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苏教版高中数学选修2-1《圆锥曲线的统一定义》教学教案2[精]


(此文档为 word 格式,下载后可以任意修改,直接打印使用!) 圆锥曲线的统一定义 学习目标:了解圆锥曲线的统一定义,掌握圆锥曲线的共同性质。 学习重点:圆锥曲线统一定义的推导 学习难点:对圆锥曲线共同性质的理解与运用 学习过程 一、问题情境 1.情境: 我们知道, 平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l ( F 不在 l 上 ) 的距离的比等于 1 的动 点 P 的轨迹是抛物线. 当这个比值是一个不等于 1 的常数时,动点 P 的轨迹又是什么曲线呢? 2.问题: 试探讨这个常数分别是 二、学生活动 探讨过程略(可以用课件演示或直接推导) ; 可以得到:当常数是 三、数学运用 1.例题: 例 1 . 已 知 点 P( x, y) 到 定 点 F (c , 0 )的 距 离 与 它 到 定 直 线 l : x ? c (a ? c ? 0) ,求点 P 的轨迹. a 1 时,得到的是椭圆;当常数等于 2 时得到的是双曲线; 2 1 和 2 时,动点 P 的轨迹? 2 a2 的距离的比是常数 c 解:根据题意可得 ( x ? c) 2 ? y 2 c ? a2 a | ?x| c 化简得 (a2 ? c2 ) x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 ? c2 ) 令 a 2 ? c2 ? b2 ,上式可化为 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 这是椭圆的标准方程. 所以点 P 的轨迹是以焦点为 (?c, 0), (c, 0) ,长轴、短轴分别为 2a, 2b 的椭圆。这个椭圆的 离心率 e 就是 P 到定点 F 的距离和它到定直线 l ( F 不在 l 上 ) 的距离的比. 类似地,我们可以得到:当点 P 到定点 F (c, 0) 的距离和它到定直线 l : x ? a2 的距离的比 c c x2 y 2 是常数 (c ? a ? 0) 时,这个点的轨迹是双曲线,方程为 2 ? 2 ? 1 (其中 b2 ? c2 ? a 2 ) ,这个 a a b 常数就是双曲线的离心率. 这样,圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l ( F 不在 l 上) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1 时,它表示椭圆; 当 e ? 1 时,它表示双曲线; 当 e ? 1 时,它表示抛物线. 其中 e 是圆锥曲线的离心率,定点 F 是圆锥曲线的焦点,定直线 l 是圆锥曲线的准线. 根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭 圆或双曲线,与焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 对应的准线方程分别为 x ? ? a2 a2 ,x ? . c c 例 2.椭圆 x2 y2 ? ? 1 上一点到右准线的距离是 2 3b ,求该点到椭圆左焦点的距离. 4b 2 b 2 解:设该椭圆的的左右焦点分别是 F1 , F2 ,该椭圆的离心率为 e ? 3 ? 2 3b ? 3b 2 3 ,由圆锥曲线的统一定义 2 可知, PF2 ? e ? 2 3b ? 所以, PF1 ? 4b ? PF2 ? 4b ? 3b ? b 即该点到椭圆左焦点的距离为 b . 说明:椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对应 左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线. ) 例 3.若椭圆 x2 y 2 ? ? 1 内有一点 P(1, ?1) , F 为右焦点,椭圆上有一点 M 使 | M

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