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金湾区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

金湾区高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学 一、选择题
2+2z 1. 复数满足 =iz,则 z 等于( 1-i A.1+i 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ C.1-i )

B.-1+i D.-1-i )

2. 阅读下面的程序框图,则输出的 S=(

A.14

B.20

C.30

D.55

3. 已知 f(x)为 R 上的偶函数,对任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3),x1,x2∈[0,3],x1≠x2 时,有 成立,下列结论中错误的是( A.f(3)=0 B.直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴 C.函数 y=f(x)在[﹣9,9]上有四个零点 D.函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为增函数 )

4. 定义在 R 上的奇函数 f (x) , 满足 A. C. B. D.

+∞) , 且在 ( 0, 上单调递减, 则 xf (x) >0 的解集为 (



5. 某校新校区建设在市二环路主干道旁,因安全需要,挖掘建设了一条人行地下通道,地下通道设计三视图 中的主(正)视力(其中上部分曲线近似为抛物)和侧(左)视图如图(单位:m),则该工程需挖掘的总土 方数为( )

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A.560m3 6. 将函数

B.540m3

C.520m3

D.500m3 的图象上所有的点向左平移 ) 个单位长度,再把图象上各点的横坐标

扩大到原来的 2 倍,则所得的图象的解析式为( A. C. B. D.

7. 已知 M 、N 为抛物线 y 2 ? 4 x 上两个不同的点, F 为抛物线的焦点.若线段 MN 的中点的纵坐标为 2 ,

| MF | ? | NF |? 10 ,则直线 MN 的方程为(
A. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 A. 12 C. 4 9. 已知双曲线 A. B. ﹣ C. B. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0



8. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( B. 6 D. 2



2


1 1 2 =1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=1 相切,则双曲线的离心率为(
D. )

1 10.如图 Rt△ O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边 O′B′=2,则这个平面图形的面积是( 2

A.

B.1

C.
2

D.
x

11.已知集合 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? { x 2 ? 1} ,则 A A. [?3, ?1] 12.已知 a= B. (??, ?3] [?1,0)
0.5 0.2

B?(

) D. ( ??, 0) )

C. (??, ?3)

(?1,0]

,b=2 ,c=0.5 ,则 a,b,c 三者的大小关系是(

A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a

二、填空题
13.以点(1,3)和(5,﹣1)为端点的线段的中垂线的方程是 14.设 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 z=2x﹣3y 的最小值是 . .

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15.已知 f ? x ?1? ? 2x2 ? 8x ?11 ,则函数 f ? x ? 的解析式为_________. 16.已知曲线 y=(a﹣3)x3+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,函数 f(x)=x3﹣ax2﹣3x+1 在[1,2]上单调递减,则 a 的范围为 . 在区间 ?0,??? 上是增函数,则 m ? .

17.幂函数 f ( x) ? (m2 ? 3m ? 3) x m

2

?2m?1



18.抛物线 y2=﹣8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是

三、解答题
19.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数 f ? x ? ? alnx ?

f ?1? 处的切线方程; (1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 在点 1,
(2)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (3)当 0 ? a ?

?

?

1 ?1. x

1 ?1 ? ? a? 时,求证:对任意 x ? ? , +? ? ,都有 ?1 ? ? 2 ?2 ? ? x?

x?a

? e.

20.已知一个几何体的三视图如图所示. (Ⅰ)求此几何体的表面积; (Ⅱ)在如图的正视图中,如果点 A 为所在线段中点,点 B 为顶点,求在几何体侧面上从点 A 到点 B 的最短 路径的长.

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21.(本小题满分 12 分) 已知点 M 为圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 上一个动点,点 D 是 M 在 x 轴上的投影, P 为线段 MD 上一点,且与点 Q 关 于原点 O 对称,满足 QP ? OM ? OD . (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)过点 P 作 E 的切线 l 与圆相交于 A, B 两点,当 ?QAB 的面积最大时,求直线 l 的方程.

22.已知椭圆 C:

=1(a>2)上一点 P 到它的两个焦点 F1(左),F2 (右)的距离的和是 6.

(1)求椭圆 C 的离心率的值; (2)若 PF2⊥x 轴,且 p 在 y 轴上的射影为点 Q,求点 Q 的坐标.

23.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是 a、b、c,不等式 x2cos C+4xsin C+6≥0 对一切实数 x 恒 成立. (1)求 cos C 的取值范围; (2)当∠C 取最大值,且△ABC 的周长为 6 时,求△ABC 面积的最大值,并指出面积取最大值时△ABC 的 形状. 【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.

24.如图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是等腰梯形,AB=CD=AD=1,BC=2,E,M,N 分别是所在棱 的中点.

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(1)证明:平面 MNE⊥平面 D1DE; (2)证明:MN∥平面 D1DE.

25.已知函数 f(x)=log2(m+ (1)求函数 f(x)的定义域;

)(m∈R,且 m>0).

(2)若函数 f(x)在(4,+∞)上单调递增,求 m 的取值范围.

26.为了培养学生的安全意识,某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞 赛.为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计, 得到如下的频率分布表,请你根据频率分布表解答下列问题: (1)求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值; (2)为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识,成绩不低于 85 分的学生能获奖,请估计在参加的 800 名学生 中大约有多少名学生获奖? (3)在上述统计数据的分析中,有一项指标计算的程序框图如图所示,则该程序的功能是什么?求输出的 S 的值. 序号 (i) 1 2 分组 (分数) 组中值 频数 (人数) ① 20 频率 (Fi) 0.10 ② (Gi) [60,70) 65 [70,80) 75

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3 4 合计

[80,90) 85 [90,100) 95

③ ④ 50

0.20 ⑤ 1

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金湾区高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 2+2z 【解析】解析:选 D.法一:由 =iz 得 1-i 2+2z=iz+z, 即(1-i)z=-2, -2 -2(1+i) ∴z= = =-1-i. 2 1-i 法二:设 z=a+bi(a,b∈R), ∴2+2(a+bi)=(1-i)i(a+bi), 即 2+2a+2bi=a-b+(a+b)i,

?2+2a=a-b ? ∴? , 2 b = a + b ? ?
∴a=b=-1,故 z=-1-i. 2. 【答案】C 【解析】解:∵S1=0,i1=1; S2=1,i2=2; S3=5,i3=3; S4=14,i4=4; S5=30,i=5>4 退出循环, 故答案为 C. 【点评】本题考查程序框图的运算,通过对框图的分析,得出运算过程,按照运算结果进行判断结果,属于基 础题. 3. 【答案】D 【解析】解:对于 A:∵y=f(x)为 R 上的偶函数,且对任意 x∈R,均有 f(x+6)=f(x)+f(3), ∴令 x=﹣3 得:f(6﹣3)=f(﹣3)+f(3)=2f(3), ∴f(3)=0,故 A 正确; 对于 B:∵函数 y=f(x)是以 6 为周期的偶函数, ∴f(﹣6+x)=f(x),f(﹣6﹣x)=f(x), ∴f(﹣6+x)=f(﹣6﹣x), ∴y=f(x)图象关于 x=﹣6 对称,即 B 正确; 对于 C:∵y=f(x)在区间[﹣3,0]上为减函数,在区间[0,3]上为增函数,且 f(3)=f(﹣3)=0, ∴方程 f(x)=0 在[﹣3,3]上有 2 个实根(﹣3 和 3),又函数 y=f(x)是以 6 为周期的函数,

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∴方程 f(x)=0 在区间[﹣9,﹣3)上有 1 个实根(为﹣9),在区间(3,9]上有一个实根(为 9), ∴方程 f(x)=0 在[﹣9,9]上有 4 个实根.故 C 正确; 对于 D:∵当 x1,x2∈[0,3]且 x1≠x2 时,有 ∴y=f(x)在区间[0,3]上为增函数,又函数 y=f(x)是偶函数, ∴y=f(x)在区间[﹣3,0]上为减函数,又函数 y=f(x)是以 6 为周期的函数, ∴y=f(x)在区间[﹣9,﹣6]上为减函数,故 D 错误. 综上所述,命题中正确的有 A、B、C. 故选:D. 【点评】本题考查抽象函数及其应用,命题真假的判断,着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性, 考查函数的零点,属于中档题. 4. 【答案】B 【解析】解:∵函数 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上单调递减,且 f ( )=0, ∴f (﹣ )=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减, ∵当 x<0,当﹣ <x<0 时,f(x)<0,此时 xf(x)>0 当 x>0,当 0<x< 时,f(x)>0,此时 xf(x)>0 综上 xf(x)>0 的解集为 故选 B 5. 【答案】A 【解析】解:以顶部抛物线顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系,易得抛物线过点(3, ﹣1),其方程为 y=﹣ S1= 下部分矩形面积 S2=24, 故挖掘的总土方数为 V=(S1+S2)h=28×20=560m . 故选:A. 【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查,考查学生的计算能力,属于中档题. 6. 【答案】B 【解析】解:将函数 , 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,得到函数 . 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到函数
3



,那么正(主)视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积 =2 =4,

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故选 B. 【点评】本题是基础题,考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换,注意先平移后伸缩时,初相不变化,考查 计算能力. 7. 【答案】D 【解析】解析:本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法. 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) , 那么 | MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 ? 10 ,x1 ? x2 ? 8 , ∴线段 MN 的中点坐标为 (4, 2) .
2 2 由 y1 而 ? 4 x1 ,y2 ? 4 x2 两式相减得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,

y1 ? y2 y ? y2 ?2, ∴ 1 ∴直线 MN ? 1, 2 x1 ? x2

的方程为 y ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? y ? 2 ? 0 ,选 D. 8. 【答案】D 【解析】 V正四棱锥 = ? 2 ? 9. 【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,即 x±y=0.

1 3

1 ? (2+1) ? 2 ? 2 . 2

2 2 根据圆(x﹣2) +y =1 的圆心(2,0)到切线的距离等于半径 1,

可得,1=

,∴

=



,可得 e= 故此双曲线的离心率为: 故选 D.

. .

【点评】本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出 的值,是 解题的关键. 10.【答案】D 【解析】解:∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,斜边 O'B'=2, ∴直角三角形的直角边长是 ∴直角三角形的面积是 ∴原平面图形的面积是 1×2 故选 D. 11.【答案】B 【解析】 A ? (??, ?3] [?1, ??) , B ? (??,0) , ∴A =2 , ,

B ? (??, ?3] [?1,0) .

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12.【答案】A 【解析】解:∵a=0.5 ,c=0.5 , ∴0<a<c<1,b=2 >1, ∴b>c>a, 故选:A.
0.5 0.5 0.2

二、填空题
13.【答案】 x﹣y﹣2=0 . 【解析】解:直线 AB 的斜率 kAB=﹣1,所以线段 AB 的中垂线得斜率 k=1,又线段 AB 的中点为(3,1), 所以线段 AB 的中垂线得方程为 y﹣1=x﹣3 即 x﹣y﹣2=0, 故答案为 x﹣y﹣2=0. 【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法,此外,本题还可以利用线段的中垂线的性质(中垂线上的 点到线段的 2 个端点距离相等)来求中垂线的方程. 14.【答案】 ﹣6 .

【解析】解:由约束条件

,得可行域如图,

使目标函数 z=2x﹣3y 取得最小值的最优解为 A(3,4), ∴目标函数 z=2x﹣3y 的最小值为 z=2×3﹣3×4=﹣6. 故答案为:﹣6. 15.【答案】 f ? x ? ? 2x ? 4x ? 5
2

【解析】
2 2 试题分析: 由题意得, 令 t ? x ?1 , 则 x ? t ?1, 则 f ?t ? ? 2(t ?1) ? 8(t ?1) ?11 ? 2t ? 4t ? 5 , 所以函数 f ? x ?

的解析式为 f ? x ? ? 2x ? 4x ? 5 .
2

考点:函数的解析式. 16.【答案】 .

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3 【解析】解:因为 y=(a﹣3)x +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,即 y'=0 有解,即

y'=

在 x>0 时有解,

3 所以 3(a﹣3)x +1=0,即 a﹣3<0,所以此时 a<3. 3 2 函数 f(x)=x ﹣ax ﹣3x+1 在[1,2]上单调递减,则 f'(x)≤0 恒成立, 2 即 f'(x)=3x ﹣2ax﹣3≤0 恒成立,即

, 的最大值为 ,

因为函数 所以 综上 故答案为: ,所以 .

在[1,2]上单调递增,所以函数 .



【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用,要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用. 17.【答案】 【解析】

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点: (1)若幂

?? ? R? 是偶函数,则 ? 必为偶数.当 ? 是分数时,一般将其先化为根式,再判断;(2)若幂函 ? 数 y ? x ?? ? R? 在 ? 0, ??? 上单调递增,则 ? ? 0 ,若在 ? 0, ??? 上单调递减,则 ? ? 0 ;(3)在比较幂值
函数 y ? x
?

的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 1 18.【答案】 (﹣4, ) . =2.

2 【解析】解:∵抛物线方程为 y =﹣8x,可得 2p=8,

∴抛物线的焦点为 F(﹣2,0),准线为 x=2. 设抛物线上点 P(m,n)到焦点 F 的距离等于 6, 根据抛物线的定义,得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线的距离, 即|PF|=﹣m+2=6,解得 m=﹣4,
2 ∴n =8m=32,可得 n=±4

, ). ).

因此,点 P 的坐标为(﹣4, 故答案为:(﹣4,

【点评】本题给出抛物线的方程,求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标.着重考查了抛物线的定义与 标准方程等知识,属于基础题.

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三、解答题
19.【答案】(1) x ? y ? 1 ? 0 ;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】试题分析:(1)当 a ? 2 时,求出导数易得 f ' ?1? ? 1,即 k ? 1 ,利用点斜式可得其切线方程;(2)

ax ? 1 1 ,分为 a ? 0 和 a ? 0 两种情形判断其单调性;(3)当 0 ? a ? 时,根据(2)可 2 x 2 a ? a? ? a? 得函数 f ? x ? 在 ?1, ,化简可得所证结论. 2 ? 上单调递减,故 f ?1 ? ? ? f ?1? ,即 aln ?1 ? ? ? ? x? ? x? x?a 试题解析:(1)当 a ? 2 时, 1 1 2 1 2 1 f ? x ? ? 2lnx ? ? 1 , f ?1? ? 2ln1 ? ? 1 ? 0 , f ' ? x ? ? ? 2 , f ' ?1? ? ? 2 ? 1 ,所以函数 f ? x ? 在点 x 1 x x 1 1 0 ? 处的切线方程为 y ? 0 ? 1? ? x ?1? ,即 x ? y ? 1 ? 0 . ?1,
求得可得 f ' ? x ? ? (2) f ? x ? ? alnx ?

①当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,故函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上单调递减; ②当 a ? 0 时,令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? x

1 a 1 ax ? 1 ? 1 ,定义域为 ? 0, ? ?? , f ' ? x ? ? ? 2 ? 2 . x x x x 1 a

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 ? ? ?? ? , a ? ?

f '? x? f ? x?

?


0
极小值

?


综上所述,当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上单调递减;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在

? ?

1? a?

?1 ? ? ? ? 上单调递增. ? , ?a ? 1 1 ? 1? ? 1? (3)当 0 ? a ? 时,由(2)可知,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,显然, ? 2 ,故 ?1, 2 ? ? ? 0, ? , 2 a ? a? ? a? a a ?1 ? 所 以 函 数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上 单 调 递 减 , 对 任 意 x ? ? , +? ? , 都 有 0 ? ? 1 , 所 以 1 ? 1 ? ? 2 . 所 以 x x ?2 ? 1 a 1 ? a? ? a? ? a? ? a? ? 1? 0 ,所以 aln ? 1? ? ? ,即 ln ? 1? ? ? ,所以 f ?1 ? ? ? f ?1? ,即 aln ? 1? ? ? ? x ? 1? a ? x? ? x? x?a ? x ? x? a x

a? ? a? ? x ? a ? ln ? ? 1? ? ? 1,即 ln ?1 ? ? ? x? ? x?
20.【答案】

x?a

? a? ? 1 ,所以 ?1 ? ? ? x?

x?a

? e.

【解析】解:(Ⅰ)由三视图知:几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体,且圆锥与圆柱的底面半径为 2,母 线长分别为 2 、4, 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.

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S 圆锥侧= ×2π×2×2 S 圆柱底=π×22=4π.

=4

π;

S 圆柱侧=2π×2×4=16π; ∴几何体的表面积 S=20π+4 则 AB= = π; =2 , .

(Ⅱ)沿 A 点与 B 点所在母线剪开圆柱侧面,如图: ∴以从 A 点到 B 点在侧面上的最短路径的长为 2

21.【答案】 【解析】(1)设 P( x, y ) , M ( x0 , y0 ) ,则 D( x0 ,0) . ∵点 P 与点 Q 关于原点 O 对称,∴ QP ? 2OP . ∵ QP ? OM ? OD ,∴ 2OP ? OM ? OD , ∴ 2( x, y) ? ( x0 , y0 ) ? ( x0 ,0) ,∴ ?
2 2

? x0 ? x , ? y0 ? 2 y

2 2 ∵ x0 ? y0 ? 4 ,∴ x ? 4 y ? 4 ,

∴动点 P 的轨迹方程:

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,显然不符合题意, ∴设直线 l 的方程为 y ? km ? m , 由?

? y ? km ? m
2 2 ?x ? 4 y ? 4

,得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 .

∵直线 l 与椭圆相切,
2 2 2 2 ∴ ? ? 64k m ? 4(4k ? 1)(4m ? 4) ? 0 ,∴ m ? 4k ? 1 .
2 2

原点 O 到直线 l 的距离 d ? ∴ S ?QAB ?

m 1? k
2

,则 AB ? 2 4 ? d 2 ,

1 AB ? 2d ? 2d 4 ? d 2 2

? 2 d 2 (4 ? d 2 ) ? 2 ?( d 2 ? 2) 2 ? 4 ? 4 ,
当 d ? 2 ,即 d ?
2

2 时, ?QAB 的面积取得最大值 4 .
2

此时 d ?

m 1? k

? 2 ,即 m2 ? 2k 2 ? 2 ,

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?m ? ? 3 2 2 ? ? ? m ? 2k ? 2 由? 2 ,解得 ? 2, 2 m ? 4 k ? 1 ? k ? ? ? ? ? 2
∴直线 l 的方程为 y ? 22.【答案】 【解析】解:(1)根据椭圆的定义得 2a=6,a=3; ∴c= ∴ ; ; ; ; 带入椭圆方程 ). 得,y= ;

2 2 2 2 x ? 3或 y ? x? 3或 y ? ? x? 3 或 y ? ? x ? 3. 2 2 2 2

即椭圆的离心率是 (2) ∴x=

所以 Q(0, 23.【答案】 【







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24.【答案】 【解析】证明:(1)由等腰梯形 ABCD 中, ∵AB=CD=AD=1,BC=2,N 是 AB 的中点,∴NE⊥DE, 又 NE⊥DD1,且 DD1∩DE=D, ∴NE⊥平面 D1DE, 又 NE?平面 MNE, ∴平面 MNE⊥平面 D1DE.… (2)等腰梯形 ABCD 中, ∵AB=CD=AD=1,BC=2,N 是 AB 的中点,∴AB∥DE,∴AB∥平面 D1DE, 又 DD1∥BB1,则 BB1∥平面 D1DE, 又 AB∩BB1=B,∴平面 ABB1A1∥平面 D1DE, 又 MN?平面 ABB1A1,∴MN∥平面 D1DE.…

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25.【答案】 【解析】解:(1)由 m+ ∵m>0, ∴(x﹣1)(x﹣ )>0, 若 >1,即 0<m<1 时,x∈(﹣∞,1)∪( ,+∞); 若 =1,即 m=1 时,x∈(﹣∞,1)∪(1,+∞); 若 <1,即 m>1 时,x∈(﹣∞, )∪(1,+∞). (2)若函数 f(x)在(4,+∞)上单调递增,则函数 g(x)=m+ 所以 解得: , . 在(4,+∞)上单调递增且恒正. >0,(x﹣1)(mx﹣1)>0,

【点评】 本题考查的知识点是函数的定义域及单调性, 不等关系, 是函数与不等式的简单综合应用, 难度中档. 26.【答案】 【解析】解:(1)由分布表可得频数为 50,故①的数值为 50×0.1=5, ②中的值为 =0.40,③中的值为 50×0.2=10, =0.30;

④中的值为 50﹣(5+20+10)=15,⑤中的值为 (2)不低于 85 的概率 P= ×0.20+0.30=0.40,

∴获奖的人数大约为 800×0.40=320; (3)该程序的功能是求平均数, S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82, ∴800 名学生的平均分为 82 分

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