+i?2 ? =________. 6.(2014· 高考北京卷)复数? ?1-i? ?1+i?2 1+i2+2i i ?= 解析:? = =-1. 2 ?1-i? 1+i -2i -i 答案:-1 7.计算: (1) ?-1+i??2+i? ; i3

?1+2i?2+3?1-i? (2) ; 2+i (3) (4) 1-i 1+i ; 2+ ?1+i? ?1-i?2 1- 3i . ? 3+i?2 ?-1+i??2+i? -3+i = =-1-3i. i3 -i

解:(1) (2) =

?1+2i?2+3?1-i? -3+4i+3-3i = 2+i 2+i

i?2-i? 1 2 i = 5 =5+5i. 2+i

(3) =

1-i 1+i 1-i 1+i + = 2i + ?1+i?2 ?1-i?2 -2i

1+i -1+i + 2 =-1. -2 1- 3i ? 3+i??-i? = ? 3+i?2 ? 3+i?2 -i ?-i?? 3-i? = 4 3+i

(4) =

1 3 =-4- 4 i. 8.实数 m 取什么值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i (1)与复数 2-12i 相等; (2)与复数 12+16i 互为共轭复数; (3)对应的点在 x 轴上方; (4)对应的点在直线 x+y+5=0 上. 解:(1)根据复数相等的充要条件得
2 ?m +5m+6=2, ? 2 ?m -2m-15=-12.

解之得 m=-1. (2)根据互为共轭复数的定义得
2 ?m +5m+6=12, ? 2 ?m -2m-15=-16.

解之得 m=1. (3)根据复数 z 对应点在 x 轴上方可得 m2-2m-15>0, 解之得 m<-3 或 m>5. (4)复数 z 对应的点(m2+5m+6,m2-2m-15)在直线 x+y+5=0 上,即(m2 +5m+6)+(m2-2m-15)+5=0, 解得:m= -3- 41 -3+ 41 或 m= . 4 4 [B 级 能力突破]

1.(2016· 包头模拟)下面命题: (1)0 比-i 大; (2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数时成立; (3)x+yi=1+i 的充要条件为 x=y=1; (4)如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:(1)中实数与虚数不能比较大小; (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数,但两个复数的和为实数时这两个 复数不一定是共轭复数; (3)x+yi=1+i 的充要条件为 x=y=1 是错误的,因为 x,y 未必是实数; (4)当 a=0 时,没有纯虚数和它对应. 答案:A 2.(2015· 高考湖南卷)已知 A.1+i C.-1+i ?1-i?2 z =1+i(i 为虚数单位),则复数 z=( B.1-i D.-1-i )

?1-i?2 ?1-i?2 -2i -2i?1-i? 解析:由 z =1+i,得 z= = = =-1-i,故选 D. 1+i 1+i ?1+i??1-i? 答案:D 3.(2015· 高考课标卷Ⅱ)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( A.-1 C.1 B.0 D.2 )

解析:先将已知等式左边用复数的乘法法则化简,然后利用复数相等的定义 求解. ∵(2+ai)(a-2i)=-4i, ∴4a+(a2-4)i=-4i. ?4a=0, ∴? 2 解得 a=0.故选 B. ?a -4=-4.

答案:B 4.(2014· 高考四川卷)复数 2-2i =________. 1+i

解析:根据复数的除法运算求解. 2-2i 2?1-i?2 = 2 =-2i. 1+i 答案:-2i 5.(2016· 辽宁朝阳三校联考)已知复数 z= z·z =________. 解析:法一:根据题意 z= 3+i 3 1 3 1 =- 4 +4i,则 z =- 4 -4i,所以 -2?1+ 3i? 3+i , z 是 z 的共轭复数,则 ?1- 3i?2

1 1 ? 3 1?? 3 1? 3 ?- - i?= + = . z·z =?- + i?· 16 16 4 4 4 4 4 ? ?? ? ? 3+i ?2 | 3+i|2 3+1 4 4 1 法二:z·z =|z| =? 2= 2= . 2? = 2 2= 4= 4 4 ??1- 3i? ? |?1- 3i? | |1- 3i| ?1+3?
2

1 答案:4 6.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点 → → → 分别为 A,B,C,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值是________. → → → → → 解析:由已知得OC=(3,-4),OA=(-1,2),OB=(1,-1),根据OC=λOA → +μOB,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ), ?-λ+μ=3, ?λ=-1, ∴? 解得? ∴λ+μ=1. ?2λ-μ=-4, ?μ=2. 答案:1 7.设 i 为虚数单位,复数 z 和 ω 满足 zω+2iz-2iω+1=0. (1)若 z 和 ω 满足 ω -z=2i,求 z 和 ω 的值; (2)求证:如果|z|= 3,那么|ω-4i|的值是一个常数,并求这个常数. 解:(1)∵ ω -z=2i,∴z= ω -2i.

代入 zω+2iz-2iω+1=0, 得( ω -2i)(ω+2i)-2iω+1=0,∴ω ω -4iω+2i ω +5=0. 设 ω=x+yi(x,y∈R),则上式可变为 (x+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0. ∴x2+y2+6y+5-2xi=0.
2 2 ?x +y +6y+5=0, ?x=0, ?x=0, ∴? ∴? 或? ?2x=0, ?y=-1, ?y=-5.

∴ω=-i,z=-i 或 ω=-5i,z=3i. (2)证明:由 zω+2iz-2iω+1=0,得 z(ω+2i)=2iω-1,∴|z||ω+2i|=|2iω-1|.① 设 ω=x+yi(x,y∈R),则|ω+2i|=|x+(y+2)i|= x2+?y+2?2= x2+y2+4y+4. |2iω-1|=|-(2y+1)+2xi| = ?2y+1?2+4x2= 4x2+4y2+4y+1. 又|z|= 3, ∴①可化为 3(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+1. ∴x2+y2-8y=11. ∴|ω-4i|=|x+(y-4)i|= x2+?y-4?2= x2+y2-8y+16=3 3. ∴|ω-4i|的值是常数,且等于 3 3.


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